[700] | 1 | include "utilities/extralib.ma". |
---|
| 2 | include "common/Errors.ma". |
---|
[24] | 3 | |
---|
| 4 | (* IO monad *) |
---|
| 5 | |
---|
[487] | 6 | inductive IO (output:Type[0]) (input:output → Type[0]) (T:Type[0]) : Type[0] ≝ |
---|
[366] | 7 | | Interact : ∀o:output. (input o → IO output input T) → IO output input T |
---|
| 8 | | Value : T → IO output input T |
---|
[797] | 9 | | Wrong : errmsg → IO output input T. |
---|
[24] | 10 | |
---|
[1640] | 11 | include "utilities/proper.ma". |
---|
| 12 | (* a weak form of extensionality *) |
---|
| 13 | axiom interact_proper : |
---|
| 14 | ∀O,I,T,o.∀f,g : I o → IO O I T.(∀i. f i = g i) → Interact … o f = Interact … o g. |
---|
| 15 | |
---|
[487] | 16 | let rec bindIO (O:Type[0]) (I:O → Type[0]) (T,T':Type[0]) (v:IO O I T) (f:T → IO O I T') on v : IO O I T' ≝ |
---|
[24] | 17 | match v with |
---|
[366] | 18 | [ Interact out k ⇒ (Interact ??? out (λres. bindIO O I T T' (k res) f)) |
---|
[24] | 19 | | Value v' ⇒ (f v') |
---|
[797] | 20 | | Wrong m ⇒ Wrong O I T' m |
---|
[24] | 21 | ]. |
---|
| 22 | |
---|
[1640] | 23 | include "utilities/monad.ma". |
---|
[24] | 24 | |
---|
[1640] | 25 | definition IOMonad ≝ λO,I. |
---|
[1647] | 26 | MakeMonadProps |
---|
[1640] | 27 | (* the monad *) |
---|
| 28 | (IO O I) |
---|
| 29 | (* return *) |
---|
| 30 | (λX.Value … X) |
---|
| 31 | (* bind *) |
---|
| 32 | (bindIO O I) |
---|
[1882] | 33 | ????. / by / |
---|
[1647] | 34 | [(* bind_ret *) |
---|
| 35 | #X#m elim m normalize // #o#f#Hi @interact_proper // |
---|
| 36 | |(* bind_bind *) |
---|
[1640] | 37 | #X#Y#Z#m#f#g elim m normalize [2,3://] |
---|
| 38 | (* Interact *) |
---|
| 39 | #o#f #Hi @interact_proper // |
---|
[1882] | 40 | |#X #Y #m #f #g #H elim m normalize |
---|
| 41 | [ #o #x @interact_proper ] // |
---|
[1640] | 42 | ] |
---|
| 43 | qed. |
---|
| 44 | |
---|
| 45 | definition bindIO2 ≝ λO,I. m_bind2 (IOMonad O I). |
---|
| 46 | |
---|
| 47 | include "hints_declaration.ma". |
---|
[1949] | 48 | alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1". |
---|
[1640] | 49 | unification hint 0 ≔ O, I, T; |
---|
[1882] | 50 | N ≟ IOMonad O I, M ≟ max_def N |
---|
[1640] | 51 | (*******************************************) ⊢ |
---|
[1882] | 52 | IO O I T ≡ monad M T |
---|
[1640] | 53 | . |
---|
| 54 | |
---|
[1949] | 55 | let rec rel_io O I A B (Perr : relation errmsg) (P : A → B → Prop) (v1 : IO O I A) |
---|
| 56 | (v2 : IO O I B) on v1 : Prop ≝ |
---|
| 57 | match v1 with |
---|
| 58 | [ Value x ⇒ |
---|
| 59 | match v2 with |
---|
| 60 | [ Value y ⇒ |
---|
| 61 | P x y |
---|
| 62 | | _ ⇒ False |
---|
| 63 | ] |
---|
| 64 | | Wrong e1 ⇒ |
---|
| 65 | match v2 with |
---|
| 66 | [ Wrong e2 ⇒ Perr e1 e2 |
