source: src/ASM/Vector.ma @ 1009

Last change on this file since 1009 was 998, checked in by sacerdot, 9 years ago

Half repaired, half broken. Most functions no longer return option types,
taking in input dependent types.

File size: 17.8 KB
Line 
1(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
2(* Vector.ma: Fixed length polymorphic vectors, and routine operations on     *)
3(*            them.                                                           *)
4(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
5
6include "basics/list.ma".
7include "basics/bool.ma".
8include "basics/types.ma".
9
10include "ASM/Util.ma".
11
12include "arithmetics/nat.ma".
13
14include "utilities/extranat.ma".
15include "utilities/oldlib/eq.ma".
16
17(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
18(* The datatype.                                                              *)
19(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
20
21inductive Vector (A: Type[0]): nat → Type[0] ≝
22  VEmpty: Vector A O
23| VCons: ∀n: nat. A → Vector A n → Vector A (S n).
24
25(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
26(* Syntax.                                                                    *)
27(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
28
29notation "hvbox(hd break ::: tl)"
30  right associative with precedence 52
31  for @{ 'vcons $hd $tl }.
32
33notation "[[ list0 x sep ; ]]"
34  non associative with precedence 90
35  for ${fold right @'vnil rec acc @{'vcons $x $acc}}.
36
37interpretation "Vector vnil" 'vnil = (VEmpty ?).
38interpretation "Vector vcons" 'vcons hd tl = (VCons ? ? hd tl).
39
40notation "hvbox(l break !!! break n)"
41  non associative with precedence 90
42  for @{ 'get_index_v $l $n }.
43
44(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
45(* Lookup.                                                                    *)
46(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
47
48let rec get_index_v (A: Type[0]) (n: nat)
49                   (v: Vector A n) (m: nat) (lt: m < n) on m: A ≝
50  (match m with
51    [ O ⇒
52      match v return λx.λ_. O < x → A with
53        [ VEmpty ⇒ λabsd1: O < O. ?
54        | VCons p hd tl ⇒ λprf1: O < S p. hd
55        ]
56    | S o ⇒
57      (match v return λx.λ_. S o < x → A with
58        [ VEmpty ⇒ λprf: S o < O. ?
59        | VCons p hd tl ⇒ λprf: S o < S p. get_index_v A p tl o ?
60        ])
61    ]) lt.
62    [ cases (not_le_Sn_O O)
63      normalize in absd1
64      # H
65      cases (H absd1)
66    | cases (not_le_Sn_O (S o))
67      normalize in prf
68      # H
69      cases (H prf)
70    | normalize
71      normalize in prf
72      @ le_S_S_to_le
73      assumption
74    ]
75qed.
76
77definition get_index' ≝
78  λA: Type[0].
79  λn, m: nat.
80  λb: Vector A (S (n + m)).
81    get_index_v A (S (n + m)) b n ?.
82  normalize
83  //
84qed.
85
86let rec get_index_weak_v (A: Type[0]) (n: nat)
87                         (v: Vector A n) (m: nat) on m ≝
88  match m with
89    [ O ⇒
90      match v with
91        [ VEmpty ⇒ None A
92        | VCons p hd tl ⇒ Some A hd
93        ]
94    | S o ⇒
95      match v with
96        [ VEmpty ⇒ None A
97        | VCons p hd tl ⇒ get_index_weak_v A p tl o
98        ]
99    ].
100   
101interpretation "Vector get_index" 'get_index_v v n = (get_index_v ? ? v n).
102
103let rec set_index (A: Type[0]) (n: nat) (v: Vector A n) (m: nat) (a: A) (lt: m < n) on m: Vector A n ≝
104  (match m with
105    [ O ⇒
106      match v return λx.λ_. O < x → Vector A x with
107        [ VEmpty ⇒ λabsd1: O < O. [[ ]]
108        | VCons p hd tl ⇒ λprf1: O < S p. (a ::: tl)
109        ]
110    | S o ⇒
111      (match v return λx.λ_. S o < x → Vector A x with
112        [ VEmpty ⇒ λprf: S o < O. [[ ]]
113        | VCons p hd tl ⇒ λprf: S o < S p. hd ::: (set_index A p tl o a ?)
114        ])
115    ]) lt.
116    normalize in prf ⊢ %;
117    /2/;
118qed.
