1 | include "basics/types.ma". |
---|
2 | include "utilities/option.ma". |
---|
3 | include "utilities/binary/positive.ma". |
---|
4 | |
---|
5 | inductive positive_map (A:Type[0]) : Type[0] ≝ |
---|
6 | | pm_leaf : positive_map A |
---|
7 | | pm_node : option A → positive_map A → positive_map A → positive_map A. |
---|
8 | |
---|
9 | let rec lookup_opt (A:Type[0]) (b:Pos) (t:positive_map A) on t : option A ≝ |
---|
10 | match t with |
---|
11 | [ pm_leaf ⇒ None ? |
---|
12 | | pm_node a l r ⇒ |
---|
13 | match b with |
---|
14 | [ one ⇒ a |
---|
15 | | p0 tl ⇒ lookup_opt A tl l |
---|
16 | | p1 tl ⇒ lookup_opt A tl r |
---|
17 | ] |
---|
18 | ]. |
---|
19 | |
---|
20 | definition lookup: ∀A:Type[0].Pos → positive_map A → A → A ≝ |
---|
21 | λA.λb.λt.λx. |
---|
22 | match lookup_opt A b t with |
---|
23 | [ None ⇒ x |
---|
24 | | Some r ⇒ r |
---|
25 | ]. |
---|
26 | |
---|
27 | let rec insert (A:Type[0]) (b:Pos) (a:A) (t:positive_map A) on b : positive_map A ≝ |
---|
28 | match b with |
---|
29 | [ one ⇒ |
---|
30 | match t with |
---|
31 | [ pm_leaf ⇒ pm_node A (Some ? a) (pm_leaf A) (pm_leaf A) |
---|
32 | | pm_node _ l r ⇒ pm_node A (Some ? a) l r |
---|
33 | ] |
---|
34 | | p0 tl ⇒ |
---|
35 | match t with |
---|
36 | [ pm_leaf ⇒ pm_node A (None ?) (insert A tl a (pm_leaf A)) (pm_leaf A) |
---|
37 | | pm_node x l r ⇒ pm_node A x (insert A tl a l) r |
---|
38 | ] |
---|
39 | | p1 tl ⇒ |
---|
40 | match t with |
---|
41 | [ pm_leaf ⇒ pm_node A (None ?) (pm_leaf A) (insert A tl a (pm_leaf A)) |
---|
42 | | pm_node x l r ⇒ pm_node A x l (insert A tl a r) |
---|
43 | ] |
---|
44 | ]. |
---|
45 | |
---|
46 | let rec update (A:Type[0]) (b:Pos) (a:A) (t:positive_map A) on b : option (positive_map A) ≝ |
---|
47 | match b with |
---|
48 | [ one ⇒ |
---|
49 | match t with |
---|
50 | [ pm_leaf ⇒ None ? |
---|
51 | | pm_node x l r ⇒ option_map ?? (λ_. pm_node A (Some ? a) l r) x |
---|
52 | ] |
---|
53 | | p0 tl ⇒ |
---|
54 | match t with |
---|
55 | [ pm_leaf ⇒ None ? |
---|
56 | | pm_node x l r ⇒ option_map ?? (λl. pm_node A x l r) (update A tl a l) |
---|
57 | ] |
---|
58 | | p1 tl ⇒ |
---|
59 | match t with |
---|
60 | [ pm_leaf ⇒ None ? |
---|
61 | | pm_node x l r ⇒ option_map ?? (λr. pm_node A x l r) (update A tl a r) |
---|
62 | ] |
---|
63 | ]. |
---|
64 | |
---|
65 | lemma lookup_opt_insert_hit : |
---|
66 | ∀A:Type[0].∀v:A.∀b:Pos.∀t:positive_map A. |
---|
67 | lookup_opt … b (insert … b v t) = Some A v. |
---|
68 | #A #v #b elim b |
---|
69 | [ * // |
---|
70 | | #tl #IH * |
---|
71 | [ whd in ⊢ (??%%); @IH |
---|
72 | | #x #l #r @IH |
---|
73 | ] |
---|
74 | | #tl #IH * |
---|
75 | [ whd in ⊢ (??%%); @IH |
---|
76 | | #x #l #r @IH |
---|
77 | ] |
---|
78 | ] qed. |
---|
79 | |
---|
80 | axiom lookup_insert_hit: |
---|
81 | ∀a: Type[0]. |
---|
82 | ∀v: a. |
---|
83 | ∀b: Pos. |
---|
84 | ∀t: positive_map a. |
---|
85 | ∀d: a. |
---|
86 | lookup … b (insert … b v t) d = v. |
---|
87 | |
---|
88 | lemma lookup_opt_insert_miss: |
---|
89 | ∀A:Type[0].∀v:A.∀b,c:Pos.∀t:positive_map A. |
---|
90 | b ≠ c → lookup_opt … b (insert … c v t) = lookup_opt … b t. |
---|
91 | #A #v #b elim b |
---|
92 | [ * [ #t * #H elim (H (refl …)) |
---|
93 | | *: #c' #t #NE cases t // |
---|
94 | ] |
---|
95 | | #b' #IH * |
---|
96 | [ * [ #NE @refl | #x #l #r #NE @refl ] |
---|
97 | | #c' * [ #NE whd in ⊢ (??%%); @IH /2/ |
---|
98 | | #x #l #r #NE whd in ⊢ (??%%); @IH /2/ |
---|
99 | ] |
---|
100 | | #c' * // |
---|
101 | ] |
---|
102 | | #b' #IH * |
---|
103 | [ * [ #NE @refl | #x #l #r #NE @refl ] |
---|
