source: src/ASM/Vector.ma @ 882

Last change on this file since 882 was 873, checked in by sacerdot, 10 years ago

Script improved. Maybe this requires an svn up of Matita.
File size: 16.5 KB
Line 
1(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
2(* Vector.ma: Fixed length polymorphic vectors, and routine operations on     *)
3(*            them.                                                           *)
4(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
5
6include "basics/list.ma".
7include "basics/bool.ma".
8include "basics/types.ma".
9
10include "ASM/Util.ma".
11
12include "arithmetics/nat.ma".
13
14include "utilities/extranat.ma".
15include "utilities/oldlib/eq.ma".
16
17(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
18(* The datatype.                                                              *)
19(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
20
21inductive Vector (A: Type[0]): nat → Type[0] ≝
22  VEmpty: Vector A O
23| VCons: ∀n: nat. A → Vector A n → Vector A (S n).
24
25(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
26(* Syntax.                                                                    *)
27(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
28
29notation "hvbox(hd break ::: tl)"
30  right associative with precedence 52
31  for @{ 'vcons $hd $tl }.
32
33notation "[[ list0 x sep ; ]]"
34  non associative with precedence 90
35  for ${fold right @'vnil rec acc @{'vcons $x $acc}}.
36
37interpretation "Vector vnil" 'vnil = (VEmpty ?).
38interpretation "Vector vcons" 'vcons hd tl = (VCons ? ? hd tl).
39
40notation "hvbox(l break !!! break n)"
41  non associative with precedence 90
42  for @{ 'get_index_v $l $n }.
43
44(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
45(* Lookup.                                                                    *)
46(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
47
48let rec get_index_v (A: Type[0]) (n: nat)
49                   (v: Vector A n) (m: nat) (lt: m < n) on m: A ≝
50  (match m with
51    [ O ⇒
52      match v return λx.λ_. O < x → A with
53        [ VEmpty ⇒ λabsd1: O < O. ?
54        | VCons p hd tl ⇒ λprf1: O < S p. hd
55        ]
56    | S o ⇒
57      (match v return λx.λ_. S o < x → A with
58        [ VEmpty ⇒ λprf: S o < O. ?
59        | VCons p hd tl ⇒ λprf: S o < S p. get_index_v A p tl o ?
60        ])
61    ]) lt.
62    [ cases (not_le_Sn_O O)
63      normalize in absd1
64      # H
65      cases (H absd1)
66    | cases (not_le_Sn_O (S o))
67      normalize in prf
68      # H
69      cases (H prf)
70    | normalize
71      normalize in prf
72      @ le_S_S_to_le
73      assumption
74    ]
75qed.
76
77definition get_index' ≝
78  λA: Type[0].
79  λn, m: nat.
80  λb: Vector A (S (n + m)).
81    get_index_v A (S (n + m)) b n ?.
82  normalize
83  //
84qed.
85
86let rec get_index_weak_v (A: Type[0]) (n: nat)
87                         (v: Vector A n) (m: nat) on m ≝
88  match m with
89    [ O ⇒
90      match v with
91        [ VEmpty ⇒ None A
92        | VCons p hd tl ⇒ Some A hd
93        ]
94    | S o ⇒
95      match v with
96        [ VEmpty ⇒ None A
97        | VCons p hd tl ⇒ get_index_weak_v A p tl o
98        ]
99    ].
100   
101interpretation "Vector get_index" 'get_index_v v n = (get_index_v ? ? v n).
102
103let rec set_index (A: Type[0]) (n: nat) (v: Vector A n) (m: nat) (a: A) (lt: m < n) on m: Vector A n ≝
104  (match m with
105    [ O ⇒
106      match v return λx.λ_. O < x → Vector A x with
107        [ VEmpty ⇒ λabsd1: O < O. [[ ]]
108        | VCons p hd tl ⇒ λprf1: O < S p. (a ::: tl)
109        ]
110    | S o ⇒
111      (match v return λx.λ_. S o < x → Vector A x with
112        [ VEmpty ⇒ λprf: S o < O. [[ ]]
113        | VCons p hd tl ⇒ λprf: S o < S p. hd ::: (set_index A p tl o a ?)