---|
| 67 | | _ ⇒ False |
---|
| 68 | ] |
---|
| 69 | | Interact o1 f1 ⇒ |
---|
| 70 | match v2 with |
---|
| 71 | [ Interact o2 f2 ⇒ |
---|
| 72 | ∃prf:o1 = o2.∀i.rel_io … Perr P (f1 i) (f2 ?) |
---|
| 73 | | _ ⇒ False |
---|
| 74 | ] |
---|
| 75 | ]. <prf @i qed. |
---|
[1640] | 76 | |
---|
[1949] | 77 | definition IORel ≝ λO,I,Perr. |
---|
| 78 | mk_MonadRel (IOMonad O I) (IOMonad O I) |
---|
| 79 | (λA,B.rel_io O I A B Perr) |
---|
| 80 | ???. |
---|
| 81 | [// |
---|
| 82 | |#X #Y #Z #W #relin #relout #m elim m |
---|
| 83 | [ #o #f #IH * [#o' #f' | #v | #e] * #EQ destruct(EQ) #G |
---|
| 84 | #f1 #f2 #G' whd %{(refl …)} #i |
---|
| 85 | @(IH … (G i) f1 f2 G') |
---|
| 86 | | #v * [#o #f * | #v' | #e *] |
---|
| 87 | #Pvv' #f #g #H normalize @H @Pvv' |
---|
| 88 | | #e1 * [#o #f * | #v' *| #e2] // |
---|
| 89 | ] |
---|
| 90 | | #X #Y #P #Q #H #m elim m [#o #f #IH | #v | #e] * |
---|
| 91 | [1,4,7: #o' #f' [2,3: *] |
---|
| 92 | normalize * #prf destruct(prf) normalize #G |
---|
| 93 | % [%] normalize #i @IH @G |
---|
| 94 | |2,5,8: #v' [1,3: *] |
---|
| 95 | @H |
---|
| 96 | |*: #e' [1,2: *] // |
---|
| 97 | ] |
---|
| 98 | ] |
---|
| 99 | qed. |
---|
| 100 | |
---|
| 101 | lemma IORel_refl : ∀O,I,Perr.reflexive ? Perr → ∀X,rel.reflexive X rel → |
---|
| 102 | reflexive ? (m_rel ?? (IORel O I Perr) ?? rel). |
---|
| 103 | #O #I #Perr #G #X #rel #H #m elim m |
---|
| 104 | [ #o #f #IH whd %[%] #i normalize @IH |
---|
| 105 | | #v @H |
---|
| 106 | | #e @G |
---|
| 107 | ] |
---|
| 108 | qed. |
---|
| 109 | |
---|
| 110 | lemma IORel_transitive : ∀O,I,Perr1,Perr2,Perr3. |
---|
| 111 | (∀e1,e2,e3.Perr1 e1 e2 → Perr2 e2 e3 → Perr3 e1 e3) → |
---|
| 112 | ∀X,Y,Z,rel1,rel2,rel3. |
---|
| 113 | (∀x : X.∀y : Y.∀z : Z.rel1 x y → rel2 y z → rel3 x z) → |
---|
| 114 | ∀m,n,o. |
---|
| 115 | m_rel ?? (IORel O I Perr1) … rel1 m n → |
---|
| 116 | m_rel ?? (IORel O I Perr2) … rel2 n o → |
---|
| 117 | m_rel ?? (IORel O I Perr3) … rel3 m o. |
---|
| 118 | #O #I #Perr1 #Perr2 #Perr3 #Herr #X #Y #Z #rel1 #rel2 #rel3 #H #m elim m |
---|
| 119 | [ #o #f #IH * [#o' #f' * [#o'' #f'' | #v #_ * | #e #_ * ] | #v #x * | #e #x * ] |
---|
| 120 | normalize * #EQ #H1 * #EQ' #H2 destruct %[%] normalize #i @(IH ? (f' i)) // |
---|
| 121 | | #v * [#o #f #x * | #v' * [#o #f #_ * | #v'' |#e #_ *] | #e #x *] |
---|
| 122 | @H |
---|
| 123 | | #e * [#o #f #x * | #v #x * | #e' * [#o #f #_ * | #v #_ * | #e'']] @Herr |
---|
| 124 | ] |
---|
| 125 | qed. |
---|
| 126 | |
---|
| 127 | |
---|
| 128 | lemma rel_io_eq : ∀O,I,A.∀m,n:IO O I A.m = n → m_rel ?? (IORel O I (eq ?)) … (eq ?) m n. |
---|
| 129 | #O#I#A#m#n#EQ >EQ @IORel_refl // |
---|
| 130 | qed. |
---|
| 131 | |
---|