104 | | #c' * // |
---|
105 | | #c' * [ #NE whd in ⊢ (??%%); @IH /2/ |
---|
106 | | #x #l #r #NE whd in ⊢ (??%%); @IH /2/ |
---|
107 | ] |
---|
108 | ] |
---|
109 | ] qed. |
---|
110 | |
---|
111 | let rec fold (A, B: Type[0]) (f: Pos → A → B → B) |
---|
112 | (t: positive_map A) (b: B) on t: B ≝ |
---|
113 | match t with |
---|
114 | [ pm_leaf ⇒ b |
---|
115 | | pm_node a l r ⇒ |
---|
116 | let b ≝ match a with [ None ⇒ b | Some a ⇒ f one a b ] in |
---|
117 | let b ≝ fold A B (λx.f (p0 x)) l b in |
---|
118 | fold A B (λx.f (p1 x)) r b |
---|
119 | ]. |
---|
120 | |
---|
121 | lemma update_fail : ∀A,b,a,t. |
---|
122 | update A b a t = None ? → |
---|
123 | lookup_opt A b t = None ?. |
---|
124 | #A #b #a elim b |
---|
125 | [ * [ // | * // #x #l #r normalize #E destruct ] |
---|
126 | | #b' #IH * [ // | #x #l #r #U @IH whd in U:(??%?); |
---|
127 | cases (update A b' a r) in U ⊢ %; |
---|
128 | [ // | normalize #t #E destruct ] |
---|
129 | ] |
---|
130 | | #b' #IH * [ // | #x #l #r #U @IH whd in U:(??%?); |
---|
131 | cases (update A b' a l) in U ⊢ %; |
---|
132 | [ // | normalize #t #E destruct ] |
---|
133 | ] |
---|
134 | ] qed. |
---|
135 | |
---|
136 | lemma update_lookup_opt_same : ∀A,b,a,t,t'. |
---|
137 | update A b a t = Some ? t' → |
---|
138 | lookup_opt A b t' = Some ? a. |
---|
139 | #A #b #a elim b |
---|
140 | [ * [ #t' normalize #E destruct |
---|
141 | | * [ 2: #x ] #l #r #t' whd in ⊢ (??%? → ??%?); |
---|
142 | #E destruct // |
---|
143 | ] |
---|
144 | | #b' #IH * |
---|
145 | [ #t' normalize #E destruct |
---|
146 | | #x #l #r #t' whd in ⊢ (??%? → ??%?); |
---|
147 | lapply (IH r) |
---|
148 | cases (update A b' a r) |
---|
149 | [ #_ normalize #E destruct |
---|
150 | | #r' #H normalize #E destruct @H @refl |
---|
151 | ] |
---|
152 | ] |
---|
153 | | #b' #IH * |
---|
154 | [ #t' normalize #E destruct |
---|
155 | | #x #l #r #t' whd in ⊢ (??%? → ??%?); |
---|
156 | lapply (IH l) |
---|
157 | cases (update A b' a l) |
---|
158 | [ #_ normalize #E destruct |
---|
159 | | #r' #H normalize #E destruct @H @refl |
---|
160 | ] |
---|
161 | ] |
---|
162 | ] qed. |
---|
163 | |
---|
164 | lemma update_lookup_opt_other : ∀A,b,a,t,t'. |
---|
165 | update A b a t = Some ? t' → |
---|
166 | ∀b'. b ≠ b' → |
---|
167 | lookup_opt A b' t = lookup_opt A b' t'. |
---|
168 | #A #b #a elim b |
---|
169 | [ * [ #t' normalize #E destruct |
---|
170 | | * [2: #x] #l #r #t' normalize #E destruct |
---|
171 | * [ * #H elim (H (refl …)) ] |
---|
172 | #tl #NE normalize // |
---|
173 | ] |
---|
174 | | #b' #IH * |
---|
175 | [ #t' normalize #E destruct |
---|
176 | | #x #l #r #t' normalize |
---|
177 | lapply (IH r) |
---|
178 | cases (update A b' a r) |
---|
179 | [ #_ normalize #E destruct |
---|
180 | | #t'' #H normalize #E destruct * // #b'' #NE @H /2/ |
---|
181 | ] |
---|
182 | ] |
---|
183 | | #b' #IH * |
---|
184 | [ #t' normalize #E destruct |
---|
185 | | #x #l #r #t' normalize |
---|
186 | lapply (IH l) |
---|
187 | cases (update A b' a l) |
---|
188 | [ #_ normalize #E destruct |
---|
189 | | #t'' #H normalize #E destruct * // #b'' #NE @H /2/ |
---|
190 | ] |
---|
191 | ] |
---|
192 | ] qed. |
---|
193 | |
---|
194 | let rec merge (A: Type[0]) (b: positive_map A) (c:positive_map A) on b: positive_map A ≝ |
---|
195 | match b with |
---|
196 | [ pm_leaf ⇒ c |
---|
197 | | pm_node a l r ⇒ |
---|
198 | match c with |
---|
199 | [ pm_leaf ⇒ pm_node A a l r |
---|
200 | | pm_node a' l' r' ⇒ pm_node A a' (merge A l l') (merge A r r') |
---|
201 | ] |
---|
202 | ]. |
---|
203 | |
---|