119
120let rec set_index_weak (A: Type[0]) (n: nat)
121                       (v: Vector A n) (m: nat) (a: A) on m ≝
122  match m with
123    [ O ⇒
124      match v with
125        [ VEmpty ⇒ None (Vector A n)
126        | VCons o hd tl ⇒ Some (Vector A n) (? (VCons A o a tl))
127        ]
128    | S o ⇒
129      match v with
130        [ VEmpty ⇒ None (Vector A n)
131        | VCons p hd tl ⇒
132            let settail ≝ set_index_weak A p tl o a in
133              match settail with
134                [ None ⇒ None (Vector A n)
135                | Some j ⇒ Some (Vector A n) (? (VCons A p hd j))
136                ]
137        ]
138    ].
139    //.
140qed.
141
142let rec drop (A: Type[0]) (n: nat)
143             (v: Vector A n) (m: nat) on m ≝
144  match m with
145    [ O ⇒ Some (Vector A n) v
146    | S o ⇒
147      match v with
148        [ VEmpty ⇒ None (Vector A n)
149        | VCons p hd tl ⇒ ? (drop A p tl o)
150        ]
151    ].
152    //.
153qed.
154
155definition head' : ∀A:Type[0]. ∀n:nat. Vector A (S n) → A ≝
156λA,n,v. match v return λx.λ_. match x with [ O ⇒ True | _ ⇒ A ] with
157[ VEmpty ⇒ I | VCons _ hd _ ⇒ hd ].
158
159definition tail : ∀A:Type[0]. ∀n:nat. Vector A (S n) → Vector A n ≝
160λA,n,v. match v return λx.λ_. match x with [ O ⇒ True | S m ⇒ Vector A m ] with
161[ VEmpty ⇒ I | VCons m hd tl ⇒ tl ].
162
163let rec split' (A: Type[0]) (m, n: nat) on m: Vector A (plus m n) → (Vector A m) × (Vector A n) ≝
164 match m return λm. Vector A (plus m n) → (Vector A m) × (Vector A n) with
165  [ O ⇒ λv. 〈[[ ]], v〉
166  | S m' ⇒ λv. let 〈l,r〉 ≝ split' A m' n (tail ?? v) in 〈head' ?? v:::l, r〉
167  ].
168(* Prevent undesirable unfolding. *)
169let rec split (A: Type[0]) (m, n: nat) (v:Vector A (plus m n)) on v : (Vector A m) × (Vector A n) ≝
170 split' A m n v.
171
172definition head: ∀A: Type[0]. ∀n: nat. Vector A (S n) → A × (Vector A n) ≝
173  λA: Type[0].
174  λn: nat.
175  λv: Vector A (S n).
176  match v return λl. λ_: Vector A l. l = S n → A × (Vector A n) with
177  [ VEmpty ⇒ λK. ⊥
178  | VCons o he tl ⇒ λK. 〈he, (tl⌈Vector A o ↦ Vector A n⌉)〉
179  ] (? : S ? = S ?).
180  //
181  [ destruct
182  | lapply (injective_S … K)
183    //
184  ]
185qed.
186
187definition from_singl: ∀A:Type[0]. Vector A (S O) → A ≝
188 λA: Type[0].
189 λv: Vector A (S 0).
190   fst … (head … v).
191   
192(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
193(* Folds and builds.                                                          *)
194(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
195   
196let rec fold_right (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
197                    (f: A → B → B) (x: B) (v: Vector A n) on v ≝
198  match v with
199    [ VEmpty ⇒ x
200    | VCons n hd tl ⇒ f hd (fold_right A B n f x tl)
201    ].
202
203let rec fold_right_i (A: Type[0]) (B: nat → Type[0]) (n: nat)
204                     (f: ∀n. A → B n → B (S n)) (x: B 0) (v: Vector A n) on v ≝
205  match v with
206    [ VEmpty ⇒ x
207    | VCons n hd tl ⇒ f ? hd (fold_right_i A B n f x tl)
208    ].
209
210let rec fold_right2_i (A: Type[0]) (B: Type[0]) (C: nat → Type[0])
211                      (f: ∀N. A → B → C N → C (S N)) (c: C O) (n: nat)
212                      (v: Vector A n) (q: Vector B n) on v : C n ≝
213  (match v return λx.λ_. x = n → C n with
214    [ VEmpty ⇒
215      match q return λx.λ_. O = x → C x with
216        [ VEmpty ⇒ λprf: O = O. c
217        | VCons o hd tl ⇒ λabsd. ⊥
218        ]
219    | VCons o hd tl ⇒
220      match q return λx.λ_. S o = x → C x with
221        [ VEmpty ⇒ λabsd: S o = O. ⊥
222        | VCons p hd' tl' ⇒ λprf: S o = S p.
