1 | include "utilities/extralib.ma". |
---|
2 | include "common/Errors.ma". |
---|
3 | |
---|
4 | (* IO monad *) |
---|
5 | |
---|
6 | inductive IO (output:Type[0]) (input:output → Type[0]) (T:Type[0]) : Type[0] ≝ |
---|
7 | | Interact : ∀o:output. (input o → IO output input T) → IO output input T |
---|
8 | | Value : T → IO output input T |
---|
9 | | Wrong : errmsg → IO output input T. |
---|
10 | |
---|
11 | include "utilities/proper.ma". |
---|
12 | (* a weak form of extensionality *) |
---|
13 | axiom interact_proper : |
---|
14 | ∀O,I,T,o.∀f,g : I o → IO O I T.(∀i. f i = g i) → Interact … o f = Interact … o g. |
---|
15 | |
---|
16 | let rec bindIO (O:Type[0]) (I:O → Type[0]) (T,T':Type[0]) (v:IO O I T) (f:T → IO O I T') on v : IO O I T' ≝ |
---|
17 | match v with |
---|
18 | [ Interact out k ⇒ (Interact ??? out (λres. bindIO O I T T' (k res) f)) |
---|
19 | | Value v' ⇒ (f v') |
---|
20 | | Wrong m ⇒ Wrong O I T' m |
---|
21 | ]. |
---|
22 | |
---|
23 | include "utilities/monad.ma". |
---|
24 | |
---|
25 | definition IOMonad ≝ λO,I. |
---|
26 | MakeMonadProps |
---|
27 | (* the monad *) |
---|
28 | (IO O I) |
---|
29 | (* return *) |
---|
30 | (λX.Value … X) |
---|
31 | (* bind *) |
---|
32 | (bindIO O I) |
---|
33 | ????. / by / |
---|
34 | [(* bind_ret *) |
---|
35 | #X#m elim m normalize // #o#f#Hi @interact_proper // |
---|
36 | |(* bind_bind *) |
---|
37 | #X#Y#Z#m#f#g elim m normalize [2,3://] |
---|
38 | (* Interact *) |
---|
39 | #o#f #Hi @interact_proper // |
---|
40 | |#X #Y #m #f #g #H elim m normalize |
---|
41 | [ #o #x @interact_proper ] // |
---|
42 | ] |
---|
43 | qed. |
---|
44 | |
---|
45 | definition bindIO2 ≝ λO,I. m_bind2 (IOMonad O I). |
---|
46 | |
---|
47 | include "hints_declaration.ma". |
---|
48 | alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1". |
---|
49 | unification hint 0 ≔ O, I, T; |
---|
50 | N ≟ IOMonad O I, M ≟ max_def N |
---|
51 | (*******************************************) ⊢ |
---|
52 | IO O I T ≡ monad M T |
---|
53 | . |
---|
54 | |
---|
55 | let rec rel_io O I A B (Perr : relation errmsg) (P : A → B → Prop) (v1 : IO O I A) |
---|
56 | (v2 : IO O I B) on v1 : Prop ≝ |
---|
57 | match v1 with |
---|
58 | [ Value x ⇒ |
---|
59 | match v2 with |
---|
60 | [ Value y ⇒ |
---|
61 | P x y |
---|
62 | | _ ⇒ False |
---|
63 | ] |
---|
64 | | Wrong e1 ⇒ |
---|
65 | match v2 with |
---|
66 | [ Wrong e2 ⇒ Perr e1 e2 |
---|
67 | | _ ⇒ False |
---|
68 | ] |
---|
69 | | Interact o1 f1 ⇒ |
---|
70 | match v2 with |
---|
71 | [ Interact o2 f2 ⇒ |
---|
72 | ∃prf:o1 = o2.∀i.rel_io … Perr P (f1 i) (f2 ?) |
