source: LTS/Language.ma @ 3499

Last change on this file since 3499 was 3483, checked in by sacerdot, 5 years ago

...

File size: 132.7 KB
Line 
1(**************************************************************************)
2(*       ___                                                              *)
3(*      ||M||                                                             *)
4(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5(*      ||T||                                                             *)
6(*      ||I||       Developers:                                           *)
7(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9(*      \   /                                                             *)
10(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12(*                                                                        *)
13(**************************************************************************)
14
15include "basics/types.ma".
16include "Traces.ma".
17include "basics/lists/list.ma".
18include "../src/utilities/option.ma".
19include "basics/jmeq.ma".
20
21discriminator option.
22
23record instr_params : Type[1] ≝
24{ seq_instr : DeqSet
25; io_instr : DeqSet
26; cond_instr : DeqSet
27; loop_instr : DeqSet
28; act_params_type : DeqSet
29; return_type : DeqSet
30}.
31
32
33inductive Instructions (p : instr_params) : Type[0] ≝
34 | EMPTY : Instructions p
35 | RETURN : return_type p → Instructions p
36 | SEQ : (seq_instr p) → option NonFunctionalLabel → Instructions p → Instructions p
37 | COND : (cond_instr p) → NonFunctionalLabel → Instructions p →
38                 NonFunctionalLabel → Instructions p → Instructions p →
39                       Instructions p
40 | LOOP : (loop_instr p) → NonFunctionalLabel → Instructions p →
41                  NonFunctionalLabel → Instructions p → Instructions p
42 | CALL : FunctionName → (act_params_type p) → option ReturnPostCostLabel →
43            Instructions p → Instructions p
44 | IO : NonFunctionalLabel → (io_instr p) → NonFunctionalLabel → Instructions p →
45             Instructions p.
46
47let rec eq_instructions (p : instr_params) (i : Instructions p)
48 on i : (Instructions p) → bool ≝
49match i with
50[ EMPTY ⇒ λi'.match i' with [ EMPTY ⇒ true | _ ⇒ false ]
51| RETURN x ⇒ λi'.match i' with [ RETURN y ⇒ x == y | _ ⇒ false ]
52| SEQ x lab instr ⇒ λi'.match i' with
53                      [ SEQ y lab' instr' ⇒ x == y ∧ eq_instructions … instr instr' ∧
54                              match lab with [ None ⇒ match lab' with [ None ⇒ true | _ ⇒ false ]
55                                             | Some l1 ⇒ match lab' with [Some l2 ⇒ eq_nf_label l1 l2 | _ ⇒ false]
56                                             ]
57                      | _ ⇒ false
58                      ]
59| COND x ltrue i1 lfalse i2 i3 ⇒ λi'.match i' with
60                          [ COND y ltrue' i1' lfalse' i2' i3' ⇒
61                             x == y ∧ eq_nf_label ltrue ltrue' ∧
62                             eq_instructions … i1 i1' ∧ eq_nf_label lfalse lfalse' ∧
63                             eq_instructions … i2 i2' ∧ eq_instructions … i3 i3'
64                         | _ ⇒ false
65                         ]
66| LOOP x ltrue i1 lfalse i2 ⇒ λi'.match i' with
67              [ LOOP y ltrue' i1' lfalse' i2' ⇒ x == y ∧
68                      eq_instructions … i1 i1' ∧ eq_nf_label ltrue ltrue' ∧
69                      eq_instructions … i2 i2'
70              | _ ⇒ false
71              ]
72| CALL f act_p r_lb i1 ⇒ λi'.match i' with
73             [ CALL f' act_p' r_lb' i1' ⇒ eq_function_name f f' ∧
74                       act_p == act_p' ∧ eq_instructions … i1 i1' ∧
75                       match r_lb with [ None ⇒ match r_lb' with [None ⇒ true | _ ⇒ false]
76                                       | Some z ⇒ match r_lb' with [Some w ⇒  eq_return_cost_lab z w | _ ⇒ false ]
77                                       ]
78            | _ ⇒ false
79            ]
80| IO lin io lout i1 ⇒ λi'.match i' with
81             [ IO lin' io' lout' i1' ⇒ eq_nf_label lin lin' ∧ io == io' ∧
82                                       eq_nf_label lout lout' ∧ eq_instructions … i1 i1'
83             | _ ⇒ false                                       
84             ]
85].
86
87
88(*
89lemma eq_instructions_elim : ∀ P : bool → Prop.∀p,i1,i2.(i1 = i2 → P true) →
90(i1 ≠ i2 → P false) → P (eq_instructions p i1 i2).
91#P #p #i1 elim i1
92[* normalize [/2/ ] #x [|*: #y #z [2,3: #w1 #w2 [#w3] |4,5: #w1]] #_ #H2 @H2 % #EQ
93  lapply (eq_to_jmeq ??? EQ) #EQ' destruct(EQ')
94| #rt * normalize [2: #rt' cases (dec_eq … rt rt') #H [>(\b H) | >(\bf H) ] /2/
95  #_ #K @K % #abs lapply (eq_to_jmeq ??? abs) #abs' destruct(abs') @(absurd ?? H) //]
96  [|*: #x #y #z [2,3: #w1 #w2 [#w3] |4,5: #w1]] #_ #H2 @H2 % #EQ
97  lapply (eq_to_jmeq ??? EQ) #EQ' destruct(EQ')
98| #seq * [| #lbl] #i #IH * normalize
99  [1,8: |2,9: #t_t |3,10: #seq1 #opt_l #i2 |4,11: #cond #ltrue #i_t #lfalse #i_f #i_c
100  |5,12: #cond #ltrue #i_t #lfalse #i_f |6,13: #f #act_p #ret #i3 |*: #lin #io #lout #i3]
101  #H1 #H2 try(@H2 % #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct)
102  inversion(?==?) normalize nodelta
103  [2,4: #ABS @H2 % #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct
104        >(\b (refl …)) in ABS; #EQ destruct]
105  #EQseq inversion(eq_instructions ???) normalize nodelta #Heq_i2
106  [2,4: @H2 % #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct
107*)
108
109record env_params : Type[1] ≝
110{ form_params_type : Type[0]
111}.