114        ])
115    ]) lt.
116    normalize in prf ⊢ %;
117    /2/;
118qed.
119
120let rec set_index_weak (A: Type[0]) (n: nat)
121                       (v: Vector A n) (m: nat) (a: A) on m ≝
122  match m with
123    [ O ⇒
124      match v with
125        [ VEmpty ⇒ None (Vector A n)
126        | VCons o hd tl ⇒ Some (Vector A n) (? (VCons A o a tl))
127        ]
128    | S o ⇒
129      match v with
130        [ VEmpty ⇒ None (Vector A n)
131        | VCons p hd tl ⇒
132            let settail ≝ set_index_weak A p tl o a in
133              match settail with
134                [ None ⇒ None (Vector A n)
135                | Some j ⇒ Some (Vector A n) (? (VCons A p hd j))
136                ]
137        ]
138    ].
139    //.
140qed.
141
142let rec drop (A: Type[0]) (n: nat)
143             (v: Vector A n) (m: nat) on m ≝
144  match m with
145    [ O ⇒ Some (Vector A n) v
146    | S o ⇒
147      match v with
148        [ VEmpty ⇒ None (Vector A n)
149        | VCons p hd tl ⇒ ? (drop A p tl o)
150        ]
151    ].
152    //.
153qed.
154
155definition head' : ∀A:Type[0]. ∀n:nat. Vector A (S n) → A ≝
156λA,n,v. match v return λx.λ_. match x with [ O ⇒ True | _ ⇒ A ] with
157[ VEmpty ⇒ I | VCons _ hd _ ⇒ hd ].
158
159definition tail : ∀A:Type[0]. ∀n:nat. Vector A (S n) → Vector A n ≝
160λA,n,v. match v return λx.λ_. match x with [ O ⇒ True | S m ⇒ Vector A m ] with
161[ VEmpty ⇒ I | VCons m hd tl ⇒ tl ].
162
163let rec split' (A: Type[0]) (m, n: nat) on m: Vector A (plus m n) → (Vector A m) × (Vector A n) ≝
164 match m return λm. Vector A (plus m n) → (Vector A m) × (Vector A n) with
165  [ O ⇒ λv. 〈[[ ]], v〉
166  | S m' ⇒ λv. let 〈l,r〉 ≝ split' A m' n (tail ?? v) in 〈head' ?? v:::l, r〉
167  ].
168(* Prevent undesirable unfolding. *)
169let rec split (A: Type[0]) (m, n: nat) (v:Vector A (plus m n)) on v : (Vector A m) × (Vector A n) ≝
170 split' A m n v.
171
172
173definition head: ∀A: Type[0]. ∀n: nat. Vector A (S n) → A × (Vector A n) ≝
174  λA: Type[0].
175  λn: nat.
176  λv: Vector A (S n).
177  match v return λl. λ_: Vector A l. l = S n → A × (Vector A n) with
178  [ VEmpty ⇒ λK. ⊥
179  | VCons o he tl ⇒ λK. 〈he, (tl⌈Vector A o ↦ Vector A n⌉)〉
180  ] (? : S ? = S ?).
181  //
182  [ destruct
183  | lapply (injective_S … K)
184    //
185  ]
186qed.
187
188definition from_singl: ∀A:Type[0]. Vector A (S O) → A ≝
189 λA: Type[0].
190 λv: Vector A (S 0).
191   fst … (head … v).
192   
193(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
194(* Folds and builds.                                                          *)
195(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
196   
197let rec fold_right (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
198                    (f: A → B → B) (x: B) (v: Vector A n) on v ≝
199  match v with
200    [ VEmpty ⇒ x
201    | VCons n hd tl ⇒ f hd (fold_right A B n f x tl)
202    ].
203
204let rec fold_right_i (A: Type[0]) (B: nat → Type[0]) (n: nat)
205                     (f: ∀n. A → B n → B (S n)) (x: B 0) (v: Vector A n) on v ≝
206  match v with
207    [ VEmpty ⇒ x
208    | VCons n hd tl ⇒ f ? hd (fold_right_i A B n f x tl)
209    ].