| 132 | lemma eq_rel_io : ∀O,I,A.∀m,n:IO O I A.m_rel ?? (IORel O I (eq ?)) … (eq ?) m n → m = n. |
---|
| 133 | #O#I#A#m elim m |
---|
| 134 | [ #o #f #IH * [#o' #f' | #v * | #e * ] |
---|
| 135 | normalize * #EQ #H destruct @interact_proper #i @IH @H |
---|
| 136 | | #v * [#o #f * | #v' | #e *] |
---|
| 137 | | #e * [#o #f * | #v * | #e'] |
---|
| 138 | ] #EQ >EQ % |
---|
| 139 | qed. |
---|
| 140 | |
---|
| 141 | coercion rel_io_to_eq nocomposites : ∀O,I,A,m,n.∀prf : m = n. |
---|
| 142 | m_rel ?? (IORel O I (eq ?)) A A (eq ?) m n ≝ rel_io_eq on |
---|
| 143 | _prf : eq (IO ???) ?? to m_rel ?? (IORel ?? (eq ?)) ?? (eq ?) ??. |
---|
| 144 | |
---|
| 145 | coercion eq_to_rel_io nocomposites : ∀O,I,A,m,n.∀prf : |
---|
| 146 | m_rel ?? (IORel O I (eq ?)) A A (eq ?) m n.m = n ≝ eq_rel_io on |
---|
| 147 | _prf : m_rel ?? (IORel ?? (eq ?)) ?? (eq ?) ?? to eq (IO ???) ??. |
---|
| 148 | |
---|
| 149 | |
---|
| 150 | let rec pred_io O I A (Perr : predicate errmsg) (P : A → Prop) (v : IO O I A) on v : Prop ≝ |
---|
| 151 | match v with |
---|
| 152 | [ Value x ⇒ P x |
---|
| 153 | | Wrong e ⇒ Perr e |
---|
| 154 | | Interact o f ⇒ ∀i.pred_io … Perr P (f i) |
---|
| 155 | ]. |
---|
| 156 | |
---|
| 157 | let rec pred_io_inject O I A Perr P (a : IO O I A) |
---|
| 158 | on a : pred_io O I A Perr P a → IO O I (Σx.P x) ≝ |
---|
| 159 | match a return λx.pred_io O I A Perr P x → IO O I (Σx.P x) with |
---|
| 160 | [ Interact o f ⇒ λprf. |
---|
| 161 | Interact … o (λx.pred_io_inject … Perr P (f x) (prf x)) |
---|
| 162 | | Value x ⇒ λprf.return «x, prf» |
---|
| 163 | | Wrong e ⇒ λ_.Wrong … e |
---|
| 164 | ]. |
---|
| 165 | |
---|
| 166 | definition IOPred ≝ λO,I,Perr. |
---|
[1976] | 167 | mk_InjMonadPred (IOMonad O I) |
---|
| 168 | (mk_MonadPred ? (λA.pred_io O I A Perr) ???) |
---|
[1949] | 169 | (λA,P,a_sig.match a_sig with [ mk_Sig a prf ⇒ pred_io_inject O I A Perr P a prf ]) |
---|
[1976] | 170 | ?. // |
---|
| 171 | [ #X #P #Q #H #m elim m |
---|
| 172 | [#o #f #IH #H #i @IH @H |
---|
| 173 | | #v @H |
---|
| 174 | | #e // |
---|
| 175 | ] |
---|
| 176 | | #X #Y #relin #relout #m elim m |
---|
[1949] | 177 | [ #o #f #IH whd in ⊢ (%→?); #H |
---|
| 178 | #f #G whd #i |
---|
| 179 | @(IH … (H i) f G) |
---|
| 180 | | #v #Pv #f #H normalize @H @Pv |
---|
| 181 | | #e // |
---|
| 182 | ] |
---|
[1976] | 183 | | #X #P * #m elim m |
---|
[1949] | 184 | [ #o #f #IH whd in ⊢ (%→?); #H |
---|
| 185 | change with (Interact ?????) in ⊢ (???%); |
---|
| 186 | @interact_proper #i |
---|
| 187 | @(IH i (H i)) |
---|
| 188 | |*: // |
---|
| 189 | ] |
---|
| 190 | qed. |
---|
| 191 | |
---|
| 192 | unification hint 0 ≔ O, I, Perr, A, P, v; |
---|
| 193 | M ≟ IOMonad O I, Pr ≟ IOPred O I Perr |
---|
| 194 | ⊢ pred_io O I A Perr P v ≡ m_pred M Pr A P v. |