223           (f ? hd hd' (fold_right2_i A B C f c ? tl (tl'⌈Vector B p ↦ Vector B o⌉)))⌈C (S o) ↦ C (S p)⌉
224        ]
225    ]) (refl ? n).
226  [1,2:
227    destruct
228  |3,4:
229    lapply (injective_S … prf)
230    //
231  ]
232qed.
233 
234let rec fold_left (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
235                    (f: A → B → A) (x: A) (v: Vector B n) on v ≝
236  match v with
237    [ VEmpty ⇒ x
238    | VCons n hd tl ⇒ fold_left A B n f (f x hd) tl
239    ].
240   
241(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
242(* Maps and zips.                                                             *)
243(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
244
245let rec map (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
246             (f: A → B) (v: Vector A n) on v ≝
247  match v with
248    [ VEmpty ⇒ [[ ]]
249    | VCons n hd tl ⇒ (f hd) ::: (map A B n f tl)
250    ].
251
252let rec zip_with (A: Type[0]) (B: Type[0]) (C: Type[0]) (n: nat)
253             (f: A → B → C) (v: Vector A n) (q: Vector B n) on v ≝
254  (match v return (λx.λr. x = n → Vector C x) with
255    [ VEmpty ⇒ λ_. [[ ]]
256    | VCons n hd tl ⇒
257      match q return (λy.λr. S n = y → Vector C (S n)) with
258        [ VEmpty ⇒ ?
259        | VCons m hd' tl' ⇒
260            λe: S n = S m.
261              (f hd hd') ::: (zip_with A B C n f tl ?)
262        ]
263    ])
264    (refl ? n).
265  [ #e
266    destruct(e);
267  | lapply (injective_S … e)
268    # H
269    > H
270    @ tl'
271  ]
272qed.
273
274definition zip ≝
275  λA, B: Type[0].
276  λn: nat.
277  λv: Vector A n.
278  λq: Vector B n.
279    zip_with A B (A × B) n (pair A B) v q.
280
281(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
282(* Building vectors from scratch                                              *)
283(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
284
285let rec replicate (A: Type[0]) (n: nat) (h: A) on n ≝
286  match n return λn. Vector A n with
287    [ O ⇒ [[ ]]
288    | S m ⇒ h ::: (replicate A m h)
289    ].
290
291(* DPM: fixme.  Weird matita bug in base case. *)
292let rec append (A: Type[0]) (n: nat) (m: nat)
293                (v: Vector A n) (q: Vector A m) on v ≝
294  match v return (λn.λv. Vector A (n + m)) with
295    [ VEmpty ⇒ (? q)
296    | VCons o hd tl ⇒ hd ::: (append A o m tl q)
297    ].
298    # H
299    assumption
300qed.
301   
302notation "hvbox(l break @@ r)"
303  right associative with precedence 47
304  for @{ 'vappend $l $r }.
305   
306interpretation "Vector append" 'vappend v1 v2 = (append ??? v1 v2).
307
308axiom split_elim':
309  ∀A: Type[0].
310  ∀B: Type[1].
311  ∀l, m, v.
312  ∀T: Vector A l → Vector A m → B.
313  ∀P: B → Prop.
314    (∀lft, rgt. v = lft @@ rgt → P (T lft rgt)) →
315      P (let 〈lft, rgt〉 ≝ split A l m v in T lft rgt).
316
317axiom split_elim'':
318  ∀A: Type[0].
319  ∀B,B': Type[1].
320  ∀l, m, v.
321  ∀T: Vector A l → Vector A m → B.
322  ∀T': Vector A l → Vector A m → B'.
323  ∀P: B → B' → Prop.
324    (∀lft, rgt. v = lft @@ rgt → P (T lft rgt) (T' lft rgt)) →
325      P (let 〈lft, rgt〉 ≝ split A l m v in T lft rgt)
326        (let 〈lft, rgt〉 ≝ split A l m v in T' lft rgt).
327   
328let rec scan_left (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
329                   (f: A → B → A) (a: A) (v: Vector B n) on v ≝
330  a :::
331    (match v with
332       [ VEmpty ⇒ VEmpty A
333       | VCons o hd tl ⇒ scan_left A B o f (f a hd) tl
334       ]).
335
336let rec scan_right (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
337                    (f: A → B → A) (b: B) (v: Vector A n) on v ≝
338  match v with
339    [ VEmpty ⇒ ?
340    | VCons o hd tl ⇒ f hd b :: (scan_right A B o f b tl)
341    ].
342    //
343qed.