---|
73 | | _ ⇒ False |
---|
74 | ] |
---|
75 | ]. <prf @i qed. |
---|
76 | |
---|
77 | definition IORel ≝ λO,I,Perr. |
---|
78 | mk_MonadRel (IOMonad O I) (IOMonad O I) |
---|
79 | (λA,B.rel_io O I A B Perr) |
---|
80 | ???. |
---|
81 | [// |
---|
82 | |#X #Y #Z #W #relin #relout #m elim m |
---|
83 | [ #o #f #IH * [#o' #f' | #v | #e] * #EQ destruct(EQ) #G |
---|
84 | #f1 #f2 #G' whd %{(refl …)} #i |
---|
85 | @(IH … (G i) f1 f2 G') |
---|
86 | | #v * [#o #f * | #v' | #e *] |
---|
87 | #Pvv' #f #g #H normalize @H @Pvv' |
---|
88 | | #e1 * [#o #f * | #v' *| #e2] // |
---|
89 | ] |
---|
90 | | #X #Y #P #Q #H #m elim m [#o #f #IH | #v | #e] * |
---|
91 | [1,4,7: #o' #f' [2,3: *] |
---|
92 | normalize * #prf destruct(prf) normalize #G |
---|
93 | % [%] normalize #i @IH @G |
---|
94 | |2,5,8: #v' [1,3: *] |
---|
95 | @H |
---|
96 | |*: #e' [1,2: *] // |
---|
97 | ] |
---|
98 | ] |
---|
99 | qed. |
---|
100 | |
---|
101 | lemma IORel_refl : ∀O,I,Perr.reflexive ? Perr → ∀X,rel.reflexive X rel → |
---|
102 | reflexive ? (m_rel ?? (IORel O I Perr) ?? rel). |
---|
103 | #O #I #Perr #G #X #rel #H #m elim m |
---|
104 | [ #o #f #IH whd %[%] #i normalize @IH |
---|
105 | | #v @H |
---|
106 | | #e @G |
---|
107 | ] |
---|
108 | qed. |
---|
109 | |
---|
110 | lemma IORel_transitive : ∀O,I,Perr1,Perr2,Perr3. |
---|
111 | (∀e1,e2,e3.Perr1 e1 e2 → Perr2 e2 e3 → Perr3 e1 e3) → |
---|
112 | ∀X,Y,Z,rel1,rel2,rel3. |
---|
113 | (∀x : X.∀y : Y.∀z : Z.rel1 x y → rel2 y z → rel3 x z) → |
---|
114 | ∀m,n,o. |
---|
115 | m_rel ?? (IORel O I Perr1) … rel1 m n → |
---|
116 | m_rel ?? (IORel O I Perr2) … rel2 n o → |
---|
117 | m_rel ?? (IORel O I Perr3) … rel3 m o. |
---|
118 | #O #I #Perr1 #Perr2 #Perr3 #Herr #X #Y #Z #rel1 #rel2 #rel3 #H #m elim m |
---|
119 | [ #o #f #IH * [#o' #f' * [#o'' #f'' | #v #_ * | #e #_ * ] | #v #x * | #e #x * ] |
---|
120 | normalize * #EQ #H1 * #EQ' #H2 destruct %[%] normalize #i @(IH ? (f' i)) // |
---|
121 | | #v * [#o #f #x * | #v' * [#o #f #_ * | #v'' |#e #_ *] | #e #x *] |
---|
122 | @H |
---|
123 | | #e * [#o #f #x * | #v #x * | #e' * [#o #f #_ * | #v #_ * | #e'']] @Herr |
---|
124 | ] |
---|
125 | qed. |
---|
126 | |
---|
127 | |
---|
128 | lemma rel_io_eq : ∀O,I,A.∀m,n:IO O I A.m = n → m_rel ?? (IORel O I (eq ?)) … (eq ?) m n. |
---|
129 | #O#I#A#m#n#EQ >EQ @IORel_refl // |
---|
130 | qed. |
---|
131 | |
---|
132 | lemma eq_rel_io : ∀O,I,A.∀m,n:IO O I A.m_rel ?? (IORel O I (eq ?)) … (eq ?) m n → m = n. |
---|
133 | #O#I#A#m elim m |
---|
134 | [ #o #f #IH * [#o' #f' | #v * | #e * ] |
---|