---|
| 195 | |
---|
[487] | 196 | definition err_to_io : ∀O,I,T. res T → IO O I T ≝ |
---|
[797] | 197 | λO,I,T,v. match v with [ OK v' ⇒ Value O I T v' | Error m ⇒ Wrong O I T m ]. |
---|
[1640] | 198 | |
---|
[487] | 199 | coercion err_to_io : ∀O,I,A.∀c:res A.IO O I A ≝ err_to_io on _c:res ? to IO ???. |
---|
[1640] | 200 | |
---|
[1976] | 201 | (* |
---|
[1949] | 202 | lemma res_io_pred : ∀O,I,A,Perr,P.∀m : res A.pred_res … Perr P m → pred_io O I ? Perr P m. |
---|
| 203 | #O #I #A #Perr #P * /2/ qed. |
---|
| 204 | |
---|
| 205 | lemma io_res_pred : ∀O,I,A,Perr,P.∀m : res A.pred_io O I ? Perr P m → pred_res ? Perr P m. |
---|
| 206 | #O #I #A #Perr #P * /2/ qed. |
---|
[1976] | 207 | *) |
---|
[487] | 208 | definition err_to_io_sig : ∀O,I,T.∀P:T → Prop. res (Sig T P) → IO O I (Sig T P) ≝ |
---|
[797] | 209 | λO,I,T,P,v. match v with [ OK v' ⇒ Value O I (Sig T P) v' | Error m ⇒ Wrong O I (Sig T P) m ]. |
---|
[487] | 210 | (*coercion err_to_io_sig : ∀O,I,A.∀P:A → Prop.∀c:res (Sig A P).IO O I (Sig A P) ≝ err_to_io_sig on _c:res (Sig ??) to IO ?? (Sig ??).*) |
---|
[24] | 211 | |
---|
[487] | 212 | let rec P_io O I (A:Type[0]) (P:A → Prop) (v:IO O I A) on v : Prop ≝ |
---|
[24] | 213 | match v return λ_.Prop with |
---|
[797] | 214 | [ Wrong _ ⇒ True |
---|
[24] | 215 | | Value z ⇒ P z |
---|
[366] | 216 | | Interact out k ⇒ ∀v'.P_io O I A P (k v') |
---|
[24] | 217 | ]. |
---|
| 218 | |
---|
[487] | 219 | let rec P_io' O I (A:Type[0]) (P:A → Prop) (v:IO O I A) on v : Prop ≝ |
---|
[24] | 220 | match v return λ_.Prop with |
---|
[797] | 221 | [ Wrong _ ⇒ False |
---|
[24] | 222 | | Value z ⇒ P z |
---|
[366] | 223 | | Interact out k ⇒ ∀v'.P_io' O I A P (k v') |
---|
[24] | 224 | ]. |
---|
| 225 | |
---|
[487] | 226 | definition P_to_P_option_io : ∀O,I,A.∀P:A → Prop.option (IO O I A) → Prop ≝ |
---|
[366] | 227 | λO,I,A,P,a.match a with |
---|
[24] | 228 | [ None ⇒ False |
---|
[366] | 229 | | Some y ⇒ P_io O I A P y |
---|
[24] | 230 | ]. |
---|
| 231 | |
---|
[487] | 232 | let rec io_inject_0 O I (A:Type[0]) (P:A → Prop) (a:IO O I A) (p:P_io O I A P a) on a : IO O I (Sig A P) ≝ |
---|
[366] | 233 | (match a return λa'.P_io O I A P a' → ? with |
---|
[797] | 234 | [ Wrong m ⇒ λ_. Wrong O I ? m |
---|
[1601] | 235 | | Value c ⇒ λp'. Value ??? (mk_Sig A P c p') |
---|
[366] | 236 | | Interact out k ⇒ λp'. Interact ??? out (λv. io_inject_0 O I A P (k v) (p' v)) |
---|
[211] | 237 | ]) p. |
---|
[24] | 238 | |
---|
[487] | 239 | definition io_inject : ∀O,I,A.∀P:A → Prop.∀a:option (IO O I A).∀p:P_to_P_option_io O I A P a.IO O I (Sig A P) ≝ |
---|
[366] | 240 | λO,I,A.λP:A → Prop.λa:option (IO O I A).λp:P_to_P_option_io O I A P a. |
---|