344   
345(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
346(* Other manipulations.                                                       *)
347(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
348
349(* At some points matita will attempt to reduce reverse with a known vector,
350   which reduces the equality proof for the cast.  Normalising this proof needs
351   to be fast enough to keep matita usable, so use plus_n_Sm_fast. *)
352
353let rec revapp (A: Type[0]) (n: nat) (m:nat)
354                (v: Vector A n) (acc: Vector A m) on v : Vector A (n + m) ≝
355  match v return λn'.λ_. Vector A (n' + m) with
356    [ VEmpty ⇒ acc
357    | VCons o hd tl ⇒ (revapp ??? tl (hd:::acc))⌈Vector A (o+S m) ↦ Vector A (S o + m)⌉
358    ].
359< plus_n_Sm_fast @refl qed.
360
361let rec reverse (A: Type[0]) (n: nat) (v: Vector A n) on v : Vector A n ≝
362  (revapp A n 0 v [[ ]])⌈Vector A (n+0) ↦ Vector A n⌉.
363< plus_n_O @refl qed.
364
365let rec pad_vector (A:Type[0]) (a:A) (n,m:nat) (v:Vector A m) on n : Vector A (n+m) ≝
366match n return λn.Vector A (n+m) with
367[ O ⇒ v
368| S n' ⇒ a:::(pad_vector A a n' m v)
369].
370
371(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
372(* Conversions to and from lists.                                             *)
373(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
374
375let rec list_of_vector (A: Type[0]) (n: nat)
376                        (v: Vector A n) on v ≝
377  match v return λn.λv. list A with
378    [ VEmpty ⇒ []
379    | VCons o hd tl ⇒ hd :: (list_of_vector A o tl)
380    ].
381
382let rec vector_of_list (A: Type[0]) (l: list A) on l ≝
383  match l return λl. Vector A (length A l) with
384    [ nil ⇒ ?
385    | cons hd tl ⇒ hd ::: (vector_of_list A tl)
386    ].
387    normalize
388    @ VEmpty
389qed.
390
391(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)   
392(* Rotates and shifts.                                                        *)
393(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
394   
395let rec rotate_left (A: Type[0]) (n: nat)
396                     (m: nat) (v: Vector A n) on m: Vector A n ≝
397  match m with
398    [ O ⇒ v
399    | S o ⇒
400        match v with
401          [ VEmpty ⇒ [[ ]]
402          | VCons p hd tl ⇒
403             rotate_left A (S p) o ((append A p ? tl [[hd]])⌈Vector A (p + S O) ↦ Vector A (S p)⌉)
404          ]
405    ].
406  //
407qed.
408
409definition rotate_right ≝
410  λA: Type[0].
411  λn, m: nat.
412  λv: Vector A n.
413    reverse A n (rotate_left A n m (reverse A n v)).
414
415definition shift_left_1 ≝
416  λA: Type[0].
417  λn: nat.
418  λv: Vector A (S n).
419  λa: A.
420   match v return λy.λ_. y = S n → Vector A y with
421     [ VEmpty ⇒ λH.⊥
422     | VCons o hd tl ⇒ λH.reverse … (a::: reverse … tl)
423     ] (refl ? (S n)).
424 destruct.
425qed.
426
427
428(* XXX this is horrible - but useful to ensure that we can normalise in the proof assistant. *)
429definition switch_bv_plus : ∀A:Type[0]. ∀n,m. Vector A (n+m) → Vector A (m+n) ≝
430λA,n,m. match commutative_plus_faster n m return λx.λ_.Vector A (n+m) → Vector A x with [ refl ⇒ λi.i ].
431
432definition shift_right_1 ≝
433  λA: Type[0].
434  λn: nat.
435  λv: Vector A (S n).
436  λa: A.
437    let 〈v',dropped〉 ≝ split ? n 1 (switch_bv_plus ? 1 n v) in a:::v'.
438(*    reverse … (shift_left_1 … (reverse … v) a).*)
439
440definition shift_left : ∀A:Type[0]. ∀n,m:nat. Vector A n → A → Vector A n ≝
441  λA: Type[0].
442  λn, m: nat.
443    match nat_compare n m return λx,y.λ_. Vector A x → A → Vector A x with
444    [ nat_lt _ _ ⇒ λv,a. replicate … a
445    | nat_eq _   ⇒ λv,a. replicate … a
446    | nat_gt d m ⇒ λv,a. let 〈v0,v'〉 ≝ split … v in switch_bv_plus … (v' @@ (replicate … a))
447    ].
448
449(*    iterate … (λx. shift_left_1 … x a) v m.*)
450   
451definition shift_right ≝
452  λA: Type[0].