112
113record signature (p : env_params) (p' : instr_params) : Type[0] ≝
114{ f_name : FunctionName
115; f_pars : form_params_type p
116; f_ret : return_type p'
117}.
118
119record env_item (p : env_params) (p' : instr_params) : Type[0] ≝
120{ f_sig :> signature p p'
121; f_lab : CallCostLabel
122; f_body : Instructions p'
123}.
124
125record state_params : Type[1] ≝
126{ i_pars :> instr_params
127; e_pars :> env_params
128; store_type : DeqSet
129}.
130
131record state (p : state_params) : Type[0] ≝
132{ code : Instructions p
133; cont : list (ActionLabel × (Instructions p))
134; store : store_type p
135; io_info : bool
136}.
137
138definition is_io : ∀p.state p → Prop ≝ λp,st.io_info … st = true.
139
140record sem_state_params (p : state_params) : Type[0] ≝
141{ eval_seq : seq_instr p → (store_type p) → option (store_type p)
142; eval_io : io_instr p → store_type p → option (store_type p)
143; eval_cond_cond : cond_instr p → store_type p → option (bool × (store_type p))
144; eval_loop_cond : loop_instr p → store_type p → option (bool × (store_type p))
145; eval_call : signature p p → act_params_type p → store_type p → option (store_type p)
146; eval_after_return : return_type p → store_type p → option (store_type p)
147; init_store : store_type p
148}.
149
150
151let rec lookup (p : env_params) (p' : instr_params) (l : list (env_item p p'))
152 on l : FunctionName → option (env_item p p') ≝
153match l with
154[ nil ⇒ λ_.None ?
155| cons x xs ⇒  λf.if (eq_function_name f (f_name … x))
156                  then Some ? x
157                  else lookup … xs f
158].
159
160definition is_ret_call_act : ActionLabel → Prop ≝
161λa.match a with [ret_act _ ⇒ True | call_act _ _ ⇒ True | _ ⇒ False ].
162
163inductive execute_l (p : state_params) (p' : sem_state_params p) (env : list (env_item p p)) :
164                                         ActionLabel → relation (state p) ≝
165| empty : ∀st,st',hd,tl.(code ? st) = (EMPTY p)→ (cont ? st) = hd :: tl →
166           (code ? st') = \snd hd → (cont … st') = tl → (store … st) = (store … st') →
167           (io_info … st = true → is_non_silent_cost_act (\fst hd)) →  (io_info … st') = false → ¬ is_ret_call_act (\fst hd) →  execute_l … (\fst hd) st st'
168| seq_sil : ∀st,st',i,cd,s,opt_l.(code ? st) = SEQ … i opt_l cd →
169             eval_seq … p' i (store … st) = return s → (code ? st') = cd →
170             (cont … st) = (cont … st') → (store … st') = s →
171             io_info … st = false →  io_info ? st' = false → execute_l … (cost_act opt_l) st st'
172| cond_true : ∀st,st',exp,ltrue,i_true,lfalse,i_false,cd,new_m.
173   (code ? st) = COND … exp ltrue i_true lfalse i_false cd → eval_cond_cond … p' exp (store … st) = return 〈true,new_m〉 →
174   cont ? st' = 〈cost_act (None ?),cd〉 ::(cont … st) → code … st' = i_true → store … st' = new_m →
175   io_info … st = false →  io_info … st' = false → execute_l … (cost_act (Some ? ltrue)) st st'
176| cond_false : ∀st,st',exp,ltrue,i_true,lfalse,i_false,cd,new_m.
177   (code ? st) = COND … exp ltrue i_true lfalse i_false cd → eval_cond_cond … p' exp (store … st) = return 〈false,new_m〉 →
178   cont ? st' = 〈cost_act (None ?),cd〉 ::(cont … st) → code … st' = i_false → store … st' = new_m →
179   io_info … st = false →  io_info … st' = false → execute_l … (cost_act (Some ? lfalse)) st st'
180| loop_true : ∀st,st',exp,ltrue,i_true,lfalse,i_false,new_m.
181   code ? st = LOOP … exp ltrue i_true lfalse i_false → eval_loop_cond … p' exp (store … st) = return 〈true,new_m〉 →
182   cont ? st' = 〈cost_act (None ?),LOOP … exp ltrue i_true lfalse i_false〉 :: (cont … st) →
183   code … st' = i_true → store … st' = new_m → io_info … st = false →  io_info … st' = false →
184   execute_l … (cost_act (Some ? ltrue)) st st'
185| loop_false : ∀st,st',exp,ltrue,i_true,lfalse,i_false,new_m.
186   code ? st = LOOP … exp ltrue i_true lfalse i_false → eval_loop_cond … p' exp (store … st) = return 〈false,new_m〉 →
187   cont ? st' = cont … st → code … st' = i_false → store … st' = new_m →
188   io_info … st = false →  io_info … st' = false → execute_l … (cost_act (Some ? lfalse)) st st'
189| io_in : ∀st,st',lin,io,lout,cd,mem.(code ? st) = IO … lin io lout cd →
190    eval_io … p' io (store … st) = return mem → code ? st' = EMPTY p →
191    cont … st' = 〈cost_act (Some ? lout),cd〉 :: (cont … st) → store … st' = mem →
192    io_info … st' = true → execute_l … (cost_act (Some ? lin)) st st'
193| call : ∀st,st',f,act_p,r_lb,cd,mem,env_it.(code ? st) = CALL … f act_p r_lb cd →
194    lookup … env f = return env_it →
195    eval_call ? p' env_it act_p (store … st) = return mem →
196    store ? st' = mem → code … st' = f_body … env_it →
197     cont … st' =
198       〈(ret_act r_lb),cd〉 :: (cont … st) → 
199    io_info … st = false →  (io_info … st') = false →
200    execute_l … (call_act f (f_lab ?? env_it)) st st'
201| ret_instr : ∀st,st',r_t,mem,tl',rb,cd.code ? st = RETURN … r_t →
202   cont … st = 〈ret_act rb,cd〉 :: tl' → cont ? st' = tl' →
203   io_info … st = false →  io_info ? st' = false →
204   eval_after_return … p' r_t (store … st) = return mem → code … st' = cd →
205   store … st' = mem → execute_l … (ret_act rb) st st'.
