| 1 | include "ASM/Util.ma". |
|---|
| 2 | include "ASM/Arithmetic.ma". |
|---|
| 3 | |
|---|
| 4 | definition nat_of_bool: bool → nat ≝ |
|---|
| 5 | λb: bool. |
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| 6 | match b with |
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| 7 | [ true ⇒ 1 |
|---|
| 8 | | false ⇒ 0 |
|---|
| 9 | ]. |
|---|
| 10 | |
|---|
| 11 | lemma blah: |
|---|
| 12 | ∀n: nat. |
|---|
| 13 | ∀bv: BitVector n. |
|---|
| 14 | ∀buffer: nat. |
|---|
| 15 | nat_of_bitvector_aux n buffer bv = nat_of_bitvector n bv + (buffer * 2^n). |
|---|
| 16 | #n #bv elim bv |
|---|
| 17 | [1: |
|---|
| 18 | #buffer elim buffer try % |
|---|
| 19 | #buffer' #inductive_hypothesis |
|---|
| 20 | normalize <times_n_1 % |
|---|
| 21 | |2: |
|---|
| 22 | #n' #hd #tl #inductive_hypothesis |
|---|
| 23 | #buffer cases hd normalize |
|---|
| 24 | >inductive_hypothesis |
|---|
| 25 | >inductive_hypothesis |
|---|
| 26 | [1: |
|---|
| 27 | change with ( |
|---|
| 28 | ? + (2 * buffer + 1) * ?) in ⊢ (??%?); |
|---|
| 29 | change with ( |
|---|
| 30 | ? + buffer * (2 * 2^n')) in ⊢ (???%); |
|---|
| 31 | cases daemon |
|---|
| 32 | ] |
|---|
| 33 | ] |
|---|
| 34 | cases daemon |
|---|
| 35 | qed. |
|---|
| 36 | |
|---|
| 37 | lemma nat_of_bitvector_aux_hd_tl: |
|---|
| 38 | ∀n: nat. |
|---|
| 39 | ∀tl: BitVector n. |
|---|
| 40 | ∀hd: bool. |
|---|
| 41 | nat_of_bitvector (S n) (hd:::tl) = |
|---|
| 42 | nat_of_bitvector n tl + (nat_of_bool hd * 2^n). |
|---|
| 43 | #n #tl elim tl |
|---|
| 44 | [1: |
|---|
| 45 | #hd cases hd % |
|---|
| 46 | |2: |
|---|
| 47 | #n' #hd' #tl' #inductive_hypothesis #hd |
|---|
| 48 | cases hd whd in ⊢ (??%?); normalize nodelta |
|---|
| 49 | >inductive_hypothesis cases hd' normalize nodelta |
|---|
| 50 | normalize in match (nat_of_bool ?); |
|---|
| 51 | normalize in match (nat_of_bool ?); |
|---|
| 52 | [4: |
|---|
| 53 | normalize in match (2 * ?); |
|---|
| 54 | <plus_n_O <plus_n_O % |
|---|
| 55 | |3: |
|---|
| 56 | normalize in match (2 * ?); |
|---|
| 57 | normalize in match (0 + 1); |
|---|
| 58 | <plus_n_O |
|---|
| 59 | normalize in match (1 * ?); |
|---|
| 60 | <plus_n_O |
|---|
| 61 | cases daemon |
|---|
| 62 | (* XXX: lemma *) |
|---|
| 63 | |*: |
|---|
| 64 | cases daemon |
|---|
| 65 | ] |
|---|
| 66 | ] |
|---|
| 67 | qed. |
|---|
| 68 | |
|---|
| 69 | lemma succ_nat_of_bitvector_aux_half_add_1: |
|---|
| 70 | ∀n: nat. |
|---|
| 71 | ∀bv: BitVector n. |
|---|
| 72 | ∀buffer: nat. |
|---|
| 73 | ∀power_proof: nat_of_bitvector … bv < 2^n - 1. |
|---|
| 74 | S (nat_of_bitvector_aux n buffer bv) = |
|---|
| 75 | nat_of_bitvector … (add n (bitvector_of_nat … 1) bv). |
|---|
| 76 | #n #bv elim bv |
|---|
| 77 | [1: |
|---|
| 78 | #buffer normalize #absurd |
|---|
| 79 | cases (lt_to_not_zero … absurd) |
|---|
| 80 | |2: |
|---|
| 81 | #n' #hd #tl #inductive_hypothesis #buffer |
|---|
| 82 | cases daemon |
|---|
| 83 | ] |
|---|
| 84 | qed. |
|---|
| 85 | |
|---|
| 86 | lemma succ_nat_of_bitvector_half_add_1: |
|---|
| 87 | ∀n: nat. |
|---|
| 88 | ∀bv: BitVector n. |
|---|
| 89 | ∀power_proof: nat_of_bitvector … bv < 2^n - 1. |
|---|
| 90 | S (nat_of_bitvector … bv) = nat_of_bitvector … |
|---|
| 91 | (add n (bitvector_of_nat … 1) bv). |
|---|
| 92 | #n #bv elim bv |
|---|
| 93 | [1: |
|---|
| 94 | normalize #absurd |
|---|
| 95 | cases (lt_to_not_zero … absurd) |
|---|
| 96 | |2: |
|---|
| 97 | #n' #hd #tl #inductive_hypothesis |
|---|
| 98 | cases daemon |
|---|
| 99 | ] |
|---|
| 100 | qed. |
|---|
