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correctness proof in developping

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Line 
1(**************************************************************************)
2(*       ___                                                              *)
3(*      ||M||                                                             *)
4(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5(*      ||T||                                                             *)
6(*      ||I||       Developers:                                           *)
7(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9(*      \   /                                                             *)
10(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12(*                                                                        *)
13(**************************************************************************)
14
15include "arithmetics/nat.ma".
16include "basics/types.ma".
17include "basics/deqsets.ma".
18include "../src/ASM/Util.ma".
19
20inductive FunctionName : Type[0] ≝
21 | a_function_id : ℕ → FunctionName.
22 
23inductive CallCostLabel : Type[0] ≝
24 | a_call_label : ℕ → CallCostLabel.
25 
26inductive ReturnPostCostLabel : Type[0] ≝
27 | a_return_cost_label : ℕ → ReturnPostCostLabel.
28 
29inductive NonFunctionalLabel : Type[0] ≝
30 | a_non_functional_label : ℕ → NonFunctionalLabel.
31 
32inductive CostLabel : Type[0] ≝
33 | a_call : CallCostLabel → CostLabel
34 | a_return_post : ReturnPostCostLabel → CostLabel
35 | a_non_functional_label : NonFunctionalLabel → CostLabel.
36
37coercion a_call.
38coercion a_return_post.
39coercion a_non_functional_label.
40
41(*
42definition ret_act_label_to_cost_label :
43(ReturnPostCostLabel + NonFunctionalLabel) → CostLabel ≝
44λx.match x with [inl a ⇒ a_return_post a | inr b ⇒ a_non_functional_label b].
45
46coercion ret_act_label_to_cost_label.
47
48definition call_act_label_to_cost_label :
49(CallCostLabel + NonFunctionalLabel) → CostLabel ≝
50λx.match x with [inl a ⇒ a_call a | inr b ⇒ a_non_functional_label b].
51
52coercion call_act_label_to_cost_label.
53*)
54
55definition eq_nf_label : NonFunctionalLabel → NonFunctionalLabel → bool ≝
56λx,y.match x with [ a_non_functional_label n ⇒
57                    match y with [a_non_functional_label m ⇒ eqb n m ] ].
58
59lemma eq_fn_label_elim : ∀P : bool → Prop.∀l1,l2 : NonFunctionalLabel.
60(l1 = l2 → P true) → (l1 ≠ l2 → P false) → P (eq_nf_label l1 l2).
61#P * #l1 * #l2 #H1 #H2 normalize @eqb_elim /3/ * #H3 @H2 % #EQ destruct @H3 % qed.
62
63definition DEQNonFunctionalLabel ≝ mk_DeqSet NonFunctionalLabel eq_nf_label ?.
64#x #y @eq_fn_label_elim [ #EQ destruct /2/] * #H % [ #EQ destruct] #H1 @⊥ @H
65assumption
66qed.
67
68unification hint  0 ≔ ;
69    X ≟ DEQNonFunctionalLabel
70(* ---------------------------------------- *) ⊢
71    NonFunctionalLabel ≡ carr X.
72
73unification hint  0 ≔ p1,p2;
74    X ≟ DEQNonFunctionalLabel
75(* ---------------------------------------- *) ⊢
76    eq_nf_label p1 p2 ≡ eqb X p1 p2.
77
78definition eq_function_name : FunctionName → FunctionName → bool ≝
79λf1,f2.match f1 with [ a_function_id n ⇒ match f2 with [a_function_id m ⇒ eqb n m ] ].
80
81lemma eq_function_name_elim : ∀P : bool → Prop.∀f1,f2.
82(f1 = f2 → P true) → (f1 ≠ f2 → P false) → P (eq_function_name f1 f2).
83#P * #f1 * #f2 #H1 #H2 normalize @eqb_elim /2/ * #H3 @H2 % #EQ destruct @H3 % qed.
84
85definition DEQFunctionName ≝ mk_DeqSet FunctionName eq_function_name ?.
86#x #y @eq_function_name_elim [ #EQ destruct /2/] * #H % [ #EQ destruct] #H1 @⊥ @H
87assumption
88qed.