206   
207let rec get_labels_of_code (p : instr_params) (i : Instructions p) on i : list CostLabel ≝
208match i with
209[ EMPTY ⇒ [ ]
210| RETURN x ⇒ [ ]
211| SEQ x lab instr ⇒ let ih ≝ get_labels_of_code … instr in
212  match lab with [ None ⇒ ih | Some lbl ⇒ a_non_functional_label lbl :: ih ]
213| COND x ltrue i1 lfalse i2 i3 ⇒
214   let ih3 ≝ get_labels_of_code … i3 in
215   let ih2 ≝ get_labels_of_code … i2 in
216   let ih1 ≝ get_labels_of_code … i1 in
217   ltrue :: lfalse :: (ih1 @ ih2 @ih3)
218| LOOP x ltrue i1 lfalse i2 ⇒
219   let ih2 ≝ get_labels_of_code … i2 in
220   let ih1 ≝ get_labels_of_code … i1 in
221   a_non_functional_label ltrue :: a_non_functional_label lfalse :: (ih1 @ ih2)
222| CALL f act_p r_lb i1 ⇒
223   let ih1 ≝ get_labels_of_code … i1 in
224   match r_lb with [ None ⇒ ih1 | Some lbl ⇒ a_return_post lbl :: ih1]
225| IO lin io lout i1 ⇒
226   let ih1 ≝ get_labels_of_code … i1 in
227   a_non_functional_label lin :: a_non_functional_label lout :: ih1
228].
229
230include "basics/lists/listb.ma".
231include "../src/utilities/hide.ma".
232
233let rec no_duplicates (A : DeqSet) (l : list A) on l : Prop ≝
234match l with
235[ nil ⇒ True
236| cons x xs ⇒ ¬ (bool_to_Prop (x ∈ xs)) ∧ no_duplicates … xs
237].
238
239lemma no_duplicates_append_r : ∀A : DeqSet.∀l1,l2 : list A.no_duplicates … (l1 @ l2) →
240no_duplicates … l2.
241#A #l1 elim l1 // #x #xs normalize #IH #l2 * /2/
242qed.
243
244lemma no_duplicates_append_l : ∀A : DeqSet.∀l1,l2 : list A.no_duplicates … (l1 @ l2) →
245no_duplicates … l1.
246#A #l1 elim l1 // #x #xs normalize #IH #l2 * #H1 #H2 % [2: /2/ ]
247inversion(x ∈ xs @l2) in H1; normalize [ #_ * #H @⊥ @H %] #H1 #_
248% inversion(x ∈ xs) normalize [2: //] #H3 #_ >(memb_append_l1 … H3) in H1;
249#EQ destruct(EQ)
250qed.
251   
252record Program (p : env_params) (p' : instr_params) : Type[0] ≝
253{ env : list (env_item p p')
254; main : Instructions p'
255}.
256
257
258definition no_duplicates_labels : ∀p,p'.Program p p' → Prop ≝
259λp,p',prog.
260   no_duplicates …
261    (foldr … (λitem,acc.((a_call (f_lab … item)) :: get_labels_of_code … (f_body … item)) @ acc) (get_labels_of_code … (main … prog)) (env … prog)).
262
263lemma no_duplicates_domain_of_fun:
264 ∀p,p',prog.no_duplicates_labels … prog →
265 ∀f,env_it.lookup p p' (env … prog) f = return env_it →
266 no_duplicates … (get_labels_of_code … (f_body … env_it)).
267#p #p' * #env elim env [ #main normalize #_ #f #env_it #EQ destruct(EQ)]
268#x #xs #IH #main whd in ⊢ (% → ?); whd in match (foldr ?????); #H #f #env_it
269whd in ⊢ (??%? → ?); @eq_function_name_elim normalize nodelta
270[ whd in ⊢ (? → ???% → ?); #EQ1 #EQ2 destruct(EQ1 EQ2) cases H #_ /2/ ]
271#H1 #EQenv_it @IH cases H /2/
272qed.
273
274
275definition is_synt_succ : ∀p.relation (state p) ≝ λp,s1,s2.cont … s1 = cont … s2 ∧
276 match (code … s1) with
277 [ CALL f act_p r_lb i1 ⇒ code … s2 = i1
278 | _ ⇒ False
279 ].
280
281definition operational_semantics : ∀p : state_params.∀p'.Program p p → abstract_status ≝
282λp,p',prog.mk_abstract_status
283                (state p)
284                (execute_l ? p' (env … prog))
285                (is_synt_succ …)
286                (λs.match (code … s) with
287                    [ COND _ _ _ _ _ _ ⇒ cl_jump
288                    | LOOP _ _ _ _ _ ⇒ cl_jump
289                    | EMPTY ⇒ if io_info … s then cl_io else cl_other
290                    | _ ⇒ cl_other
291                    ])
292                (λs.match (code … s) with
293                    [CALL _ _ m _ ⇒ match m with [ Some _ ⇒ true | None ⇒ false ]
294                    | _ ⇒ false
295                    ])
296                (λs.eq_instructions … (code … s) (main … prog) ∧ isnilb … (cont … s) ∧ store … s == init_store … p' ∧ io_info … s)
297                (λs.match (cont … s) with
298                    [ nil ⇒ match (code … s) with
299                            [ EMPTY ⇒ true
300                            | RETURN _ ⇒ true
301                            | _ ⇒ false
302                            ]
303                    | _ ⇒ false
304                    ])
305                ???.
