1 | include "ASM/Util.ma". |
---|
2 | include "ASM/Arithmetic.ma". |
---|
3 | |
---|
4 | definition nat_of_bool: bool → nat ≝ |
---|
5 | λb: bool. |
---|
6 | match b with |
---|
7 | [ true ⇒ 1 |
---|
8 | | false ⇒ 0 |
---|
9 | ]. |
---|
10 | |
---|
11 | lemma blah: |
---|
12 | ∀n: nat. |
---|
13 | ∀bv: BitVector n. |
---|
14 | ∀buffer: nat. |
---|
15 | nat_of_bitvector_aux n buffer bv = nat_of_bitvector n bv + (buffer * 2^n). |
---|
16 | #n #bv elim bv |
---|
17 | [1: |
---|
18 | #buffer elim buffer try % |
---|
19 | #buffer' #inductive_hypothesis |
---|
20 | normalize <times_n_1 % |
---|
21 | |2: |
---|
22 | #n' #hd #tl #inductive_hypothesis |
---|
23 | #buffer cases hd normalize |
---|
24 | >inductive_hypothesis |
---|
25 | >inductive_hypothesis |
---|
26 | [1: |
---|
27 | change with ( |
---|
28 | ? + (2 * buffer + 1) * ?) in ⊢ (??%?); |
---|
29 | change with ( |
---|
30 | ? + buffer * (2 * 2^n')) in ⊢ (???%); |
---|
31 | cases daemon |
---|
32 | ] |
---|
33 | ] |
---|
34 | cases daemon |
---|
35 | qed. |
---|
36 | |
---|
37 | lemma nat_of_bitvector_aux_hd_tl: |
---|
38 | ∀n: nat. |
---|
39 | ∀tl: BitVector n. |
---|
40 | ∀hd: bool. |
---|
41 | nat_of_bitvector (S n) (hd:::tl) = |
---|
42 | nat_of_bitvector n tl + (nat_of_bool hd * 2^n). |
---|
43 | #n #tl elim tl |
---|
44 | [1: |
---|
45 | #hd cases hd % |
---|
46 | |2: |
---|
47 | #n' #hd' #tl' #inductive_hypothesis #hd |
---|
48 | cases hd whd in ⊢ (??%?); normalize nodelta |
---|
49 | >inductive_hypothesis cases hd' normalize nodelta |
---|
50 | normalize in match (nat_of_bool ?); |
---|
51 | normalize in match (nat_of_bool ?); |
---|
52 | [4: |
---|
53 | normalize in match (2 * ?); |
---|
54 | <plus_n_O <plus_n_O % |
---|
55 | |3: |
---|
56 | normalize in match (2 * ?); |
---|
57 | normalize in match (0 + 1); |
---|
58 | <plus_n_O |
---|
59 | normalize in match (1 * ?); |
---|
60 | <plus_n_O |
---|
61 | cases daemon |
---|
62 | (* XXX: lemma *) |
---|
63 | |*: |
---|
64 | cases daemon |
---|
65 | ] |
---|
66 | ] |
---|
67 | qed. |
---|
68 | |
---|
69 | lemma succ_nat_of_bitvector_aux_half_add_1: |
---|
70 | ∀n: nat. |
---|
71 | ∀bv: BitVector n. |
---|
72 | ∀buffer: nat. |
---|
73 | ∀power_proof: nat_of_bitvector … bv < 2^n - 1. |
---|
74 | S (nat_of_bitvector_aux n buffer bv) = |
---|
75 | nat_of_bitvector … (\snd (half_add n (bitvector_of_nat … 1) bv)). |
---|
76 | #n #bv elim bv |
---|
77 | [1: |
---|
78 | #buffer normalize #absurd |
---|
79 | cases (lt_to_not_zero … absurd) |
---|
80 | |2: |
---|
81 | #n' #hd #tl #inductive_hypothesis #buffer |
---|
82 | cases daemon |
---|
83 | ] |
---|
84 | qed. |
---|
85 | |
---|
86 | lemma succ_nat_of_bitvector_half_add_1: |
---|
87 | ∀n: nat. |
---|
88 | ∀bv: BitVector n. |
---|
89 | ∀power_proof: nat_of_bitvector … bv < 2^n - 1. |
---|
90 | S (nat_of_bitvector … bv) = nat_of_bitvector … |
---|
91 | (\snd (half_add n (bitvector_of_nat … 1) bv)). |
---|
92 | #n #bv elim bv |
---|
93 | [1: |
---|
94 | normalize #absurd |
---|
95 | cases (lt_to_not_zero … absurd) |
---|
96 | |2: |
---|
97 | #n' #hd #tl #inductive_hypothesis |
---|
98 | cases daemon |
---|
99 | ] |
---|
100 | qed. |
---|