135 | normalize * #EQ #H destruct @interact_proper #i @IH @H |
---|
136 | | #v * [#o #f * | #v' | #e *] |
---|
137 | | #e * [#o #f * | #v * | #e'] |
---|
138 | ] #EQ >EQ % |
---|
139 | qed. |
---|
140 | |
---|
141 | coercion rel_io_to_eq nocomposites : ∀O,I,A,m,n.∀prf : m = n. |
---|
142 | m_rel ?? (IORel O I (eq ?)) A A (eq ?) m n ≝ rel_io_eq on |
---|
143 | _prf : eq (IO ???) ?? to m_rel ?? (IORel ?? (eq ?)) ?? (eq ?) ??. |
---|
144 | |
---|
145 | coercion eq_to_rel_io nocomposites : ∀O,I,A,m,n.∀prf : |
---|
146 | m_rel ?? (IORel O I (eq ?)) A A (eq ?) m n.m = n ≝ eq_rel_io on |
---|
147 | _prf : m_rel ?? (IORel ?? (eq ?)) ?? (eq ?) ?? to eq (IO ???) ??. |
---|
148 | |
---|
149 | |
---|
150 | let rec pred_io O I A (Perr : predicate errmsg) (P : A → Prop) (v : IO O I A) on v : Prop ≝ |
---|
151 | match v with |
---|
152 | [ Value x ⇒ P x |
---|
153 | | Wrong e ⇒ Perr e |
---|
154 | | Interact o f ⇒ ∀i.pred_io … Perr P (f i) |
---|
155 | ]. |
---|
156 | |
---|
157 | let rec pred_io_inject O I A Perr P (a : IO O I A) |
---|
158 | on a : pred_io O I A Perr P a → IO O I (Σx.P x) ≝ |
---|
159 | match a return λx.pred_io O I A Perr P x → IO O I (Σx.P x) with |
---|
160 | [ Interact o f ⇒ λprf. |
---|
161 | Interact … o (λx.pred_io_inject … Perr P (f x) (prf x)) |
---|
162 | | Value x ⇒ λprf.return «x, prf» |
---|
163 | | Wrong e ⇒ λ_.Wrong … e |
---|
164 | ]. |
---|
165 | |
---|
166 | definition IOPred ≝ λO,I,Perr. |
---|
167 | mk_MonadPred (IOMonad O I) |
---|
168 | (λA.pred_io O I A Perr) |
---|
169 | (λA,P,a_sig.match a_sig with [ mk_Sig a prf ⇒ pred_io_inject O I A Perr P a prf ]) |
---|
170 | ????. |
---|
171 | [// |
---|
172 | |#X #Y #relin #relout #m elim m |
---|
173 | [ #o #f #IH whd in ⊢ (%→?); #H |
---|
174 | #f #G whd #i |
---|
175 | @(IH … (H i) f G) |
---|
176 | | #v #Pv #f #H normalize @H @Pv |
---|
177 | | #e // |
---|
178 | ] |
---|
179 | | #X #P #Q #H #m elim m |
---|
180 | [#o #f #IH #H #i @IH @H |
---|
181 | | #v @H |
---|
182 | | #e // |
---|
183 | ] |
---|
184 | |#X #P * #m elim m |
---|
185 | [ #o #f #IH whd in ⊢ (%→?); #H |
---|
186 | change with (Interact ?????) in ⊢ (???%); |
---|
187 | @interact_proper #i |
---|
188 | @(IH i (H i)) |
---|
189 | |*: // |
---|
190 | ] |
---|
191 | qed. |
---|
192 | |
---|
193 | unification hint 0 ≔ O, I, Perr, A, P, v; |
---|
194 | M ≟ IOMonad O I, Pr ≟ IOPred O I Perr |
---|
195 | ⊢ pred_io O I A Perr P v ≡ m_pred M Pr A P v. |
---|
196 | |
---|
197 | definition err_to_io : ∀O,I,T. res T → IO O I T ≝ |
---|
198 | λO,I,T,v. match v with [ OK v' ⇒ Value O I T v' | Error m ⇒ Wrong O I T m ]. |
---|
