source: src/ASM/Vector.ma @ 1516

Last change on this file since 1516 was 1516, checked in by sacerdot, 8 years ago

Ported to syntax of Matita 0.99.1.

File size: 17.7 KB
Line 
1(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
2(* Vector.ma: Fixed length polymorphic vectors, and routine operations on     *)
3(*            them.                                                           *)
4(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
5
6include "basics/list.ma".
7include "basics/bool.ma".
8include "basics/types.ma".
9
10include "ASM/Util.ma".
11
12include "arithmetics/nat.ma".
13
14include "utilities/extranat.ma".
15
16(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
17(* The datatype.                                                              *)
18(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
19
20inductive Vector (A: Type[0]): nat → Type[0] ≝
21  VEmpty: Vector A O
22| VCons: ∀n: nat. A → Vector A n → Vector A (S n).
23
24(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
25(* Syntax.                                                                    *)
26(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
27
28notation "hvbox(hd break ::: tl)"
29  right associative with precedence 52
30  for @{ 'vcons $hd $tl }.
31
32notation "[[ list0 x sep ; ]]"
33  non associative with precedence 90
34  for ${fold right @'vnil rec acc @{'vcons $x $acc}}.
35
36interpretation "Vector vnil" 'vnil = (VEmpty ?).
37interpretation "Vector vcons" 'vcons hd tl = (VCons ? ? hd tl).
38
39notation "hvbox(l break !!! break n)"
40  non associative with precedence 90
41  for @{ 'get_index_v $l $n }.
42
43(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
44(* Lookup.                                                                    *)
45(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
46
47let rec get_index_v (A: Type[0]) (n: nat)
48                   (v: Vector A n) (m: nat) (lt: m < n) on m: A ≝
49  (match m with
50    [ O ⇒
51      match v return λx.λ_. O < x → A with
52        [ VEmpty ⇒ λabsd1: O < O. ?
53        | VCons p hd tl ⇒ λprf1: O < S p. hd
54        ]
55    | S o ⇒
56      (match v return λx.λ_. S o < x → A with
57        [ VEmpty ⇒ λprf: S o < O. ?
58        | VCons p hd tl ⇒ λprf: S o < S p. get_index_v A p tl o ?
59        ])
60    ]) lt.
61    [ cases (not_le_Sn_O O)
62      normalize in absd1;
63      # H
64      cases (H absd1)
65    | cases (not_le_Sn_O (S o))
66      normalize in prf;
67      # H
68      cases (H prf)
69    | normalize
70      normalize in prf;
71      @ le_S_S_to_le
72      assumption
73    ]
74qed.
75
76definition get_index' ≝
77  λA: Type[0].
78  λn, m: nat.
79  λb: Vector A (S (n + m)).
80    get_index_v A (S (n + m)) b n ?.
81  normalize
82  @le_S_S
83  cases m //
84qed.
85
86let rec get_index_weak_v (A: Type[0]) (n: nat)
87                         (v: Vector A n) (m: nat) on m ≝
88  match m with
89    [ O ⇒
90      match v with
91        [ VEmpty ⇒ None A
92        | VCons p hd tl ⇒ Some A hd
93        ]
94    | S o ⇒
95      match v with
96        [ VEmpty ⇒ None A
97        | VCons p hd tl ⇒ get_index_weak_v A p tl o
98        ]
99    ].
100   
101interpretation "Vector get_index" 'get_index_v v n = (get_index_v ? ? v n).
102
103let rec set_index (A: Type[0]) (n: nat) (v: Vector A n) (m: nat) (a: A) (lt: m < n) on m: Vector A n ≝
104  (match m with
105    [ O ⇒
106      match v return λx.λ_. O < x → Vector A x with
107        [ VEmpty ⇒ λabsd1: O < O. [[ ]]
108        | VCons p hd tl ⇒ λprf1: O < S p. (a ::: tl)
109        ]
110    | S o ⇒
111      (match v return λx.λ_. S o < x → Vector A x with
112        [ VEmpty ⇒ λprf: S o < O. [[ ]]
113        | VCons p hd tl ⇒ λprf: S o < S p. hd ::: (set_index A p tl o a ?)
114        ])
115    ]) lt.
116    normalize in prf ⊢ %;
117    /2/;
118qed.