89
90unification hint  0 ≔ ;
91    X ≟ DEQFunctionName
92(* ---------------------------------------- *) ⊢
93    FunctionName ≡ carr X.
94
95unification hint  0 ≔ p1,p2;
96    X ≟ DEQFunctionName
97(* ---------------------------------------- *) ⊢
98    eq_function_name p1 p2 ≡ eqb X p1 p2.
99
100definition eq_return_cost_lab : ReturnPostCostLabel → ReturnPostCostLabel → bool ≝
101λc1,c2.match c1 with [a_return_cost_label n ⇒ match c2 with [ a_return_cost_label m ⇒ eqb n m]].
102
103lemma eq_return_cost_lab_elim : ∀P : bool → Prop.∀c1,c2.(c1 = c2 → P true) →
104(c1 ≠ c2 → P false) → P (eq_return_cost_lab c1 c2).
105#P * #c1 * #c2 #H1 #H2 normalize @eqb_elim /2/ * #H @H2 % #EQ destruct @H % qed.
106
107definition DEQReturnPostCostLabel ≝ mk_DeqSet ReturnPostCostLabel eq_return_cost_lab ?.
108#x #y @eq_return_cost_lab_elim [ #EQ destruct /2/] * #H % [ #EQ destruct] #H1 @⊥ @H
109assumption
110qed.
111
112unification hint  0 ≔ ;
113    X ≟ DEQReturnPostCostLabel
114(* ---------------------------------------- *) ⊢
115    ReturnPostCostLabel ≡ carr X.
116
117unification hint  0 ≔ p1,p2;
118    X ≟ DEQReturnPostCostLabel
119(* ---------------------------------------- *) ⊢
120    eq_return_cost_lab p1 p2 ≡ eqb X p1 p2.
121
122definition eq_call_cost_lab : CallCostLabel → CallCostLabel → bool ≝
123λc1,c2.match c1 with [a_call_label x ⇒ match c2 with [a_call_label y ⇒ eqb x y ]].
124
125lemma eq_call_cost_lab_elim : ∀P : bool → Prop.∀c1,c2.(c1 = c2 → P true) →
126(c1 ≠ c2 → P false) → P (eq_call_cost_lab c1 c2).
127#P * #c1 * #c2 #H1 #H2 normalize @eqb_elim /2/ * #H @H2 % #EQ destruct @H % qed.
128
129definition DEQCallCostLabel ≝ mk_DeqSet CallCostLabel eq_call_cost_lab ?.
130#x #y @eq_call_cost_lab_elim [ #EQ destruct /2/] * #H % [ #EQ destruct] #H1 @⊥ @H
131assumption
132qed.
133
134unification hint  0 ≔ ;
135    X ≟ DEQCallCostLabel
136(* ---------------------------------------- *) ⊢
137    CallCostLabel ≡ carr X.
138
139unification hint  0 ≔ p1,p2;
140    X ≟ DEQCallCostLabel
141(* ---------------------------------------- *) ⊢
142    eq_call_cost_lab p1 p2 ≡ eqb X p1 p2.
143
144definition eq_costlabel : CostLabel → CostLabel → bool ≝
145λc1.match c1 with
146  [ a_call x1 ⇒ λc2.match c2 with [a_call y1 ⇒ x1 == y1 | _ ⇒ false ]
147  | a_return_post x1 ⇒
148      λc2.match c2 with [ a_return_post y1 ⇒ x1 == y1 | _ ⇒ false ]
149  | a_non_functional_label x1 ⇒
150     λc2.match c2 with [a_non_functional_label y1 ⇒ x1 == y1 | _ ⇒ false ]
151  ].
152
153lemma eq_costlabel_elim : ∀P : bool → Prop.∀c1,c2.(c1 = c2 → P true) →
154(c1 ≠ c2 → P false) → P (eq_costlabel c1 c2).
155#P * #c1 * #c2 #H1 #H2 whd in match (eq_costlabel ??);
156try (@H2 % #EQ destruct)
157[ change with (eq_call_cost_lab ??) in ⊢ (?%); @eq_call_cost_lab_elim
158  [ #EQ destruct @H1 % | * #H @H2 % #EQ destruct @H % ]
159| change with (eq_return_cost_lab ??) in ⊢ (?%);
160   @eq_return_cost_lab_elim
161   [ #EQ destruct @H1 % | * #H @H2 % #EQ destruct @H % ]
162| change with (eq_nf_label ??) in ⊢ (?%); @eq_fn_label_elim
163  [ #EQ destruct @H1 % | * #H @H2 % #EQ destruct @H % ]
164]
165qed.