306@hide_prf
307[ #s1 #s2 #l #H #H1 inversion H1 #st #st'
308 [ #hd #tl
309 | #i #cd #s #opt_l
310 |3,4: #exp #ltrue #i_true #lfalse #i_false #cd #new_m
311 |5,6: #exp #ltrue #i_true #lfalse #ifalse #new_m
312 | #lin #io #lout #cd #mem
313 | #f #act_p #r_lb #cd #mem #env_it
314 | #r_t #mem #tl #rb #cd
315 ]
316 #EQcode
317 [ #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #x #EQ5 #H2 #EQ' #EQ6 #EQ7
318 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9
319 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9
320 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9
321 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9
322 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9
323 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8
324 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9 #EQ10
325 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9 #EQ10
326 ]
327 #_ destruct >EQcode in H; normalize nodelta /2 by ex_intro/
328 [ cases(io_info ??) normalize nodelta] #EQ destruct
329| #s1 #s2 #l #H #H1 inversion H1 #st #st'
330 [ #hd #tl
331 | #i #cd #s #opt_l
332 |3,4: #exp #ltrue #i_true #lfalse #i_false #cd #new_m
333 |5,6: #exp #ltrue #i_true #lfalse #ifalse #new_m
334 | #lin #io #lout #cd #mem
335 | #f #act_p #r_lb #cd #mem #env_it
336 | #r_t #mem #tl #rb #cd
337 ]
338 #EQcode
339 [ #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #x #EQiost' #H2 #EQ' #EQ6 #EQ7
340 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
341 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
342 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
343 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
344 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
345 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQiost' #EQ6 #EQ7 #EQ8
346 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQiost' #EQ8 #EQ9 #EQ10
347 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQiost' #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9 #EQ10
348 ]
349 #_ destruct
350 cases(code ? st') in H; normalize nodelta >EQiost' normalize nodelta
351 #eq destruct try (#eq1 destruct) try (#eq2 destruct) try (#eq3 destruct)
352 try (#eq4 destruct) try (#eq5 destruct) try (#eq6 destruct) %{lin} %
353| #s1 #s2 #l #H #H1 inversion H1 #st #st'
354 [ #hd #tl
355 | #i #cd #s #opt_l
356 |3,4: #exp #ltrue #i_true #lfalse #i_false #cd #new_m
357 |5,6: #exp #ltrue #i_true #lfalse #ifalse #new_m
358 | #lin #io #lout #cd #mem
359 | #f #act_p #r_lb #cd #mem #env_it
360 | #r_t #mem #tl #rb #cd
361 ]
362 #EQcode
363 [ #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #x #EQiost' #H2 #EQ' #EQ6 #EQ7
364 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQiost #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
365 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQiost #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
366 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQiost #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
367 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQiost #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
368 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQiost #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
369 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQiost #EQiost' #EQ6 #EQ7 #EQ8
370 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQiost #EQiost' #EQ8 #EQ9 #EQ10
371 | #EQ1 #EQ2 #EQiost #EQiost' #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9 #EQ10
372 ]
373 #_ destruct >EQcode in H; normalize nodelta [|*: #EQ destruct]
374 cases(io_info … st) in x; normalize nodelta [2: #_ #EQ destruct]
375 #H3 #_ @H3 %
376]
377qed.
378
379let rec eqb_list (D : DeqSet) (l1 : list D) on l1 : list D → bool ≝
380match l1 with
381[ nil ⇒ λl2.match l2 with [nil ⇒ true | _ ⇒ false ]
382| cons x xs ⇒ λl2.match l2 with [ cons y ys ⇒ x == y ∧ eqb_list … xs ys | _ ⇒ false ]
383].
384
385definition DeqSet_List : DeqSet → DeqSet ≝
386λX.mk_DeqSet (list X) (eqb_list …) ?.
387#x elim x [ * /2 by refl, conj/ #y #ys normalize % #EQ destruct] -x
388#x #xs #IH * [ normalize % #EQ destruct] #y #ys normalize % inversion(x == y)
389#EQ normalize nodelta
390[ #H >(proj1 … (IH ys) H) @eq_f2 [2: %] @(proj1 … (eqb_true …)) assumption
391| #EQ destruct
392| #EQ1 destruct @(proj2 … (IH …)) %
393| #EQ1 destruct <EQ @(proj2 … (eqb_true …)) %
394]
395qed.
396
397unification hint  0 ≔ C;
398    X ≟ DeqSet_List C
399(* ---------------------------------------- *) ⊢
400    list C ≡ carr X.
401
402
403unification hint  0 ≔ D,p1,p2;
404    X ≟ DeqSet_List D
405(* ---------------------------------------- *) ⊢
406    eqb_list D p1 p2 ≡ eqb X p1 p2.
407
408definition associative_list : DeqSet → Type[0] → Type[0] ≝
409λA,B.list (A × (list B)).
410
411let rec update_list (A : DeqSet) (B : Type[0]) (l : associative_list A B)
412   on l : A → list B → associative_list A B ≝
413λa,b.match l with
414    [ nil ⇒ [〈a,b〉]
415    | cons x xs ⇒ if (a == (\fst x)) then 〈a,b〉 :: xs
416                  else x :: (update_list … xs a b) 
417    ].
418
419let rec get_element (A :DeqSet) (B : Type[0]) (l: associative_list A B) on l : A → list B ≝
420λa.match l with [ nil ⇒ nil ?
421                | cons x xs ⇒ if (a == \fst x) then \snd x else get_element … xs a
422                ].
423
424let rec domain_of_associative_list (A :DeqSet) (B : Type[0]) (l: associative_list A B) on l : list A ≝
425 match l with
426  [ nil ⇒ []
427  | cons x xs ⇒ \fst x :: domain_of_associative_list … xs
428  ].
429
430lemma get_element_append_l:
431 ∀A,B. ∀l1,l2: associative_list A B. ∀x.