119
120let rec set_index_weak (A: Type[0]) (n: nat)
121                       (v: Vector A n) (m: nat) (a: A) on m ≝
122  match m with
123    [ O ⇒
124      match v with
125        [ VEmpty ⇒ None (Vector A n)
126        | VCons o hd tl ⇒ Some (Vector A n) (? (VCons A o a tl))
127        ]
128    | S o ⇒
129      match v with
130        [ VEmpty ⇒ None (Vector A n)
131        | VCons p hd tl ⇒
132            let settail ≝ set_index_weak A p tl o a in
133              match settail with
134                [ None ⇒ None (Vector A n)
135                | Some j ⇒ Some (Vector A n) (? (VCons A p hd j))
136                ]
137        ]
138    ].
139    //.
140qed.
141
142let rec drop (A: Type[0]) (n: nat)
143             (v: Vector A n) (m: nat) on m ≝
144  match m with
145    [ O ⇒ Some (Vector A n) v
146    | S o ⇒
147      match v with
148        [ VEmpty ⇒ None (Vector A n)
149        | VCons p hd tl ⇒ ? (drop A p tl o)
150        ]
151    ].
152    //.
153qed.
154
155definition head' : ∀A:Type[0]. ∀n:nat. Vector A (S n) → A ≝
156λA,n,v. match v return λx.λ_. match x with [ O ⇒ True | _ ⇒ A ] with
157[ VEmpty ⇒ I | VCons _ hd _ ⇒ hd ].
158
159definition tail : ∀A:Type[0]. ∀n:nat. Vector A (S n) → Vector A n ≝
160λA,n,v. match v return λx.λ_. match x with [ O ⇒ True | S m ⇒ Vector A m ] with
161[ VEmpty ⇒ I | VCons m hd tl ⇒ tl ].
162
163let rec split' (A: Type[0]) (m, n: nat) on m: Vector A (plus m n) → (Vector A m) × (Vector A n) ≝
164 match m return λm. Vector A (plus m n) → (Vector A m) × (Vector A n) with
165  [ O ⇒ λv. 〈[[ ]], v〉
166  | S m' ⇒ λv. let 〈l,r〉 ≝ split' A m' n (tail ?? v) in 〈head' ?? v:::l, r〉
167  ].
168(* Prevent undesirable unfolding. *)
169let rec split (A: Type[0]) (m, n: nat) (v:Vector A (plus m n)) on v : (Vector A m) × (Vector A n) ≝
170 split' A m n v.
171
172definition head: ∀A: Type[0]. ∀n: nat. Vector A (S n) → A × (Vector A n) ≝
173  λA: Type[0].
174  λn: nat.
175  λv: Vector A (S n).
176  match v return λl. λ_: Vector A l. l = S n → A × (Vector A n) with
177  [ VEmpty ⇒ λK. ⊥
178  | VCons o he tl ⇒ λK. 〈he, (tl⌈Vector A o ↦ Vector A n⌉)〉
179  ] (? : S ? = S ?).
180  //
181  destruct
182  //
183qed.
184
185definition from_singl: ∀A:Type[0]. Vector A (S O) → A ≝
186 λA: Type[0].
187 λv: Vector A (S 0).
188   fst … (head … v).
189   
190(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
191(* Folds and builds.                                                          *)
192(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
193   
194let rec fold_right (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
195                    (f: A → B → B) (x: B) (v: Vector A n) on v ≝
196  match v with
197    [ VEmpty ⇒ x
198    | VCons n hd tl ⇒ f hd (fold_right A B n f x tl)
199    ].
200
201let rec fold_right_i (A: Type[0]) (B: nat → Type[0]) (n: nat)
202                     (f: ∀n. A → B n → B (S n)) (x: B 0) (v: Vector A n) on v ≝
203  match v with
204    [ VEmpty ⇒ x
205    | VCons n hd tl ⇒ f ? hd (fold_right_i A B n f x tl)
206    ].
207
208let rec fold_right2_i (A: Type[0]) (B: Type[0]) (C: nat → Type[0])
209                      (f: ∀N. A → B → C N → C (S N)) (c: C O) (n: nat)
210                      (v: Vector A n) (q: Vector B n) on v : C n ≝
211  (match v return λx.λ_. x = n → C n with
212    [ VEmpty ⇒
213      match q return λx.λ_. O = x → C x with
214        [ VEmpty ⇒ λprf: O = O. c
215        | VCons o hd tl ⇒ λabsd. ⊥
216        ]
217    | VCons o hd tl ⇒
218      match q return λx.λ_. S o = x → C x with
219        [ VEmpty ⇒ λabsd: S o = O. ⊥
220        | VCons p hd' tl' ⇒ λprf: S o = S p.