199 | |
---|
200 | coercion err_to_io : ∀O,I,A.∀c:res A.IO O I A ≝ err_to_io on _c:res ? to IO ???. |
---|
201 | |
---|
202 | lemma res_io_pred : ∀O,I,A,Perr,P.∀m : res A.pred_res … Perr P m → pred_io O I ? Perr P m. |
---|
203 | #O #I #A #Perr #P * /2/ qed. |
---|
204 | |
---|
205 | lemma io_res_pred : ∀O,I,A,Perr,P.∀m : res A.pred_io O I ? Perr P m → pred_res ? Perr P m. |
---|
206 | #O #I #A #Perr #P * /2/ qed. |
---|
207 | |
---|
208 | definition err_to_io_sig : ∀O,I,T.∀P:T → Prop. res (Sig T P) → IO O I (Sig T P) ≝ |
---|
209 | λO,I,T,P,v. match v with [ OK v' ⇒ Value O I (Sig T P) v' | Error m ⇒ Wrong O I (Sig T P) m ]. |
---|
210 | (*coercion err_to_io_sig : ∀O,I,A.∀P:A → Prop.∀c:res (Sig A P).IO O I (Sig A P) ≝ err_to_io_sig on _c:res (Sig ??) to IO ?? (Sig ??).*) |
---|
211 | |
---|
212 | let rec P_io O I (A:Type[0]) (P:A → Prop) (v:IO O I A) on v : Prop ≝ |
---|
213 | match v return λ_.Prop with |
---|
214 | [ Wrong _ ⇒ True |
---|
215 | | Value z ⇒ P z |
---|
216 | | Interact out k ⇒ ∀v'.P_io O I A P (k v') |
---|
217 | ]. |
---|
218 | |
---|
219 | let rec P_io' O I (A:Type[0]) (P:A → Prop) (v:IO O I A) on v : Prop ≝ |
---|
220 | match v return λ_.Prop with |
---|
221 | [ Wrong _ ⇒ False |
---|
222 | | Value z ⇒ P z |
---|
223 | | Interact out k ⇒ ∀v'.P_io' O I A P (k v') |
---|
224 | ]. |
---|
225 | |
---|
226 | definition P_to_P_option_io : ∀O,I,A.∀P:A → Prop.option (IO O I A) → Prop ≝ |
---|
227 | λO,I,A,P,a.match a with |
---|
228 | [ None ⇒ False |
---|
229 | | Some y ⇒ P_io O I A P y |
---|
230 | ]. |
---|
231 | |
---|
232 | let rec io_inject_0 O I (A:Type[0]) (P:A → Prop) (a:IO O I A) (p:P_io O I A P a) on a : IO O I (Sig A P) ≝ |
---|
233 | (match a return λa'.P_io O I A P a' → ? with |
---|
234 | [ Wrong m ⇒ λ_. Wrong O I ? m |
---|
235 | | Value c ⇒ λp'. Value ??? (mk_Sig A P c p') |
---|
236 | | Interact out k ⇒ λp'. Interact ??? out (λv. io_inject_0 O I A P (k v) (p' v)) |
---|
237 | ]) p. |
---|
238 | |
---|
239 | definition io_inject : ∀O,I,A.∀P:A → Prop.∀a:option (IO O I A).∀p:P_to_P_option_io O I A P a.IO O I (Sig A P) ≝ |
---|
240 | λO,I,A.λP:A → Prop.λa:option (IO O I A).λp:P_to_P_option_io O I A P a. |
---|
241 | (match a return λa'.P_to_P_option_io O I A P a' → IO O I (Sig A P) with |
---|
242 | [ None ⇒ λp'.? |
---|
243 | | Some b ⇒ λp'. io_inject_0 O I A P b p' |
---|
244 | ]) p. |
---|
245 | elim p'; qed. |
---|
246 | |
---|
247 | let rec io_eject O I (A:Type[0]) (P: A → Prop) (a:IO O I (Sig A P)) on a : IO O I A ≝ |
---|
248 | match a with |
---|
249 | [ Wrong m ⇒ Wrong ??? m |
---|