[487] | 241 | (match a return λa'.P_to_P_option_io O I A P a' → IO O I (Sig A P) with |
---|
[211] | 242 | [ None ⇒ λp'.? |
---|
[366] | 243 | | Some b ⇒ λp'. io_inject_0 O I A P b p' |
---|
[211] | 244 | ]) p. |
---|
[487] | 245 | elim p'; qed. |
---|
[24] | 246 | |
---|
[487] | 247 | let rec io_eject O I (A:Type[0]) (P: A → Prop) (a:IO O I (Sig A P)) on a : IO O I A ≝ |
---|
[24] | 248 | match a with |
---|
[797] | 249 | [ Wrong m ⇒ Wrong ??? m |
---|
[1601] | 250 | | Value b ⇒ match b with [ mk_Sig w p ⇒ Value ??? w] |
---|
[25] | 251 | | Interact out k ⇒ Interact ??? out (λv. io_eject ?? A P (k v)) |
---|
[24] | 252 | ]. |
---|
| 253 | |
---|
[487] | 254 | coercion io_inject : |
---|
| 255 | ∀O,I,A.∀P:A → Prop.∀a.∀p:P_to_P_option_io O I ? P a.IO O I (Sig A P) ≝ io_inject |
---|
| 256 | on a:option (IO ???) to IO ?? (Sig ? ?). |
---|
| 257 | coercion io_eject : ∀O,I,A.∀P:A → Prop.∀c:IO O I (Sig A P).IO O I A ≝ io_eject |
---|
| 258 | on _c:IO ?? (Sig ? ?) to IO ???. |
---|
[24] | 259 | |
---|
[797] | 260 | definition opt_to_io : ∀O,I,T.errmsg → option T → IO O I T ≝ |
---|
| 261 | λO,I,T,m,v. match v with [ None ⇒ Wrong ?? T m | Some v' ⇒ Value ??? v' ]. |
---|
[24] | 262 | |
---|
[487] | 263 | lemma sig_bindIO_OK: ∀O,I,A,B. ∀P:A → Prop. ∀P':B → Prop. ∀e:IO O I (Sig A P). ∀f:Sig A P → IO O I B. |
---|
[1601] | 264 | (∀v:A. ∀p:P v. P_io O I ? P' (f (mk_Sig A P v p))) → |
---|
[487] | 265 | P_io O I ? P' (bindIO O I (Sig A P) B e f). |
---|
| 266 | #O #I #A #B #P #P' #e #f elim e; |
---|
| 267 | [ #out #k #IH #IH' whd; #res @IH //; |
---|
| 268 | | #v0 elim v0; #v #Hv #IH whd; @IH |
---|
| 269 | | //; |
---|
| 270 | ] qed. |
---|
[24] | 271 | |
---|
[487] | 272 | lemma sig_bindIO2_OK: ∀O,I,A,B,C. ∀P:(A×B) → Prop. ∀P':C → Prop. ∀e:IO O I (Sig (A×B) P). ∀f: A → B → IO O I C. |
---|
[366] | 273 | (∀vA:A.∀vB:B. ∀p:P 〈vA,vB〉. P_io O I ? P' (f vA vB)) → |
---|
| 274 | P_io O I ? P' (bindIO2 O I A B C e f). |
---|
[487] | 275 | #I #O #A #B #C #P #P' #e #f elim e; |
---|
| 276 | [ #out #k #IH #IH' whd; #res @IH @IH' |
---|
| 277 | | #v0 elim v0; #v elim v; #vA #vB #Hv #IH @IH //; |
---|
| 278 | | //; |
---|
| 279 | ] qed. |
---|
[24] | 280 | |
---|
[797] | 281 | lemma opt_bindIO_OK: ∀O,I,A,B,m. ∀P:B → Prop. ∀e:option A. ∀f: A → IO O I B. |
---|
[366] | 282 | (∀v:A. e = Some A v → P_io O I ? P (f v)) → |
---|
[797] | 283 | P_io O I ? P (bindIO O I A B (opt_to_io ??? m e) f). |
---|
| 284 | #I #O #A #B #m #P #e elim e; //; #v #f #H @H //; |
---|
[487] | 285 | qed. |
---|
[24] | 286 | |
---|
[797] | 287 | lemma opt_bindIO2_OK: ∀O,I,A,B,C,m. ∀P:C → Prop. ∀e:option (A×B). ∀f: A → B → IO O I C. |
---|
[366] | 288 | (∀vA:A.∀vB:B. e = Some (A×B) 〈vA,vB〉 → P_io O I ? P (f vA vB)) → |
---|