221           (f ? hd hd' (fold_right2_i A B C f c ? tl (tl'⌈Vector B p ↦ Vector B o⌉)))⌈C (S o) ↦ C (S p)⌉
222        ]
223    ]) (refl ? n).
224  [1,2:
225    destruct
226  |3,4:
227    lapply (injective_S … prf)
228    //
229  ]
230qed.
231 
232let rec fold_left (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
233                    (f: A → B → A) (x: A) (v: Vector B n) on v ≝
234  match v with
235    [ VEmpty ⇒ x
236    | VCons n hd tl ⇒ fold_left A B n f (f x hd) tl
237    ].
238   
239(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
240(* Maps and zips.                                                             *)
241(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
242
243let rec map (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
244             (f: A → B) (v: Vector A n) on v ≝
245  match v with
246    [ VEmpty ⇒ [[ ]]
247    | VCons n hd tl ⇒ (f hd) ::: (map A B n f tl)
248    ].
249
250let rec zip_with (A: Type[0]) (B: Type[0]) (C: Type[0]) (n: nat)
251             (f: A → B → C) (v: Vector A n) (q: Vector B n) on v ≝
252  (match v return (λx.λr. x = n → Vector C x) with
253    [ VEmpty ⇒ λ_. [[ ]]
254    | VCons n hd tl ⇒
255      match q return (λy.λr. S n = y → Vector C (S n)) with
256        [ VEmpty ⇒ ?
257        | VCons m hd' tl' ⇒
258            λe: S n = S m.
259              (f hd hd') ::: (zip_with A B C n f tl ?)
260        ]
261    ])
262    (refl ? n).
263  [ #e
264    destruct(e);
265  | lapply (injective_S … e)
266    # H
267    > H
268    @ tl'
269  ]
270qed.
271
272definition zip ≝
273  λA, B: Type[0].
274  λn: nat.
275  λv: Vector A n.
276  λq: Vector B n.
277    zip_with A B (A × B) n (pair A B) v q.
278
279(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
280(* Building vectors from scratch                                              *)
281(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
282
283let rec replicate (A: Type[0]) (n: nat) (h: A) on n ≝
284  match n return λn. Vector A n with
285    [ O ⇒ [[ ]]
286    | S m ⇒ h ::: (replicate A m h)
287    ].
288
289(* DPM: fixme.  Weird matita bug in base case. *)
290let rec append (A: Type[0]) (n: nat) (m: nat)
291                (v: Vector A n) (q: Vector A m) on v ≝
292  match v return (λn.λv. Vector A (n + m)) with
293    [ VEmpty ⇒ (? q)
294    | VCons o hd tl ⇒ hd ::: (append A o m tl q)
295    ].
296    # H
297    assumption
298qed.
299   
300notation "hvbox(l break @@ r)"
301  right associative with precedence 47
302  for @{ 'vappend $l $r }.
303   
304interpretation "Vector append" 'vappend v1 v2 = (append ??? v1 v2).
305
306axiom split_elim':
307  ∀A: Type[0].
308  ∀B: Type[1].
309  ∀l, m, v.
310  ∀T: Vector A l → Vector A m → B.
311  ∀P: B → Prop.
312    (∀lft, rgt. v = lft @@ rgt → P (T lft rgt)) →
313      P (let 〈lft, rgt〉 ≝ split A l m v in T lft rgt).
314
315axiom split_elim'':
316  ∀A: Type[0].
317  ∀B,B': Type[1].
318  ∀l, m, v.
319  ∀T: Vector A l → Vector A m → B.
320  ∀T': Vector A l → Vector A m → B'.
321  ∀P: B → B' → Prop.
322    (∀lft, rgt. v = lft @@ rgt → P (T lft rgt) (T' lft rgt)) →
323      P (let 〈lft, rgt〉 ≝ split A l m v in T lft rgt)
324        (let 〈lft, rgt〉 ≝ split A l m v in T' lft rgt).
325   
326let rec scan_left (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
327                   (f: A → B → A) (a: A) (v: Vector B n) on v ≝
328  a :::
329    (match v with
330       [ VEmpty ⇒ VEmpty A
331       | VCons o hd tl ⇒ scan_left A B o f (f a hd) tl
332       ]).
333
334let rec scan_right (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
335                    (f: A → B → A) (b: B) (v: Vector A n) on v ≝
336  match v with
337    [ VEmpty ⇒ ?
338    | VCons o hd tl ⇒ f hd b :: (scan_right A B o f b tl)
339    ].
340    //
341qed.