250 | | Value b ⇒ match b with [ mk_Sig w p ⇒ Value ??? w] |
---|
251 | | Interact out k ⇒ Interact ??? out (λv. io_eject ?? A P (k v)) |
---|
252 | ]. |
---|
253 | |
---|
254 | coercion io_inject : |
---|
255 | ∀O,I,A.∀P:A → Prop.∀a.∀p:P_to_P_option_io O I ? P a.IO O I (Sig A P) ≝ io_inject |
---|
256 | on a:option (IO ???) to IO ?? (Sig ? ?). |
---|
257 | coercion io_eject : ∀O,I,A.∀P:A → Prop.∀c:IO O I (Sig A P).IO O I A ≝ io_eject |
---|
258 | on _c:IO ?? (Sig ? ?) to IO ???. |
---|
259 | |
---|
260 | definition opt_to_io : ∀O,I,T.errmsg → option T → IO O I T ≝ |
---|
261 | λO,I,T,m,v. match v with [ None ⇒ Wrong ?? T m | Some v' ⇒ Value ??? v' ]. |
---|
262 | |
---|
263 | lemma sig_bindIO_OK: ∀O,I,A,B. ∀P:A → Prop. ∀P':B → Prop. ∀e:IO O I (Sig A P). ∀f:Sig A P → IO O I B. |
---|
264 | (∀v:A. ∀p:P v. P_io O I ? P' (f (mk_Sig A P v p))) → |
---|
265 | P_io O I ? P' (bindIO O I (Sig A P) B e f). |
---|
266 | #O #I #A #B #P #P' #e #f elim e; |
---|
267 | [ #out #k #IH #IH' whd; #res @IH //; |
---|
268 | | #v0 elim v0; #v #Hv #IH whd; @IH |
---|
269 | | //; |
---|
270 | ] qed. |
---|
271 | |
---|
272 | lemma sig_bindIO2_OK: ∀O,I,A,B,C. ∀P:(A×B) → Prop. ∀P':C → Prop. ∀e:IO O I (Sig (A×B) P). ∀f: A → B → IO O I C. |
---|
273 | (∀vA:A.∀vB:B. ∀p:P 〈vA,vB〉. P_io O I ? P' (f vA vB)) → |
---|
274 | P_io O I ? P' (bindIO2 O I A B C e f). |
---|
275 | #I #O #A #B #C #P #P' #e #f elim e; |
---|
276 | [ #out #k #IH #IH' whd; #res @IH @IH' |
---|
277 | | #v0 elim v0; #v elim v; #vA #vB #Hv #IH @IH //; |
---|
278 | | //; |
---|
279 | ] qed. |
---|
280 | |
---|
281 | lemma opt_bindIO_OK: ∀O,I,A,B,m. ∀P:B → Prop. ∀e:option A. ∀f: A → IO O I B. |
---|
282 | (∀v:A. e = Some A v → P_io O I ? P (f v)) → |
---|
283 | P_io O I ? P (bindIO O I A B (opt_to_io ??? m e) f). |
---|
284 | #I #O #A #B #m #P #e elim e; //; #v #f #H @H //; |
---|
285 | qed. |
---|
286 | |
---|
287 | lemma opt_bindIO2_OK: ∀O,I,A,B,C,m. ∀P:C → Prop. ∀e:option (A×B). ∀f: A → B → IO O I C. |
---|
288 | (∀vA:A.∀vB:B. e = Some (A×B) 〈vA,vB〉 → P_io O I ? P (f vA vB)) → |
---|
289 | P_io O I ? P (bindIO2 O I A B C (opt_to_io ??? m e) f). |
---|
290 | #I #O #A #B #C #m #P #e elim e; //; #v cases v; #vA #vB #f #H @H //; |
---|
291 | qed. |
---|
292 | |
---|
293 | lemma res_bindIO_OK: ∀O,I,A,B. ∀P:B → Prop. ∀e:res A. ∀f: A → IO O I B. |
---|
294 | (∀v:A. e = OK A v → P_io O I ? P (f v)) → |
---|
295 | P_io O I ? P (bindIO O I A B e f). |
---|
296 | #I #O #A #B #P #e elim e; //; #v #f #H @H //; |
---|
297 | qed. |
---|
298 | |
---|
299 | lemma res_bindIO2_OK: ∀O,I,A,B,C. ∀P:C → Prop. ∀e:res (A×B). ∀f: A → B → IO O I C. |