432  x ∈ domain_of_associative_list … l1 →
433   get_element … (l1@l2) x = get_element … l1 x.
434#A #B #l1 elim l1 normalize [ #l2 #x * ] #hd #tl #IH #l2 #x cases (dec_eq … x (\fst hd))
435#H [ >(\b H) | >(\bf H) ] normalize /2/
436qed.
437
438lemma get_element_append_r:
439 ∀A,B. ∀l1,l2: associative_list A B. ∀x.
440  ¬ (bool_to_Prop (x ∈ domain_of_associative_list … l1)) →
441   get_element ?? (l1@l2) x = get_element … l2 x.
442#A #B #l1 elim l1 normalize [ #l2 #x // ] #hd #tl #IH #l2 #x cases (dec_eq … x (\fst hd))
443#H [ >(\b H) | >(\bf H) ] normalize /2 by/ * #K cases (K I)
444qed.
445
446lemma get_element_append_l1 :
447 ∀A,B. ∀l1,l2: associative_list A B. ∀x.
448  ¬ (bool_to_Prop (x ∈ domain_of_associative_list … l2)) →
449   get_element ?? (l1@l2) x = get_element … l1 x.
450#A #B #l1 elim l1 normalize [2: #x #xs #IH #l2 #a #H >IH // ]
451#l2 elim l2 // #y #ys #IH #a normalize cases(a == \fst y) normalize
452[ * #H @⊥ @H % ] #H @IH assumption
453qed.
454
455lemma get_element_append_r1 :
456 ∀A,B. ∀l1,l2: associative_list A B. ∀x.
457  ¬ (bool_to_Prop (x ∈ domain_of_associative_list … l1)) →
458   get_element ?? (l1@l2) x = get_element … l2 x.
459#A #B #l1 elim l1 normalize // #x #xs #IH #l2 #a cases (?==?)
460normalize [* #H cases H //] #H >IH normalize //
461qed.
462
463definition fresh_nf_label : ℕ → NonFunctionalLabel × ℕ ≝
464λx.〈a_non_functional_label x,S x〉.
465
466definition fresh_cc_labe : ℕ → CallCostLabel × ℕ ≝
467λx.〈a_call_label x,S x〉.
468
469definition fresh_rc_label : ℕ → ReturnPostCostLabel × ℕ ≝
470λx.〈a_return_cost_label (S x),S x〉.
471
472record call_post_info (p : instr_params) : Type[0] ≝
473{ gen_labels : list CostLabel
474; t_code : Instructions p
475; fresh : ℕ
476; lab_map : associative_list DEQCostLabel CostLabel
477; lab_to_keep : list ReturnPostCostLabel
478}.
479
480let rec call_post_trans (p : instr_params) (i : Instructions p) (n : ℕ) on i :
481list CostLabel → call_post_info p ≝
482λabs.
483match i with
484[ EMPTY ⇒ mk_call_post_info ? abs (EMPTY …) n (nil ?) (nil ?)
485| RETURN x ⇒ mk_call_post_info ? abs (RETURN … x) n (nil ?) (nil ?)
486| SEQ x lab instr ⇒
487   let ih ≝ call_post_trans … instr n abs in
488   match lab with
489   [ None ⇒ mk_call_post_info ? (gen_labels … ih) (SEQ … x (None ?) (t_code … ih))
490             (fresh … ih) (lab_map … ih) (lab_to_keep … ih)
491   | Some lbl ⇒
492      mk_call_post_info ? (nil ?) (SEQ … x (Some ? lbl) (t_code …  ih)) (fresh … ih)
493      (〈a_non_functional_label lbl,(a_non_functional_label lbl :: (gen_labels … ih))〉 :: (lab_map … ih))
494      (lab_to_keep … ih)
495   ]
496| COND x ltrue i1 lfalse i2 i3 ⇒
497   let ih3 ≝ call_post_trans … i3 n abs in
498   let ih2 ≝ call_post_trans … i2 (fresh … ih3) (gen_labels … ih3) in
499   let ih1 ≝ call_post_trans … i1 (fresh … ih2) (gen_labels … ih3) in
500   mk_call_post_info ? (nil ?) (COND … x ltrue (t_code … ih1) lfalse (t_code … ih2) (t_code … ih3))
501    (fresh … ih1) 
502    (〈a_non_functional_label ltrue,(a_non_functional_label ltrue :: (gen_labels … ih1))〉::
503      〈a_non_functional_label lfalse,(a_non_functional_label lfalse :: (gen_labels … ih2))〉::
504       ((lab_map … ih1) @ (lab_map …  ih2) @ (lab_map … ih3)))
505    ((lab_to_keep … ih1) @ (lab_to_keep … ih2) @ (lab_to_keep … ih3))
506| LOOP x ltrue i1 lfalse i2 ⇒
507   let ih2 ≝ call_post_trans … i2 n abs in
508   let ih1 ≝ call_post_trans … i1 (fresh … ih2) (nil ?) in
509   mk_call_post_info ? (nil ?) (LOOP … x ltrue (t_code … ih1) lfalse (t_code … ih2)) (fresh … ih1)
510    (〈a_non_functional_label lfalse,(a_non_functional_label lfalse :: (gen_labels … ih2))〉 ::
511     〈a_non_functional_label ltrue,(a_non_functional_label ltrue :: (gen_labels … ih1))〉 ::
512      ((lab_map … ih1) @ (lab_map … ih2)))
513    ((lab_to_keep … ih1) @ (lab_to_keep … ih2))
514| CALL f act_p r_lb i1 ⇒
515   let ih ≝ call_post_trans … i1 n abs in
516   match r_lb with
517   [ None ⇒ let 〈l',f''〉 ≝ fresh_rc_label (fresh … ih) in
518       mk_call_post_info ? ((a_return_post l')::(gen_labels … ih))
519         (CALL … f act_p (Some ? l') (t_code … ih))  f'' (lab_map … ih) (lab_to_keep … ih)
520   | Some lbl ⇒
521      mk_call_post_info ? (nil ?) (CALL ? f act_p (Some ? lbl) (t_code … ih)) (fresh … ih)
522       (〈a_return_post lbl,(a_return_post lbl :: (gen_labels … ih))〉 :: (lab_map … ih))
523       (lbl :: lab_to_keep … ih)
524   ]
525| IO lin io lout i1 ⇒
526    let ih ≝ call_post_trans … i1 n abs in
527    mk_call_post_info ? (nil ?) (IO ? lin io lout (t_code … ih)) (fresh … ih)
528     (〈a_non_functional_label lout,(a_non_functional_label lout :: (gen_labels … ih))〉 ::
529      〈a_non_functional_label lin,[a_non_functional_label lin]〉 :: (lab_map … ih)) (lab_to_keep … ih)
530].