166
167
168definition DEQCostLabel ≝ mk_DeqSet CostLabel eq_costlabel ?.
169#x #y @eq_costlabel_elim [ #EQ destruct /2/] * #H % [ #EQ destruct] #H1 @⊥ @H
170assumption
171qed.
172
173unification hint  0 ≔ ;
174    X ≟ DEQCostLabel
175(* ---------------------------------------- *) ⊢
176    CostLabel ≡ carr X.
177
178unification hint  0 ≔ p1,p2;
179    X ≟ DEQCostLabel
180(* ---------------------------------------- *) ⊢
181    eq_costlabel p1 p2 ≡ eqb X p1 p2.
182
183   
184
185
186inductive ActionLabel : Type[0] ≝
187 | call_act : FunctionName → CallCostLabel → ActionLabel
188 | ret_act : option(ReturnPostCostLabel) → ActionLabel
189 | cost_act : option NonFunctionalLabel → ActionLabel
190 | init_act : ActionLabel.
191 
192definition is_cost_label : ActionLabel → Prop ≝
193λact.match act with [ cost_act nf ⇒ True | _ ⇒ False ].
194
195inductive status_class : Type[0] ≝
196 | cl_jump : status_class
197 | cl_io : status_class
198 | cl_other : status_class.
199
200definition is_non_silent_cost_act : ActionLabel → Prop ≝
201λact. ∃l. act = cost_act (Some ? l).
202
203record abstract_status : Type[2] ≝
204 { as_status :> Type[0]
205 ; as_execute : ActionLabel → relation as_status
206 ; as_syntactical_succ : relation as_status
207 ; as_classify : as_status → status_class
208 ; is_call_post_label : as_status → bool
209 ; as_initial : as_status → bool
210 ; as_final : as_status → bool
211 ; jump_emits : ∀s1,s2,l.
212      as_classify … s1 = cl_jump →
213      as_execute l s1 s2 → is_non_silent_cost_act l
214 ; io_entering : ∀s1,s2,l.as_classify … s2 = cl_io →
215      as_execute l s1 s2 → is_non_silent_cost_act l
216 ; io_exiting : ∀s1,s2,l.as_classify … s1 = cl_io →
217     as_execute l s1 s2 → is_non_silent_cost_act l
218 }.
219 (*
220definition is_act_io_entering : abstract_status → ActionLabel → bool ≝
221λS,l.match l with
222[ call_act f c ⇒ match c with [ inl _ ⇒ false | inr c' ⇒ is_io_entering S c' ]
223| ret_act x ⇒ match x with [ Some c ⇒ match c with [inl _ ⇒ false
224                                                   | inr c' ⇒ is_io_entering S c']
225                           | None ⇒ false
226                           ]
227| cost_act x ⇒ match x with [ Some c ⇒ is_io_entering S c | None ⇒ false ]
228| init_act ⇒ false
229].
230
231definition is_act_io_exiting : abstract_status → ActionLabel → bool ≝
232λS,l.match l with
233[ call_act f c ⇒ match c with [ inl _ ⇒ false | inr c' ⇒ is_io_exiting S c' ]
234| ret_act x ⇒ match x with [ Some c ⇒ match c with [inl _ ⇒ false
235                                                   | inr c' ⇒ is_io_exiting S c']
236                           | None ⇒ false
237                           ]
238| cost_act x ⇒ match x with [ Some c ⇒ is_io_exiting S c | None ⇒ false ]
239| init_act ⇒ false
240].
241*)
242
243inductive raw_trace (S : abstract_status) : S → S → Type[0] ≝
244  | t_base : ∀st : S.raw_trace S st st
245  | t_ind : ∀st1,st2,st3 : S.∀l : ActionLabel.
246             as_execute S l st1 st2 → raw_trace S st2 st3 →
247             raw_trace S st1 st3.
248
249definition is_cost_act : ActionLabel → Prop ≝
250λact.∃l.act = cost_act l.
251
252definition is_call_act : ActionLabel → Prop ≝
253λact.∃f,l.act = call_act f l.