210
211let rec fold_right2_i (A: Type[0]) (B: Type[0]) (C: nat → Type[0])
212                      (f: ∀N. A → B → C N → C (S N)) (c: C O) (n: nat)
213                      (v: Vector A n) (q: Vector B n) on v : C n ≝
214  (match v return λx.λ_. x = n → C n with
215    [ VEmpty ⇒
216      match q return λx.λ_. O = x → C x with
217        [ VEmpty ⇒ λprf: O = O. c
218        | VCons o hd tl ⇒ λabsd. ⊥
219        ]
220    | VCons o hd tl ⇒
221      match q return λx.λ_. S o = x → C x with
222        [ VEmpty ⇒ λabsd: S o = O. ⊥
223        | VCons p hd' tl' ⇒ λprf: S o = S p.
224           (f ? hd hd' (fold_right2_i A B C f c ? tl (tl'⌈Vector B p ↦ Vector B o⌉)))⌈C (S o) ↦ C (S p)⌉
225        ]
226    ]) (refl ? n).
227  [1,2:
228    destruct
229  |3,4:
230    lapply (injective_S … prf)
231    //
232  ]
233qed.
234 
235let rec fold_left (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
236                    (f: A → B → A) (x: A) (v: Vector B n) on v ≝
237  match v with
238    [ VEmpty ⇒ x
239    | VCons n hd tl ⇒ fold_left A B n f (f x hd) tl
240    ].
241   
242(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
243(* Maps and zips.                                                             *)
244(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
245
246let rec map (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
247             (f: A → B) (v: Vector A n) on v ≝
248  match v with
249    [ VEmpty ⇒ [[ ]]
250    | VCons n hd tl ⇒ (f hd) ::: (map A B n f tl)
251    ].
252
253let rec zip_with (A: Type[0]) (B: Type[0]) (C: Type[0]) (n: nat)
254             (f: A → B → C) (v: Vector A n) (q: Vector B n) on v ≝
255  (match v return (λx.λr. x = n → Vector C x) with
256    [ VEmpty ⇒ λ_. [[ ]]
257    | VCons n hd tl ⇒
258      match q return (λy.λr. S n = y → Vector C (S n)) with
259        [ VEmpty ⇒ ?
260        | VCons m hd' tl' ⇒
261            λe: S n = S m.
262              (f hd hd') ::: (zip_with A B C n f tl ?)
263        ]
264    ])
265    (refl ? n).
266  [ #e
267    destruct(e);
268  | lapply (injective_S … e)
269    # H
270    > H
271    @ tl'
272  ]
273qed.
274
275definition zip ≝
276  λA, B: Type[0].
277  λn: nat.
278  λv: Vector A n.
279  λq: Vector B n.
280    zip_with A B (A × B) n (pair A B) v q.
281
282(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
283(* Building vectors from scratch                                              *)
284(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
285
286let rec replicate (A: Type[0]) (n: nat) (h: A) on n ≝
287  match n return λn. Vector A n with
288    [ O ⇒ [[ ]]
289    | S m ⇒ h ::: (replicate A m h)
290    ].
291
292(* DPM: fixme.  Weird matita bug in base case. *)
293let rec append (A: Type[0]) (n: nat) (m: nat)
294                (v: Vector A n) (q: Vector A m) on v ≝
295  match v return (λn.λv. Vector A (n + m)) with
296    [ VEmpty ⇒ (? q)
297    | VCons o hd tl ⇒ hd ::: (append A o m tl q)
298    ].
299    # H
300    assumption
301qed.
302   
303notation "hvbox(l break @@ r)"
304  right associative with precedence 47
305  for @{ 'vappend $l $r }.
306   
307interpretation "Vector append" 'vappend v1 v2 = (append ??? v1 v2).
308   
309let rec scan_left (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
310                   (f: A → B → A) (a: A) (v: Vector B n) on v ≝
311  a :::
312    (match v with
313       [ VEmpty ⇒ VEmpty A
314       | VCons o hd tl ⇒ scan_left A B o f (f a hd) tl
315       ]).
316
317let rec scan_right (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
318                    (f: A → B → A) (b: B) (v: Vector A n) on v ≝
319  match v with
320    [ VEmpty ⇒ ?