[797] | 289 | P_io O I ? P (bindIO2 O I A B C (opt_to_io ??? m e) f). |
---|
| 290 | #I #O #A #B #C #m #P #e elim e; //; #v cases v; #vA #vB #f #H @H //; |
---|
[487] | 291 | qed. |
---|
[125] | 292 | |
---|
[487] | 293 | lemma res_bindIO_OK: ∀O,I,A,B. ∀P:B → Prop. ∀e:res A. ∀f: A → IO O I B. |
---|
[366] | 294 | (∀v:A. e = OK A v → P_io O I ? P (f v)) → |
---|
| 295 | P_io O I ? P (bindIO O I A B e f). |
---|
[487] | 296 | #I #O #A #B #P #e elim e; //; #v #f #H @H //; |
---|
| 297 | qed. |
---|
[251] | 298 | |
---|
[487] | 299 | lemma res_bindIO2_OK: ∀O,I,A,B,C. ∀P:C → Prop. ∀e:res (A×B). ∀f: A → B → IO O I C. |
---|
[366] | 300 | (∀vA:A.∀vB:B. e = OK (A×B) 〈vA,vB〉 → P_io O I ? P (f vA vB)) → |
---|
| 301 | P_io O I ? P (bindIO2 O I A B C e f). |
---|
[487] | 302 | #I #O #A #B #C #P #e elim e; //; #v cases v; #vA #vB #f #H @H //; |
---|
| 303 | qed. |
---|
[251] | 304 | |
---|
[487] | 305 | lemma bindIO_OK: ∀O,I,A,B. ∀P:B → Prop. ∀e:IO O I A. ∀f: A → IO O I B. |
---|
[366] | 306 | (∀v:A. P_io O I ? P (f v)) → |
---|
| 307 | P_io O I ? P (bindIO O I A B e f). |
---|
[487] | 308 | #I #O #A #B #P #e elim e; |
---|
| 309 | [ #out #k #IH #f #H whd; #res @IH //; |
---|
| 310 | | #v #f #H @H |
---|
| 311 | | //; |
---|
| 312 | ] qed. |
---|
[24] | 313 | |
---|
[487] | 314 | lemma bindIO2_OK: ∀O,I,A,B,C. ∀P:C → Prop. ∀e:IO O I (A×B). ∀f: A → B → IO O I C. |
---|
[366] | 315 | (∀v1:A.∀v2:B. P_io O I ? P (f v1 v2)) → |
---|
| 316 | P_io O I ? P (bindIO2 O I A B C e f). |
---|
[487] | 317 | #I #O #A #B #C #P #e elim e; |
---|
| 318 | [ #out #k #IH #f #H whd; #res @IH //; |
---|
| 319 | | #v cases v; #v1 #v2 #f #H @H |
---|
| 320 | | //; |
---|
| 321 | ] qed. |
---|
[252] | 322 | |
---|
[487] | 323 | lemma P_bindIO_OK: ∀O,I,A,B. ∀P':A → Prop. ∀P:B → Prop. ∀e:IO O I A. ∀f: A → IO O I B. |
---|
[252] | 324 | P_io … P' e → |
---|
[366] | 325 | (∀v:A. P' v → P_io O I ? P (f v)) → |
---|
| 326 | P_io O I ? P (bindIO O I A B e f). |
---|
[487] | 327 | #I #O #A #B #P' #P #e elim e; |
---|
[1647] | 328 | [ #out #k #IH #f #He #H whd in He ⊢ %; #res @IH /2 by /; |
---|
[487] | 329 | | #v #f #He #H @H @He |
---|
| 330 | | //; |
---|
| 331 | ] qed. |
---|
[252] | 332 | |
---|
[487] | 333 | lemma P_bindIO2_OK: ∀O,I,A,B,C. ∀P':A×B → Prop. ∀P:C → Prop. ∀e:IO O I (A×B). ∀f: A → B → IO O I C. |
---|
[252] | 334 | P_io … P' e → |
---|
[366] | 335 | (∀v1:A.∀v2:B. P' 〈v1,v2〉 → P_io O I ? P (f v1 v2)) → |
---|
| 336 | P_io O I ? P (bindIO2 O I A B C e f). |
---|
[487] | 337 | #I #O #A #B #C #P' #P #e elim e; |
---|
[1647] | 338 | [ #out #k #IH #f #He #H whd in He ⊢ %; #res @IH /2 by /; |
---|
[487] | 339 | | #v cases v; #v1 #v2 #f #He #H @H @He |
---|
| 340 | | //; |
---|
| 341 | ] qed. |
---|
[252] | 342 | |
---|
| 343 | |
---|