---|
300 | (∀vA:A.∀vB:B. e = OK (A×B) 〈vA,vB〉 → P_io O I ? P (f vA vB)) → |
---|
301 | P_io O I ? P (bindIO2 O I A B C e f). |
---|
302 | #I #O #A #B #C #P #e elim e; //; #v cases v; #vA #vB #f #H @H //; |
---|
303 | qed. |
---|
304 | |
---|
305 | lemma bindIO_OK: ∀O,I,A,B. ∀P:B → Prop. ∀e:IO O I A. ∀f: A → IO O I B. |
---|
306 | (∀v:A. P_io O I ? P (f v)) → |
---|
307 | P_io O I ? P (bindIO O I A B e f). |
---|
308 | #I #O #A #B #P #e elim e; |
---|
309 | [ #out #k #IH #f #H whd; #res @IH //; |
---|
310 | | #v #f #H @H |
---|
311 | | //; |
---|
312 | ] qed. |
---|
313 | |
---|
314 | lemma bindIO2_OK: ∀O,I,A,B,C. ∀P:C → Prop. ∀e:IO O I (A×B). ∀f: A → B → IO O I C. |
---|
315 | (∀v1:A.∀v2:B. P_io O I ? P (f v1 v2)) → |
---|
316 | P_io O I ? P (bindIO2 O I A B C e f). |
---|
317 | #I #O #A #B #C #P #e elim e; |
---|
318 | [ #out #k #IH #f #H whd; #res @IH //; |
---|
319 | | #v cases v; #v1 #v2 #f #H @H |
---|
320 | | //; |
---|
321 | ] qed. |
---|
322 | |
---|
323 | lemma P_bindIO_OK: ∀O,I,A,B. ∀P':A → Prop. ∀P:B → Prop. ∀e:IO O I A. ∀f: A → IO O I B. |
---|
324 | P_io … P' e → |
---|
325 | (∀v:A. P' v → P_io O I ? P (f v)) → |
---|
326 | P_io O I ? P (bindIO O I A B e f). |
---|
327 | #I #O #A #B #P' #P #e elim e; |
---|
328 | [ #out #k #IH #f #He #H whd in He ⊢ %; #res @IH /2 by /; |
---|
329 | | #v #f #He #H @H @He |
---|
330 | | //; |
---|
331 | ] qed. |
---|
332 | |
---|
333 | lemma P_bindIO2_OK: ∀O,I,A,B,C. ∀P':A×B → Prop. ∀P:C → Prop. ∀e:IO O I (A×B). ∀f: A → B → IO O I C. |
---|
334 | P_io … P' e → |
---|
335 | (∀v1:A.∀v2:B. P' 〈v1,v2〉 → P_io O I ? P (f v1 v2)) → |
---|
336 | P_io O I ? P (bindIO2 O I A B C e f). |
---|
337 | #I #O #A #B #C #P' #P #e elim e; |
---|
338 | [ #out #k #IH #f #He #H whd in He ⊢ %; #res @IH /2 by /; |
---|
339 | | #v cases v; #v1 #v2 #f #He #H @H @He |
---|
340 | | //; |
---|
341 | ] qed. |
---|
342 | |
---|
343 | |
---|
344 | (* Is there a way to prove this without extensionality? *) |
---|
345 | (* |
---|
346 | lemma bind_assoc_r: ∀O,I,A,B,C,e,f,g. |
---|
347 | ∀ext:(∀T1,T2:Type[0].∀f,f':T1 → T2.(∀x.f x = f' x) → f = f'). |
---|
348 | bindIO O I B C (bindIO O I A B e f) g = bindIO O I A C e (λx.bindIO O I B C (f x) g). |
---|
349 | #O #I #A #B #C #e #f #g #ext elim e; |
---|
350 | [ #o #k #IH whd in ⊢ (??%%); @eq_f |
---|
351 | @ext @IH |
---|
352 | | #v @refl |
---|
353 | | #m @refl |
---|
354 | ] qed. |
---|
355 | *) |
---|
356 | definition bind_assoc_r ≝ λO,I.m_bind_bind (IOMonad O I). |
---|
357 | |
---|
358 | (* |
---|
359 | lemma extract_subset_pair_io: ∀O,I,A,B,C,P. ∀e:{e:A×B | P e}. ∀Q:A→B→IO O I C. ∀R:C→Prop. |