342   
343(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
344(* Other manipulations.                                                       *)
345(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
346
347(* At some points matita will attempt to reduce reverse with a known vector,
348   which reduces the equality proof for the cast.  Normalising this proof needs
349   to be fast enough to keep matita usable, so use plus_n_Sm_fast. *)
350
351let rec revapp (A: Type[0]) (n: nat) (m:nat)
352                (v: Vector A n) (acc: Vector A m) on v : Vector A (n + m) ≝
353  match v return λn'.λ_. Vector A (n' + m) with
354    [ VEmpty ⇒ acc
355    | VCons o hd tl ⇒ (revapp ??? tl (hd:::acc))⌈Vector A (o+S m) ↦ Vector A (S o + m)⌉
356    ].
357< plus_n_Sm_fast @refl qed.
358
359let rec reverse (A: Type[0]) (n: nat) (v: Vector A n) on v : Vector A n ≝
360  (revapp A n 0 v [[ ]])⌈Vector A (n+0) ↦ Vector A n⌉.
361< plus_n_O @refl qed.
362
363let rec pad_vector (A:Type[0]) (a:A) (n,m:nat) (v:Vector A m) on n : Vector A (n+m) ≝
364match n return λn.Vector A (n+m) with
365[ O ⇒ v
366| S n' ⇒ a:::(pad_vector A a n' m v)
367].
368
369(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
370(* Conversions to and from lists.                                             *)
371(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
372
373let rec list_of_vector (A: Type[0]) (n: nat)
374                        (v: Vector A n) on v ≝
375  match v return λn.λv. list A with
376    [ VEmpty ⇒ []
377    | VCons o hd tl ⇒ hd :: (list_of_vector A o tl)
378    ].
379
380let rec vector_of_list (A: Type[0]) (l: list A) on l ≝
381  match l return λl. Vector A (length A l) with
382    [ nil ⇒ ?
383    | cons hd tl ⇒ hd ::: (vector_of_list A tl)
384    ].
385    normalize
386    @ VEmpty
387qed.
388
389(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)   
390(* Rotates and shifts.                                                        *)
391(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
392   
393let rec rotate_left (A: Type[0]) (n: nat)
394                     (m: nat) (v: Vector A n) on m: Vector A n ≝
395  match m with
396    [ O ⇒ v
397    | S o ⇒
398        match v with
399          [ VEmpty ⇒ [[ ]]
400          | VCons p hd tl ⇒
401             rotate_left A (S p) o ((append A p ? tl [[hd]])⌈Vector A (p + S O) ↦ Vector A (S p)⌉)
402          ]
403    ].
404  /2/
405qed.
406
407definition rotate_right ≝
408  λA: Type[0].
409  λn, m: nat.
410  λv: Vector A n.
411    reverse A n (rotate_left A n m (reverse A n v)).
412
413definition shift_left_1 ≝
414  λA: Type[0].
415  λn: nat.
416  λv: Vector A (S n).
417  λa: A.
418   match v return λy.λ_. y = S n → Vector A y with
419     [ VEmpty ⇒ λH.⊥
420     | VCons o hd tl ⇒ λH.reverse … (a::: reverse … tl)
421     ] (refl ? (S n)).
422 destruct.
423qed.
424
425
426(* XXX this is horrible - but useful to ensure that we can normalise in the proof assistant. *)
427definition switch_bv_plus : ∀A:Type[0]. ∀n,m. Vector A (n+m) → Vector A (m+n) ≝
428λA,n,m. match commutative_plus_faster n m return λx.λ_.Vector A (n+m) → Vector A x with [ refl ⇒ λi.i ].
429
430definition shift_right_1 ≝
431  λA: Type[0].
432  λn: nat.
433  λv: Vector A (S n).
434  λa: A.
435    let 〈v',dropped〉 ≝ split ? n 1 (switch_bv_plus ? 1 n v) in a:::v'.
436(*    reverse … (shift_left_1 … (reverse … v) a).*)
437
438definition shift_left : ∀A:Type[0]. ∀n,m:nat. Vector A n → A → Vector A n ≝
439  λA: Type[0].
440  λn, m: nat.
441    match nat_compare n m return λx,y.λ_. Vector A x → A → Vector A x with
442    [ nat_lt _ _ ⇒ λv,a. replicate … a
443    | nat_eq _   ⇒ λv,a. replicate … a
444    | nat_gt d m ⇒ λv,a. let 〈v0,v'〉 ≝ split … v in switch_bv_plus … (v' @@ (replicate … a))
445    ].
446
447(*    iterate … (λx. shift_left_1 … x a) v m.*)
448   
449definition shift_right ≝
450  λA: Type[0].