[411] | 344 | (* Is there a way to prove this without extensionality? *) |
---|
[1640] | 345 | (* |
---|
[487] | 346 | lemma bind_assoc_r: ∀O,I,A,B,C,e,f,g. |
---|
| 347 | ∀ext:(∀T1,T2:Type[0].∀f,f':T1 → T2.(∀x.f x = f' x) → f = f'). |
---|
[411] | 348 | bindIO O I B C (bindIO O I A B e f) g = bindIO O I A C e (λx.bindIO O I B C (f x) g). |
---|
[487] | 349 | #O #I #A #B #C #e #f #g #ext elim e; |
---|
| 350 | [ #o #k #IH whd in ⊢ (??%%); @eq_f |
---|
| 351 | @ext @IH |
---|
| 352 | | #v @refl |
---|
[797] | 353 | | #m @refl |
---|
[487] | 354 | ] qed. |
---|
[1640] | 355 | *) |
---|
| 356 | definition bind_assoc_r ≝ λO,I.m_bind_bind (IOMonad O I). |
---|
[24] | 357 | |
---|
[487] | 358 | (* |
---|
| 359 | lemma extract_subset_pair_io: ∀O,I,A,B,C,P. ∀e:{e:A×B | P e}. ∀Q:A→B→IO O I C. ∀R:C→Prop. |
---|
[366] | 360 | (∀a,b. eject ?? e = 〈a,b〉 → P 〈a,b〉 → P_io O I ? R (Q a b)) → |
---|
[487] | 361 | P_io O I ? R (match eject ?? e with [ pair a b ⇒ Q a b ]). |
---|
| 362 | #I #O #A #B #C #P #e #Q #R cases e; #e' cases e'; normalize; |
---|
| 363 | [ *; |
---|
[1647] | 364 | | #e'' cases e''; #a #b #Pab #H normalize; /2 by _/; |
---|
[487] | 365 | ] qed. |
---|
| 366 | *) |
---|
[1920] | 367 | |
---|
| 368 | (* Inversion when injecting errors into IO monad. *) |
---|
[2044] | 369 | lemma bind_res_value : ∀O,I,A,B,e,f,v. ∀P:B → Type[0]. |
---|
[1920] | 370 | (∀a. e = OK A a → f a = OK B v → P v) → |
---|
[2453] | 371 | (match m_bind … e f with [ OK v ⇒ Value … v | Error m ⇒ Wrong … m ] = Value O I B v → P v). |
---|
[1920] | 372 | #O #I #A #B * |
---|
| 373 | [ #a #f #v #P #H #E @H [ @a | @refl | normalize in E; cases (f a) in E ⊢ %; |
---|
| 374 | [ #v' #E normalize in E; destruct @refl | #m #E normalize in E; destruct ] ] |
---|
| 375 | | #m #f #v #P #H #E whd in E:(??%?); destruct |
---|
| 376 | ] qed. |
---|
| 377 | |
---|
[2044] | 378 | lemma bindIO_value : ∀O,I,A,B,e,f,v. ∀P:B → Type[0]. |
---|
[1920] | 379 | (∀a. e = Value ??? a → f a = Value ??? v → P v) → |
---|
| 380 | (bindIO O I A B e f = Value ??? v → P v). |
---|
| 381 | #O #I #A #B * |
---|
| 382 | [ #o #k #f #v #P #H #E whd in E:(??%?); destruct |
---|
| 383 | | #a #f #v #P #H #E @H [ @a | @refl | @E ] |
---|
| 384 | | #m #f #v #P #H #E whd in E:(??%?); destruct |
---|
| 385 | ] qed. |
---|
[1930] | 386 | |
---|
[2145] | 387 | lemma bindIO_res_interact : ∀O,I,A,B,e,f,o,k. ∀P:∀o:O. (I o → IO O I B) → Type[0]. |
---|
| 388 | (∀v. e = OK A v → f v = Interact … o k → P o k) → |
---|
| 389 | bindIO O I A B (err_to_io … e) f = Interact … o k → P o k. |
---|
| 390 | #O #I #A #B * |
---|
| 391 | [ #a #f #o #k #P #H #E @(H … E) @refl |
---|
| 392 | | #m #f #o #k #P #_ #E whd in E:(??%?); destruct |
---|
| 393 | ] qed. |
---|
| 394 | |