321    | VCons o hd tl ⇒ f hd b :: (scan_right A B o f b tl)
322    ].
323    //
324qed.
325   
326(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
327(* Other manipulations.                                                       *)
328(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
329
330(* At some points matita will attempt to reduce reverse with a known vector,
331   which reduces the equality proof for the cast.  Normalising this proof needs
332   to be fast enough to keep matita usable, so use plus_n_Sm_fast. *)
333
334let rec revapp (A: Type[0]) (n: nat) (m:nat)
335                (v: Vector A n) (acc: Vector A m) on v : Vector A (n + m) ≝
336  match v return λn'.λ_. Vector A (n' + m) with
337    [ VEmpty ⇒ acc
338    | VCons o hd tl ⇒ (revapp ??? tl (hd:::acc))⌈Vector A (o+S m) ↦ Vector A (S o + m)⌉
339    ].
340> plus_n_Sm_fast @refl qed.
341
342let rec reverse (A: Type[0]) (n: nat) (v: Vector A n) on v : Vector A n ≝
343  (revapp A n 0 v [[ ]])⌈Vector A (n+0) ↦ Vector A n⌉.
344< plus_n_O @refl qed.
345
346let rec pad_vector (A:Type[0]) (a:A) (n,m:nat) (v:Vector A m) on n : Vector A (n+m) ≝
347match n return λn.Vector A (n+m) with
348[ O ⇒ v
349| S n' ⇒ a:::(pad_vector A a n' m v)
350].
351
352(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
353(* Conversions to and from lists.                                             *)
354(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
355
356let rec list_of_vector (A: Type[0]) (n: nat)
357                        (v: Vector A n) on v ≝
358  match v return λn.λv. list A with
359    [ VEmpty ⇒ []
360    | VCons o hd tl ⇒ hd :: (list_of_vector A o tl)
361    ].
362
363let rec vector_of_list (A: Type[0]) (l: list A) on l ≝
364  match l return λl. Vector A (length A l) with
365    [ nil ⇒ ?
366    | cons hd tl ⇒ hd ::: (vector_of_list A tl)
367    ].
368    normalize
369    @ VEmpty
370qed.
371
372(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)   
373(* Rotates and shifts.                                                        *)
374(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
375   
376let rec rotate_left (A: Type[0]) (n: nat)
377                     (m: nat) (v: Vector A n) on m: Vector A n ≝
378  match m with
379    [ O ⇒ v
380    | S o ⇒
381        match v with
382          [ VEmpty ⇒ [[ ]]
383          | VCons p hd tl ⇒
384             rotate_left A (S p) o ((append A p ? tl [[hd]])⌈Vector A (p + S O) ↦ Vector A (S p)⌉)
385          ]
386    ].
387  //
388qed.
389
390definition rotate_right ≝
391  λA: Type[0].
392  λn, m: nat.
393  λv: Vector A n.
394    reverse A n (rotate_left A n m (reverse A n v)).
395
396definition shift_left_1 ≝
397  λA: Type[0].
398  λn: nat.
399  λv: Vector A (S n).
400  λa: A.
401   match v return λy.λ_. y = S n → Vector A y with
402     [ VEmpty ⇒ λH.⊥
403     | VCons o hd tl ⇒ λH.reverse … (a::: reverse … tl)
404     ] (refl ? (S n)).
405 destruct.
406qed.
407
408
409(* XXX this is horrible - but useful to ensure that we can normalise in the proof assistant. *)
410definition switch_bv_plus : ∀A:Type[0]. ∀n,m. Vector A (n+m) → Vector A (m+n) ≝
411λA,n,m. match commutative_plus_faster n m return λx.λ_.Vector A (n+m) → Vector A x with [ refl ⇒ λi.i ].
412
413definition shift_right_1 ≝
414  λA: Type[0].
415  λn: nat.
416  λv: Vector A (S n).
417  λa: A.
418    let 〈v',dropped〉 ≝ split ? n 1 (switch_bv_plus ? 1 n v) in a:::v'.