451  λn, m: nat.
452  λv: Vector A (S n).
453  λa: A.
454    iterate … (λx. shift_right_1 … x a) v m.
455
456(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
457(* Decidable equality.                                                        *)
458(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
459
460let rec eq_v (A: Type[0]) (n: nat) (f: A → A → bool) (b: Vector A n) (c: Vector A n) on b : bool ≝
461  (match b return λx.λ_. Vector A x → bool with
462   [ VEmpty ⇒ λc.
463       match c return λx.λ_. match x return λ_.Type[0] with [ O ⇒ bool | _ ⇒ True ] with
464       [ VEmpty ⇒ true
465       | VCons p hd tl ⇒ I
466       ]
467   | VCons m hd tl ⇒ λc. andb (f hd (head' A m c)) (eq_v A m f tl (tail A m c))
468   ]
469  ) c.
470
471lemma vector_inv_n: ∀A,n. ∀P:Vector A n → Type[0]. ∀v:Vector A n.
472  match n return λn'. (Vector A n' → Type[0]) → Vector A n' → Type[0] with
473  [ O ⇒ λP.λv.P [[ ]] → P v
474  | S m ⇒ λP.λv.(∀h,t. P (VCons A m h t)) → P v
475  ] P v.
476#A #n #P #v lapply P cases v normalize //
477qed.
478
479lemma eq_v_elim: ∀P:bool → Type[0]. ∀A,f.
480  (∀Q:bool → Type[0]. ∀a,b. (a = b → Q true) → (a ≠ b → Q false) → Q (f a b)) →
481  ∀n,x,y.
482  (x = y → P true) →
483  (x ≠ y → P false) →
484  P (eq_v A n f x y).
485#P #A #f #f_elim #n #x elim x
486[ #y @(vector_inv_n … y)
487  normalize /2/
488| #m #h #t #IH #y @(vector_inv_n … y)
489  #h' #t' #Ht #Hf whd in ⊢ (?%);
490  @(f_elim ? h h') #Eh
491  [ @IH [ #Et @Ht >Eh >Et @refl | #NEt @Hf % #E' destruct (E') elim NEt /2/ ]
492  | @Hf % #E' destruct (E') elim Eh /2/
493  ]
494] qed.
495
496lemma eq_v_true : ∀A,f. (∀a. f a a = true) → ∀n,v. eq_v A n f v v = true.
497#A #f #f_true #n #v elim v
498[ //
499| #m #h #t #IH whd in ⊢ (??%%); >f_true >IH @refl
500] qed.
501
502lemma vector_neq_tail : ∀A,n,h. ∀t,t':Vector A n. h:::t≠h:::t' → t ≠ t'.
503#A #n #h #t #t' * #NE % #E @NE >E @refl
504qed.
505
506lemma  eq_v_false : ∀A,f. (∀a,a'. f a a' = true → a = a') → ∀n,v,v'. v≠v' → eq_v A n f v v' = false.
507#A #f #f_true #n elim n
508[ #v #v' @(vector_inv_n ??? v) @(vector_inv_n ??? v') * #H @False_ind @H @refl
509| #m #IH #v #v' @(vector_inv_n ??? v) #h #t @(vector_inv_n ??? v') #h' #t'
510  #NE normalize lapply (f_true h h') cases (f h h') // #E @IH >E in NE; /2/
511] qed.
512
513(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
514(* Subvectors.                                                                *)
515(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
516
517definition mem ≝
518 λA: Type[0].
519 λeq_a : A → A → bool.
520 λn: nat.
521 λl: Vector A n.
522 λx: A.
523  fold_right … (λy,v. (eq_a x y) ∨ v) false l.
524
525
526definition subvector_with ≝
527  λA: Type[0].
528  λn: nat.
529  λm: nat.
530  λf: A → A → bool.
531  λv: Vector A n.
532  λq: Vector A m.
533    fold_right ? ? ? (λx, v. (mem ? f ? q x) ∧ v) true v.
534   
535(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
536(* Lemmas.                                                                    *)
537(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)   
538   
539lemma map_fusion:
540  ∀A, B, C: Type[0].
541  ∀n: nat.
542  ∀v: Vector A n.
543  ∀f: A → B.
544  ∀g: B → C.
545    map B C n g (map A B n f v) = map A C n (λx. g (f x)) v.
546  #A #B #C #n #v #f #g
547  elim v
548  [ normalize
549    %
550  | #N #H #V #H2
551    normalize
552    > H2
553    %
554  ]
555qed.
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.