---|
| 395 | lemma bindIO_opt_interact : ∀O,I,A,B,m,e,f,o,k. ∀P:∀o:O. (I o → IO O I B) → Type[0]. |
---|
| 396 | (∀v. e = Some A v → f v = Interact … o k → P o k) → |
---|
| 397 | bindIO O I A B (opt_to_io … m e) f = Interact … o k → P o k. |
---|
| 398 | #O #I #A #B #m * |
---|
| 399 | [ #f #o #k #P #_ #E whd in E:(??%?); destruct |
---|
| 400 | | #a #f #o #k #P #H #E @(H … E) @refl |
---|
| 401 | ] qed. |
---|
| 402 | |
---|
[1930] | 403 | lemma bindIO_inversion: ∀O,I. |
---|
| 404 | ∀A,B: Type[0]. ∀f: IO O I A. ∀g: A → IO O I B. ∀y: B. |
---|
[2453] | 405 | (m_bind … f g = return y) → |
---|
[1930] | 406 | ∃x. (f = return x) ∧ (g x = return y). |
---|
| 407 | #O #I #A #B #f #g #y cases f normalize |
---|
| 408 | [ #o #k #E destruct |
---|
| 409 | | #a #e %{a} /2 by conj/ |
---|
| 410 | | #m #H destruct (H) |
---|
| 411 | ] qed. |
---|
| 412 | |
---|
| 413 | (* When something in the error monad has found its way into the IO monad, |
---|
| 414 | ensure that we can implicitly go back. *) |
---|
| 415 | lemma io_eq_to_res : ∀O,I. ∀T:Type[0]. ∀e:res T. ∀v. |
---|
| 416 | err_to_io … e = Value O I T v → |
---|
| 417 | e = OK T v. |
---|
| 418 | #O #I #T * |
---|
| 419 | [ #e #v #E normalize in E; destruct @refl |
---|
| 420 | | #m #v #E normalize in E; destruct |
---|
| 421 | ] |
---|
| 422 | qed. |
---|
| 423 | |
---|
| 424 | coercion io_eq_from_res : |
---|
| 425 | ∀O,I,T,e,v. ∀E:err_to_io O I T e = Value O I T v. e = OK T v ≝ io_eq_to_res |
---|
| 426 | on _E:eq (IO ???) ?? to eq (res ?) ??. |
---|
| 427 | |
---|
[2444] | 428 | (* and for an unreduced form *) |
---|
| 429 | coercion io_monad_eq_from_res : |
---|
| 430 | ∀O,I,T,e,v. ∀E:err_to_io O I T e = Value O I T v. e = OK T v ≝ io_eq_to_res |
---|
| 431 | on _E:eq (monad (max_def (IOMonad ??)) ?) ?? to eq (res ?) ??. |
---|
| 432 | |
---|
[2428] | 433 | (* Similarly for opt *) |
---|
| 434 | |
---|
| 435 | lemma io_eq_to_opt : ∀O,I. ∀T:Type[0]. ∀e:option T. ∀m,v. |
---|
| 436 | opt_to_io … m e = Value O I T v → |
---|
| 437 | e = Some T v. |
---|
| 438 | #O #I #T * |
---|
| 439 | [ #m #v #E normalize in E; destruct |
---|
| 440 | | #t #m #v #E normalize in E; destruct % |
---|
| 441 | ] |
---|
| 442 | qed. |
---|
| 443 | |
---|
| 444 | coercion io_eq_from_opt : |
---|
| 445 | ∀O,I,T,e,m,v. ∀E:opt_to_io O I T m e = Value O I T v. e = Some T v ≝ io_eq_to_opt |
---|
| 446 | on _E:eq (IO ???) ?? to eq (option ?) ??. |
---|
| 447 | |
---|
[2444] | 448 | coercion io_monad_eq_from_opt : |
---|
| 449 | ∀O,I,T,e,m,v. ∀E:opt_to_io O I T m e = Value O I T v. e = Some T v ≝ io_eq_to_opt |
---|
| 450 | on _E:eq (monad (max_def (IOMonad ??)) ?) ?? to eq (option ?) ??. |
---|
[2428] | 451 | |
---|
| 452 | |
---|
[2444] | 453 | |
---|