254
255definition is_labelled_ret_act : ActionLabel → Prop ≝
256λact.∃l.act = ret_act (Some ? l).
257
258definition is_unlabelled_ret_act : ActionLabel → Prop ≝
259λact.act = ret_act (None ?).
260
261definition is_costlabelled_act : ActionLabel → Prop ≝
262λact.match act with [ call_act _ _ ⇒ True
263                    | ret_act x ⇒ match x with [ Some _ ⇒ True | None ⇒ False ]
264                    | cost_act x ⇒ match x with [ Some _ ⇒ True | None ⇒ False ]
265                    | init_act ⇒ False
266                    ].
267(*
268lemma well_formed_trace_inv :
269∀S : abstract_status.∀st1,st2 : S.∀t : raw_trace S st1 st2.
270well_formed_trace … t →
271(st1 = st2 ∧ t ≃ t_base S st1) ∨
272(∃st1'.∃l.∃prf : as_execute S l st1 st1'.∃tl : raw_trace S st1' st2.
273well_formed_trace … tl ∧ as_classify … st1 ≠ cl_jump ∧
274t ≃ t_ind … prf … tl) ∨
275(∃st1'.∃l.∃ prf : as_execute S l st1 st1'.∃ tl : raw_trace S st1' st2.
276 well_formed_trace … tl ∧ is_non_silent_cost_act l ∧ t ≃ t_ind … prf … tl). (* ∨
277(∃st1'.∃l.∃prf : as_execute S l st1 st1'.∃tl : raw_trace S st1' st2.
278 well_formed_trace … tl ∧ as_classify … st1 = cl_io ∧
279 is_non_silent_cost_act l ∧ t ≃ t_ind … prf … tl).*)
280#S #st1 #st2 #t #H inversion H
281[ #st #EQ1 #EQ2 destruct(EQ1 EQ2) #EQ destruct(EQ) #_ /5 by refl_jmeq, or_introl, conj/
282| #st1' #st2' #st3' #l #prf' #tl' #Htl #Hclass #_ #EQ2 #EQ3 #EQ4 destruct #_
283  %  %2 %{st2'} %{l} %{prf'} %{tl'} /4 by conj/
284| #st1' #st2' #st3' #l #prf #tl #Htl #Hl #_ #EQ2 #EQ3 #EQ4 destruct #_ %2 %{st2'}
285  %{l} %{prf} %{tl} % // % //
286(*| #st1' #st2' #st3' #l #prf #tl #Htl #Hclass #is_non_silent #_ #EQ1 #EQ2 #EQ3
287  destruct #_ %2 %{st2'} %{l} %{prf} %{tl} /5 by conj/ *)
288]
289qed.
290
291*)
292
293let rec append_on_trace (S : abstract_status) (st1 : S) (st2 : S) (st3 : S)
294(t1 : raw_trace S st1 st2) on t1 : raw_trace S st2 st3 → raw_trace S st1 st3 ≝
295match t1
296return λst1,st2,tr.raw_trace S st2 st3 → raw_trace S st1 st3
297with
298[ t_base st ⇒ λt2.t2
299| t_ind st1' st2' st3' l prf tl ⇒ λt2.t_ind … prf … (append_on_trace … tl t2)
300].
301
302interpretation "trace_append" 'append t1 t2 = (append_on_trace ???? t1 t2).
303
304lemma append_associative : ∀S,st1,st2,st3,st4.
305∀t1 : raw_trace S st1 st2.∀t2 : raw_trace S st2 st3.
306∀t3 : raw_trace S st3 st4.(t1 @ t2) @ t3 = t1 @ (t2 @ t3).
307#S #st1 #st2 #st3 #st4 #t1 elim t1 -t1
308[ #st #t2 #t3 %] #st1' #st2' #st3' #l #prf #tl #IH #t2 #t3 whd in ⊢ (??%%); >IH %
309qed.
310
311definition trace_prefix: ∀S : abstract_status.∀st1,st2,st3 : S.raw_trace … st1 st2 →
312raw_trace … st1 st3 → Prop≝
313λS,st1,st2,st3,t1,t2.∃t3 : raw_trace … st2 st3.t2 = t1 @ t3.