453  λn, m: nat.
454  λv: Vector A (S n).
455  λa: A.
456    iterate … (λx. shift_right_1 … x a) v m.
457
458(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
459(* Decidable equality.                                                        *)
460(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
461
462let rec eq_v (A: Type[0]) (n: nat) (f: A → A → bool) (b: Vector A n) (c: Vector A n) on b : bool ≝
463  (match b return λx.λ_. Vector A x → bool with
464   [ VEmpty ⇒ λc.
465       match c return λx.λ_. match x return λ_.Type[0] with [ O ⇒ bool | _ ⇒ True ] with
466       [ VEmpty ⇒ true
467       | VCons p hd tl ⇒ I
468       ]
469   | VCons m hd tl ⇒ λc. andb (f hd (head' A m c)) (eq_v A m f tl (tail A m c))
470   ]
471  ) c.
472
473lemma vector_inv_n: ∀A,n. ∀P:Vector A n → Type[0]. ∀v:Vector A n.
474  match n return λn'. (Vector A n' → Type[0]) → Vector A n' → Type[0] with
475  [ O ⇒ λP.λv.P [[ ]] → P v
476  | S m ⇒ λP.λv.(∀h,t. P (VCons A m h t)) → P v
477  ] P v.
478#A #n #P #v generalize in match P cases v normalize //
479qed.
480
481lemma eq_v_elim: ∀P:bool → Type[0]. ∀A,f.
482  (∀Q:bool → Type[0]. ∀a,b. (a = b → Q true) → (a ≠ b → Q false) → Q (f a b)) →
483  ∀n,x,y.
484  (x = y → P true) →
485  (x ≠ y → P false) →
486  P (eq_v A n f x y).
487#P #A #f #f_elim #n #x elim x
488[ #y @(vector_inv_n … y)
489  normalize /2/
490| #m #h #t #IH #y @(vector_inv_n … y)
491  #h' #t' #Ht #Hf whd in ⊢ (?%)
492  @(f_elim ? h h') #Eh
493  [ @IH [ #Et @Ht >Eh >Et @refl | #NEt @Hf % #E' destruct (E') elim NEt /2/ ]
494  | @Hf % #E' destruct (E') elim Eh /2/
495  ]
496] qed.
497
498lemma eq_v_true : ∀A,f. (∀a. f a a = true) → ∀n,v. eq_v A n f v v = true.
499#A #f #f_true #n #v elim v
500[ //
501| #m #h #t #IH whd in ⊢ (??%%) >f_true >IH @refl
502] qed.
503
504lemma vector_neq_tail : ∀A,n,h. ∀t,t':Vector A n. h:::t≠h:::t' → t ≠ t'.
505#A #n #h #t #t' * #NE % #E @NE >E @refl
506qed.
507
508lemma  eq_v_false : ∀A,f. (∀a,a'. f a a' = true → a = a') → ∀n,v,v'. v≠v' → eq_v A n f v v' = false.
509#A #f #f_true #n elim n
510[ #v #v' @(vector_inv_n ??? v) @(vector_inv_n ??? v') * #H @False_ind @H @refl
511| #m #IH #v #v' @(vector_inv_n ??? v) #h #t @(vector_inv_n ??? v') #h' #t'
512  #NE normalize lapply (f_true h h') cases (f h h') // #E @IH >E in NE /2/
513] qed.
514
515(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
516(* Subvectors.                                                                *)
517(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
518
519definition mem ≝
520 λA: Type[0].
521 λeq_a : A → A → bool.
522 λn: nat.
523 λl: Vector A n.
524 λx: A.
525  fold_right … (λy,v. (eq_a x y) ∨ v) false l.
526
527
528definition subvector_with ≝
529  λA: Type[0].
530  λn: nat.
531  λm: nat.
532  λf: A → A → bool.
533  λv: Vector A n.
534  λq: Vector A m.
535    fold_right ? ? ? (λx, v. (mem ? f ? q x) ∧ v) true v.
536   
537(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
538(* Lemmas.                                                                    *)
539(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)   
540   
541lemma map_fusion:
542  ∀A, B, C: Type[0].
543  ∀n: nat.
544  ∀v: Vector A n.
545  ∀f: A → B.
546  ∀g: B → C.
547    map B C n g (map A B n f v) = map A C n (λx. g (f x)) v.
548  #A #B #C #n #v #f #g
549  elim v
550  [ normalize
551    %
552  | #N #H #V #H2
553    normalize
554    > H2
555    %
556  ]
557qed.
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.