531
532
533let rec call_post_clean (p : instr_params) (i : Instructions p) on i :
534associative_list DEQCostLabel CostLabel → list ReturnPostCostLabel → list CostLabel →
535option ((list CostLabel) × (Instructions p)) ≝
536λm,keep,abs.
537 match i with
538[ EMPTY ⇒ Some ? 〈abs,EMPTY …〉
539| RETURN x ⇒ Some ? 〈abs,RETURN … x〉
540| SEQ x lab instr ⇒
541   ! 〈l,i1〉 ← call_post_clean … instr m keep abs;
542   match lab with
543   [ None ⇒ return 〈l,SEQ … x (None ?) i1〉
544   | Some lbl ⇒ if ((get_element … m lbl) == lbl :: l)
545                then return 〈nil ?,SEQ … x (Some ? lbl) i1〉
546                else None ?
547   ]
548| COND x ltrue i1 lfalse i2 i3 ⇒
549    ! 〈l3,instr3〉 ← call_post_clean … i3 m keep abs;
550    ! 〈l2,instr2〉 ← call_post_clean … i2 m keep l3;
551    ! 〈l1,instr1〉 ← call_post_clean … i1 m keep l3;
552    if ((get_element … m ltrue) == ltrue :: l1) ∧
553       ((get_element … m lfalse) == lfalse :: l2)
554    then return 〈nil ?,COND … x ltrue instr1 lfalse instr2 instr3〉
555    else None ?
556| LOOP x ltrue i1 lfalse i2 ⇒
557   ! 〈l2,instr2〉 ← call_post_clean … i2 m keep abs;
558   ! 〈l1,instr1〉 ← call_post_clean … i1 m keep (nil ?);
559   if ((get_element … m ltrue) == ltrue :: l1) ∧
560      ((get_element … m lfalse) == lfalse :: l2)
561   then return 〈nil ?,LOOP … x ltrue instr1 lfalse instr2〉
562   else None ?
563| CALL f act_p r_lb i1 ⇒
564  ! 〈l1,instr1〉 ← call_post_clean … i1 m keep abs;
565  match r_lb with
566  [ None ⇒ None ?
567  | Some lbl ⇒ if (lbl ∈ keep)
568               then if ((get_element … m lbl) == lbl :: l1)
569                    then return 〈nil ?,CALL … f act_p (Some ? lbl) instr1〉
570                    else None ?
571               else return 〈(a_return_post lbl) :: l1,CALL … f act_p (None ?) instr1〉
572  ]
573| IO lin io lout i1 ⇒
574   ! 〈l1,instr1〉 ← call_post_clean … i1 m keep abs;
575   if ((get_element … m lout) == lout :: l1) ∧ ((get_element … m lin) == [lin])
576   then return 〈nil ?,IO … lin io lout instr1〉
577   else None ?   
578].
579
580let rec foldr2 (A : Type[0]) (B : Type[0]) (C : Type[0]) (a : A) (l1 : list B)
581(l2 : list C) (f : A → B → C → A) on l1 : option A≝
582match l1 with
583[ nil ⇒ match l2 with [ nil ⇒ return a | cons y ys ⇒ None ? ]
584| cons x xs ⇒
585        match l2 with
586        [ nil ⇒ None ?
587        | cons y ys ⇒ ! ih ← (foldr2 … a xs ys f);
588                      return f ih x y
589        ]
590].
591
592definition is_silent_cost_act_b : ActionLabel → bool ≝
593λact. match act with
594 [ cost_act x ⇒ match x with [None ⇒ true | _ ⇒ false ] | _ ⇒ false].
595
596definition eq_ActionLabel : ActionLabel → ActionLabel → bool ≝
597λc1,c2.
598match c1 with
599[ call_act f l ⇒ match c2 with [ call_act f' l' ⇒ f == f' ∧ l == l' | _ ⇒ false]
600| ret_act x ⇒ match c2 with [ret_act y ⇒ match x with [ None ⇒ match y with [ None ⇒ true | _ ⇒ false]
601                                                      | Some l ⇒ match y with [ Some l' ⇒ l == l' | _ ⇒ false]
602                                                      ]
603                            | _ ⇒ false
604                            ]
605| cost_act x ⇒ match c2 with [cost_act y ⇒ match x with [ None ⇒ match y with [ None ⇒ true | _ ⇒ false]
606                                                        | Some l ⇒ match y with [ Some l' ⇒ l == l' | _ ⇒ false]
607                                                        ]
608                             | _ ⇒ false
609                             ]
610].
611
612definition ret_costed_abs : list ReturnPostCostLabel → option ReturnPostCostLabel → option CostLabel ≝
613λkeep,x.
614 match x with
615              [ Some lbl ⇒ if lbl ∈ keep then return (a_return_post lbl)
616                           else None ?
617              | None ⇒ None ?
618              ].
619
620
621definition check_continuations : ∀p : instr_params.
622∀l1,l2 : list (ActionLabel × (Instructions p)).
623associative_list DEQCostLabel CostLabel →
624list ReturnPostCostLabel →  option (Prop × (list CostLabel) × (list CostLabel)) ≝
625λp,cont1,cont2,m,keep.