314
315definition trace_suffix : ∀S : abstract_status.∀st1,st2,st3 : S.raw_trace … st2 st3 →
316raw_trace … st1 st3 → Prop≝
317λS,st1,st2,st3,t1,t2.∃t3 : raw_trace … st1 st2.t2 = t3 @ t1.
318
319inductive pre_silent_trace (S : abstract_status) :
320∀st1,st2 : S.raw_trace S st1 st2 → Prop ≝
321| silent_empty : ∀st : S.as_classify … st ≠ cl_io → pre_silent_trace … (t_base S st)
322| silent_cons : ∀st1,st2,st3 : S.∀prf : as_execute S (cost_act (None ?)) st1 st2.
323                ∀tl : raw_trace S st2 st3. as_classify … st1 ≠ cl_io → pre_silent_trace … tl →
324                pre_silent_trace … (t_ind … prf … tl).
325               
326definition is_trace_non_empty : ∀S : abstract_status.∀st1,st2.
327raw_trace S st1 st2 → bool ≝
328λS,st1,st2,t.match t with [ t_base _ ⇒ false | _ ⇒ true ].
329
330definition silent_trace : ∀S:abstract_status.∀s1,s2 : S.
331raw_trace S s1 s2 → Prop ≝ λS,s1,s2,t.pre_silent_trace … t ∨
332¬ (bool_to_Prop (is_trace_non_empty … t)).
333
334lemma pre_silent_io : ∀S : abstract_status.
335∀s1,s2 : S. ∀t : raw_trace … s1 s2. pre_silent_trace … t →
336as_classify … s2 ≠ cl_io.
337#S #s1 #s2 #t elim t [ #st #H inversion H // #st1 #st2 #st3 #prf #tl #H1 #sil_tl #_ #EQ1 #EQ2 #EQ3 destruct]
338#st1 #st2 #st3 #l #prf #tl #IH #H inversion H //
339#st1' #st2' #st3' #prf' #tl' #Hclass #silent_tl' #_ #EQ1 #EQ2 destruct
340#EQ destruct #_ @IH assumption
341qed.
342
343(*
344definition silent_trace : ∀S : abstract_status.∀st1,st2 : S.
345raw_trace S st1 st2 → Prop ≝ λS,st1,st2,t.pre_silent_trace … t ∧
346well_formed_trace … t.
347
348lemma silent_is_well_formed : ∀S : abstract_status.∀st1,st2 : S.
349∀t : raw_trace S st1 st2. silent_trace … t → well_formed_trace … t.
350#S #st1 #st2 #t * //
351qed. *)
352(* elim t -t
353[ #st #_ %]
354#st1' #st2' #st3' #l #prf #tl #IH * #H #cl %2
355[2: >cl % #EQ destruct]
356@IH inversion H in ⊢ ?; [ #st #EQ1 #EQ2 #EQ3 destruct]
357#st1'' #st2'' #st3'' #prf' #tl' #H1 #Htl' #_ #EQ1 #EQ2 #EQ3 destruct #_
358% [ assumption | #_ assumption]
359qed.*)
360
361inductive pre_measurable_trace (S : abstract_status) :
362∀st1,st2 : S.raw_trace ? st1 st2 → Prop ≝
363 | pm_empty : ∀st : S. as_classify … st ≠ cl_io → pre_measurable_trace … (t_base ? st)
364 | pm_cons_cost_act : ∀st1,st2,st3 : S.∀l : ActionLabel.
365                      ∀prf : as_execute S l st1 st2.∀tl : raw_trace S st2 st3.
366                      as_classify … st1 ≠ cl_io → is_cost_act l → pre_measurable_trace … tl →
367                      pre_measurable_trace … (t_ind … prf … tl)
368 | pm_cons_lab_ret : ∀st1,st2,st3 : S.∀l : ActionLabel.
369                      as_classify … st1 ≠ cl_io →
370                      ∀prf : as_execute S l st1 st2.∀tl : raw_trace S st2 st3.
371                      is_labelled_ret_act l → pre_measurable_trace … tl →
372                      pre_measurable_trace … (t_ind … prf … tl)
373 | pm_cons_post_call : ∀st1,st2,st3 : S.∀l : ActionLabel.
374                      ∀prf : as_execute S l st1 st2.∀tl : raw_trace S st2 st3.