419(*    reverse … (shift_left_1 … (reverse … v) a).*)
420
421definition shift_left : ∀A:Type[0]. ∀n,m:nat. Vector A n → A → Vector A n ≝
422  λA: Type[0].
423  λn, m: nat.
424    match nat_compare n m return λx,y.λ_. Vector A x → A → Vector A x with
425    [ nat_lt _ _ ⇒ λv,a. replicate … a
426    | nat_eq _   ⇒ λv,a. replicate … a
427    | nat_gt d m ⇒ λv,a. let 〈v0,v'〉 ≝ split … v in switch_bv_plus … (v' @@ (replicate … a))
428    ].
429
430(*    iterate … (λx. shift_left_1 … x a) v m.*)
431   
432definition shift_right ≝
433  λA: Type[0].
434  λn, m: nat.
435  λv: Vector A (S n).
436  λa: A.
437    iterate … (λx. shift_right_1 … x a) v m.
438
439(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
440(* Decidable equality.                                                        *)
441(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
442
443let rec eq_v (A: Type[0]) (n: nat) (f: A → A → bool) (b: Vector A n) (c: Vector A n) on b : bool ≝
444  (match b return λx.λ_. Vector A x → bool with
445   [ VEmpty ⇒ λc.
446       match c return λx.λ_. match x return λ_.Type[0] with [ O ⇒ bool | _ ⇒ True ] with
447       [ VEmpty ⇒ true
448       | VCons p hd tl ⇒ I
449       ]
450   | VCons m hd tl ⇒ λc. andb (f hd (head' A m c)) (eq_v A m f tl (tail A m c))
451   ]
452  ) c.
453
454lemma vector_inv_n: ∀A,n. ∀P:Vector A n → Type[0]. ∀v:Vector A n.
455  match n return λn'. (Vector A n' → Type[0]) → Vector A n' → Type[0] with
456  [ O ⇒ λP.λv.P [[ ]] → P v
457  | S m ⇒ λP.λv.(∀h,t. P (VCons A m h t)) → P v
458  ] P v.
459#A #n #P #v generalize in match P cases v normalize //
460qed.
461
462lemma eq_v_elim: ∀P:bool → Type[0]. ∀A,f.
463  (∀Q:bool → Type[0]. ∀a,b. (a = b → Q true) → (a ≠ b → Q false) → Q (f a b)) →
464  ∀n,x,y.
465  (x = y → P true) →
466  (x ≠ y → P false) →
467  P (eq_v A n f x y).
468#P #A #f #f_elim #n #x elim x
469[ #y @(vector_inv_n … y)
470  normalize /2/
471| #m #h #t #IH #y @(vector_inv_n … y)
472  #h' #t' #Ht #Hf whd in ⊢ (?%)
473  @(f_elim ? h h') #Eh
474  [ @IH [ #Et @Ht >Eh >Et @refl | #NEt @Hf % #E' destruct (E') elim NEt /2/ ]
475  | @Hf % #E' destruct (E') elim Eh /2/
476  ]
477] qed.
478
479(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
480(* Subvectors.                                                                *)
481(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
482
483definition mem ≝
484 λA: Type[0].
485 λeq_a : A → A → bool.
486 λn: nat.
487 λl: Vector A n.
488 λx: A.
489  fold_right … (λy,v. (eq_a x y) ∨ v) false l.
490
491
492definition subvector_with ≝
493  λA: Type[0].
494  λn: nat.
495  λm: nat.
496  λf: A → A → bool.
497  λv: Vector A n.
498  λq: Vector A m.
499    fold_right ? ? ? (λx, v. (mem ? f ? q x) ∧ v) true v.
500   
501(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
502(* Lemmas.                                                                    *)
503(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)   
504   
505lemma map_fusion:
506  ∀A, B, C: Type[0].
507  ∀n: nat.
508  ∀v: Vector A n.
509  ∀f: A → B.
510  ∀g: B → C.
511    map B C n g (map A B n f v) = map A C n (λx. g (f x)) v.
512  #A #B #C #n #v #f #g
513  elim v
514  [ normalize
515    %
516  | #N #H #V #H2
517    normalize
518    > H2
519    %
520  ]
521qed.
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.