626foldr2 ??? 〈True,nil ?,nil ?〉 cont1 cont2
627 (λx,y,z.
628   let 〈cond,abs_top',abs_tail'〉 ≝ x in
629   match call_post_clean p (\snd z) m keep abs_top' with
630   [ None ⇒ 〈False,nil ?,nil ?〉
631   | Some w ⇒
632      match \fst z with
633       [ ret_act opt_x ⇒
634           match ret_costed_abs keep opt_x with
635           [ Some lbl ⇒ 〈\fst y = \fst z ∧ cond ∧ \snd w = \snd y ∧
636                               get_element … m lbl = lbl :: (\fst w),(nil ?),abs_tail'〉
637           | None ⇒
638              〈\fst y = ret_act (None ?) ∧ cond ∧ \snd w = \snd y,(nil ?),(\fst w) @ abs_tail'〉
639           ]
640       | cost_act opt_x ⇒
641           match opt_x with
642           [ None ⇒ 〈\fst y = \fst z ∧ cond ∧ \snd w = \snd y,\fst w,abs_tail'〉
643           | Some xx ⇒ 〈\fst y = \fst z ∧ cond ∧ \snd w = \snd y ∧
644                               get_element … m xx = xx :: (\fst w),(nil ?),abs_tail'〉]
645       | _ ⇒ (* dummy *) 〈False,nil ?,nil ?〉]]).
646
647(*
648definition check_continuations : ∀p : instr_params.
649∀l1,l2 : list (ActionLabel × (Instructions p)).
650associative_list DEQCostLabel CostLabel → list CostLabel → list CostLabel →
651list (list CostLabel) →  option (Prop × (list CostLabel) × (list (list CostLabel))) ≝
652λp,cont1,cont2,m,keep,abs_top,abs_tail.
653foldr2 ??? 〈True,abs_top,abs_tail〉 cont1 cont2
654 (λx,y,z.
655   let 〈cond,abs_top',abs_tail'〉 ≝ x in
656   match call_post_clean p (\snd z) m keep abs_top' with
657   [ None ⇒ 〈False,nil ?,nil ?〉
658   | Some w ⇒
659      match \fst z with
660       [ ret_act opt_x ⇒
661           match ret_costed_abs keep opt_x with
662           [ Some lbl ⇒ 〈\fst y = \fst z ∧ cond ∧ \snd w = \snd y ∧
663                               get_element … m lbl = lbl :: (\fst w),(nil ?),(nil ?) :: abs_tail'〉
664           | None ⇒
665              〈\fst y = ret_act (None ?) ∧ cond ∧ \snd w = \snd y,(nil ?),(\fst w) :: abs_tail'〉
666           ]
667       | cost_act opt_x ⇒
668           match opt_x with
669           [ None ⇒ 〈\fst y = \fst z ∧ cond ∧ \snd w = \snd y,\fst w,abs_tail'〉
670           | Some xx ⇒ 〈\fst y = \fst z ∧ cond ∧ \snd w = \snd y ∧
671                               get_element … m xx = xx :: (\fst w),(nil ?),abs_tail'〉]
672       | _ ⇒ (* dummy *) 〈False,nil ?,nil ?〉]]). *)
673(* in input :
674     abs_top is the list of labels to be propageted to the deepest level of the call stack
675     abs_tail are the lists of labels to be propagated to the levels "below" the deepest level
676   in output :
677     abs_top is the list of labels to be propageted from the current level of the call stack
678     abs_tail are the lists of labels to be propagated from the levels "below" the current level
679  *)       
680       
681
682definition state_rel : ∀p.
683associative_list DEQCostLabel CostLabel → list ReturnPostCostLabel → list CostLabel →(list CostLabel) →
684relation (state p) ≝ λp,m,keep,abs_top,abs_tail,st1,st2.
685match check_continuations ? (cont ? st1) (cont … st2) m keep with
686[ Some x ⇒ let 〈prf1,abs_top',abs_tail'〉 ≝ x in
687           prf1 ∧ call_post_clean … (code … st2) m keep abs_top' = return 〈abs_top,(code … st1)〉
688           ∧ store … st1 = store … st2 ∧ io_info … st1 = io_info … st2 ∧ abs_tail = abs_tail'
689| None ⇒ False
690].
691
692include "Simulation.ma".
693
694let rec len (s : abstract_status) (st1 : s) (st2 : s) (t : raw_trace s st1 st2)
695on t : ℕ ≝
696match t with
697[ t_base s ⇒ O
698| t_ind s1 s2 s3 l prf lt ⇒ S (len … lt)
699].
700(*
701lemma associative_max : ∀n1,n2,n3.max (max n1 n2) n3 = max n1 (max n2 n3).