375                      as_classify … st1 ≠ cl_io → is_call_act l → is_call_post_label … st1 →
376                      pre_measurable_trace … tl →
377                      pre_measurable_trace … (t_ind … prf … tl)
378 | pm_balanced_call : ∀st1,st2,st3,st4,st5.∀l1,l2.
379                      ∀prf : as_execute S l1 st1 st2.∀t1 : raw_trace S st2 st3.
380                      ∀t2 : raw_trace S st4 st5.∀prf' : as_execute S l2 st3 st4.
381                      as_classify … st1 ≠ cl_io → as_classify … st3 ≠ cl_io
382                      →  is_call_act l1 → ¬ is_call_post_label … st1 →
383                      pre_measurable_trace … t1 → pre_measurable_trace … t2 →
384                      as_syntactical_succ S st1 st4 →
385                      is_unlabelled_ret_act l2 →
386                      pre_measurable_trace … (t_ind … prf … (t1 @ (t_ind … prf' … t2))).
387                     
388lemma pre_measurable_trace_inv : ∀S : abstract_status.
389∀st1,st2 : S.∀t : raw_trace … st1 st2. pre_measurable_trace … t →
390(st1 = st2 ∧ as_classify … st1 ≠ cl_io ∧ t ≃ t_base … st1) ∨
391(∃st1' : S.∃l.∃prf : as_execute S l st1 st1'.∃tl.
392 t = t_ind … prf … tl ∧ as_classify … st1 ≠ cl_io ∧ is_cost_act l ∧
393 pre_measurable_trace … tl) ∨
394(∃st1' : S.∃l.∃prf : as_execute S l st1 st1'.∃tl.
395 t = t_ind … prf … tl ∧
396 as_classify … st1 ≠ cl_io ∧ is_labelled_ret_act l ∧ pre_measurable_trace … tl) ∨
397(∃st1' : S .∃l.∃prf : as_execute S l st1 st1'.∃tl.
398 t = t_ind … prf … tl ∧ as_classify … st1 ≠ cl_io ∧ is_call_act l ∧
399 (bool_to_Prop (is_call_post_label … st1)) ∧ pre_measurable_trace … tl) ∨
400(∃st1',st1'',st1''' : S.∃l1,l2.∃prf : as_execute S l1 st1 st1'.
401 ∃t1 : raw_trace S st1' st1''.∃t2 : raw_trace S st1''' st2.
402 ∃prf' : as_execute S l2 st1'' st1'''.
403 t = t_ind … prf … (t1 @ (t_ind … prf' … t2)) ∧ as_classify … st1 ≠cl_io ∧
404 as_classify … st1'' ≠ cl_io ∧ is_call_act l1 ∧
405 bool_to_Prop (¬ is_call_post_label … st1) ∧
406 pre_measurable_trace … t1 ∧ pre_measurable_trace … t2 ∧
407 as_syntactical_succ S st1 st1''' ∧ is_unlabelled_ret_act l2).
408#S #st1 #st2 #t #H inversion H
409[ #st #Hclass #EQ1 #EQ2 destruct #EQ destruct #_ %%%%% // % //
410| #st1' #st2' #st3' #l #prf #tl #Hst1' #Hl #Htl #_ #EQ1 #EQ2 #EQ3 destruct #_
411  %%%%2 %{st2'} %{l} %{prf} %{tl} % // % // % //
412| #st1' #st2' #st3' #l #Hst1 #prf #tl #Hl #Htl #_ #EQ1 #EQ2 #EQ3 destruct #_
413  %%%2 %{st2'} %{l} %{prf} %{tl} % // % // % //
414| #st1' #st2' #st3' #l #prf #tl #Hst1 #Hl #H1st1 #Htl #_ #EQ1 #EQ2 #EQ3 destruct #_
415  % %2 %{st2'} %{l} %{prf} %{tl} % // % // % // % //
416| #st1' #st2' #st3' #st4' #st5' #l1 #l2 #prf #t1 #t2 #prf' #Hst1' #Hst3' #Hl1
417  #H1st1'  #Ht1 #Ht2 #succ #Hl2 #_ #_ #EQ1 #EQ2 #EQ3 destruct #_ %2
418  %{st2'} %{st3'} %{st4'} %{l1} %{(ret_act (None ?))} %{prf} %{t1} %{t2}
419  %{prf'} /12 by conj/
420]
421qed.
422                     
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.