---|
360 | (∀a,b. eject ?? e = 〈a,b〉 → P 〈a,b〉 → P_io O I ? R (Q a b)) → |
---|
361 | P_io O I ? R (match eject ?? e with [ pair a b ⇒ Q a b ]). |
---|
362 | #I #O #A #B #C #P #e #Q #R cases e; #e' cases e'; normalize; |
---|
363 | [ *; |
---|
364 | | #e'' cases e''; #a #b #Pab #H normalize; /2 by _/; |
---|
365 | ] qed. |
---|
366 | *) |
---|
367 | |
---|
368 | (* Inversion when injecting errors into IO monad. *) |
---|
369 | lemma bind_res_value : ∀O,I,A,B,e,f,v. ∀P:B → Prop. |
---|
370 | (∀a. e = OK A a → f a = OK B v → P v) → |
---|
371 | (match e »= f with [ OK v ⇒ Value … v | Error m ⇒ Wrong … m ] = Value O I B v → P v). |
---|
372 | #O #I #A #B * |
---|
373 | [ #a #f #v #P #H #E @H [ @a | @refl | normalize in E; cases (f a) in E ⊢ %; |
---|
374 | [ #v' #E normalize in E; destruct @refl | #m #E normalize in E; destruct ] ] |
---|
375 | | #m #f #v #P #H #E whd in E:(??%?); destruct |
---|
376 | ] qed. |
---|
377 | |
---|
378 | lemma bindIO_value : ∀O,I,A,B,e,f,v. ∀P:B → Prop. |
---|
379 | (∀a. e = Value ??? a → f a = Value ??? v → P v) → |
---|
380 | (bindIO O I A B e f = Value ??? v → P v). |
---|
381 | #O #I #A #B * |
---|
382 | [ #o #k #f #v #P #H #E whd in E:(??%?); destruct |
---|
383 | | #a #f #v #P #H #E @H [ @a | @refl | @E ] |
---|
384 | | #m #f #v #P #H #E whd in E:(??%?); destruct |
---|
385 | ] qed. |
---|
386 | |
---|
387 | lemma bindIO_inversion: ∀O,I. |
---|
388 | ∀A,B: Type[0]. ∀f: IO O I A. ∀g: A → IO O I B. ∀y: B. |
---|
389 | (f »= g = return y) → |
---|
390 | ∃x. (f = return x) ∧ (g x = return y). |
---|
391 | #O #I #A #B #f #g #y cases f normalize |
---|
392 | [ #o #k #E destruct |
---|
393 | | #a #e %{a} /2 by conj/ |
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394 | | #m #H destruct (H) |
---|
395 | ] qed. |
---|
396 | |
---|
397 | (* When something in the error monad has found its way into the IO monad, |
---|
398 | ensure that we can implicitly go back. *) |
---|
399 | lemma io_eq_to_res : ∀O,I. ∀T:Type[0]. ∀e:res T. ∀v. |
---|
400 | err_to_io … e = Value O I T v → |
---|
401 | e = OK T v. |
---|
402 | #O #I #T * |
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403 | [ #e #v #E normalize in E; destruct @refl |
---|
404 | | #m #v #E normalize in E; destruct |
---|
405 | ] |
---|
406 | qed. |
---|
407 | |
---|
408 | coercion io_eq_from_res : |
---|
409 | ∀O,I,T,e,v. ∀E:err_to_io O I T e = Value O I T v. e = OK T v ≝ io_eq_to_res |
---|
410 | on _E:eq (IO ???) ?? to eq (res ?) ??. |
---|
411 | |
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