702#n1 #n2 #n3 normalize @leb_elim normalize
703[ @leb_elim normalize
704  [ #H1 #H2 @leb_elim normalize
705    [ @leb_elim normalize // * #H @⊥ @H assumption 
706    | @leb_elim normalize
707      [ #H3 * #H @⊥ @H @(transitive_le … H1) assumption
708      | * #H @⊥ @H assumption
709      ]
710    ]
711  | #H1 #H2 @leb_elim normalize
712    [ @leb_elim normalize // #_ #H cases H1 #H1 @⊥ @H1 assumption
713    | @leb_elim normalize
714      [ #_ * #H @⊥ @H assumption
715      | * #H @⊥ @H @(transitive_le … H2)
716*)
717let rec compute_max_n (p : instr_params) (i : Instructions p) on i : ℕ ≝
718match i with
719[ EMPTY ⇒ O
720| RETURN x ⇒ O
721| SEQ x lab instr ⇒ let n ≝ compute_max_n … instr in
722                    match lab with
723                    [ None ⇒ n
724                    | Some l ⇒
725                        match l with
726                        [ a_non_functional_label n' ⇒ S (max n n') ]
727                    ]
728| COND x ltrue i1 lfalse i2 i3 ⇒
729  let n1 ≝ compute_max_n … i1 in
730  let n2 ≝ compute_max_n … i2 in
731  let n3 ≝ compute_max_n … i3 in
732  let mx ≝ max (max n1 n2) n3 in
733  match ltrue with
734  [ a_non_functional_label lt ⇒
735    match lfalse with
736    [a_non_functional_label lf ⇒ S (max (max mx lt) lf) ] ]
737| LOOP x ltrue i1 lfalse i2 ⇒
738   let n1 ≝ compute_max_n … i1 in
739   let n2 ≝ compute_max_n … i2 in
740   let mx ≝ max n1 n2 in
741   match ltrue with
742  [ a_non_functional_label lt ⇒
743    match lfalse with
744    [a_non_functional_label lf ⇒ S (max (max mx lt) lf) ] ]
745| CALL f act_p r_lb i1 ⇒
746   let n ≝ compute_max_n … i1 in
747   match r_lb with
748   [ None ⇒ n
749   | Some lbl ⇒ match lbl with [a_return_cost_label l ⇒ S(max l n) ]
750   ]
751| IO lin io lout i1 ⇒
752  let n ≝ compute_max_n … i1 in
753  match lin with
754  [a_non_functional_label l1 ⇒
755    match lout with
756    [a_non_functional_label l2 ⇒ S(max (max n l1) l2) ] ]
757].
758
759
760definition same_fresh_map_on : list CostLabel →
761relation (associative_list DEQCostLabel CostLabel) ≝
762λdom,m1,m2.∀x.bool_to_Prop (x ∈ dom) → get_element … m1 x = get_element … m2 x.
763
764definition same_to_keep_on : list CostLabel → relation (list ReturnPostCostLabel) ≝
765λdom,keep1,keep2.∀x. bool_to_Prop (a_return_post x ∈ dom) → (x ∈ keep1) = (x ∈ keep2).
766
767lemma memb_not_append : ∀D : DeqSet.∀l1,l2 : list D.∀x : D.
768x ∈ l1 = false → x ∈ l2 = false → x ∈ (l1 @ l2) = false.
769#D #l1 elim l1
770[ #l2 #x #_ #H @H ]
771#x #xs #IH #l2 #x1 whd in match (memb ???); inversion (x1 == x) normalize nodelta
772[ #_ #EQ destruct] #EQx1 #EQxs #EQl2 whd in match (memb ???); >EQx1
773normalize nodelta @IH //
774qed.
775
776lemma memb_no_duplicates_append : ∀A : DeqSet.∀x.∀l1,l2 : list A .
777no_duplicates … (l1 @ l2) → x ∈  l1 → x ∈ l2 → False.
778#A #x #l1 elim l1 // #x1 #xs #IH #l2 * #H1 #H2 whd in match (memb ???);
779inversion (x == x1) normalize nodelta
780[ #H3 #_ #H4 >memb_append_l2 in H1; [2: <(\P H3) @H4 ] * #H @H %
781| #_ @IH //
782]
783qed.
784
785
786lemma same_to_keep_on_append : ∀dom1,dom2,dom3 : list CostLabel.
787∀l1,l2,l3,l : list ReturnPostCostLabel.
788no_duplicates … (dom1@dom2@dom3) → (∀x.x ∈ l1 → a_return_post x ∈ dom1) →
789(∀x.x ∈ l3 → a_return_post x ∈ dom3) →
790same_to_keep_on (dom1@dom2@dom3) (l1@l2@l3) l →
791same_to_keep_on dom2 l2 l.
792#dom1 #dom2 #dom3 #l1 #l2 #l3 #l #no_dup #sub_set1 #sub_set3 #H2
793#x #Hx inversion (x ∈ l2)
794 [ #EQkeep <H2 [> memb_append_l2 // >memb_append_l1 // ]
795   >memb_append_l2 // >memb_append_l1 // >Hx //
796 | #EQno_keep <H2
797   [2: >memb_append_l2 // >memb_append_l1 // >Hx //
798   | @sym_eq @memb_not_append [2: @memb_not_append //]
799   [ <associative_append in no_dup; #no_dup ]
800   lapply(memb_no_duplicates_append … (a_return_post x) … no_dup) #H
801   inversion(memb ???) // #H1 cases H
802   [1,4: [>memb_append_l2 | >memb_append_l1] // >Hx //
803   | @sub_set3 >H1 //
804   | @sub_set1 >H1 //
805   ]
806   ]
807 ]
808qed.
809
810lemma same_fresh_map_on_append : ∀dom1,dom2,dom3,l1,l2,l3,l.
811no_duplicates … (dom1 @dom2 @ dom3) → (∀x.x ∈ domain_of_associative_list … l1 → x ∈ dom1) →
812(∀x.x ∈ domain_of_associative_list … l3 → x ∈ dom3) →
813same_fresh_map_on … (dom1 @dom2 @dom3) (l1 @l2 @ l3) l →
814same_fresh_map_on … dom2 l2 l.
815#dom1 #dom2 #dom3 #l1 #l2 #l3 #l #no_dup #subset1 #subset3 whd in ⊢ (% → ?); #H1
816whd #x #Hx <H1
817[2: >memb_append_l2 // >memb_append_l1 // >Hx //]
818>get_element_append_r [ >get_element_append_l1 // ] % #K
819[ lapply(subset3 … K) | lapply(subset1 … K) ] #ABS
820[ <associative_append in no_dup; #no_dup] @(memb_no_duplicates_append … x … no_dup)
821// [>memb_append_l2 | >memb_append_l1 ] // >Hx //
822qed.
823
824
825lemma lab_to_keep_in_domain : ∀p.∀i : Instructions p.
826∀x,n,l.
827x ∈ lab_to_keep … (call_post_trans … i n l) → a_return_post x ∈ get_labels_of_code …  i.
828#p #i elim i //
829[ #seq #opt_l #instr #IH #x #n #l whd in match (call_post_trans ????);
830  cases opt_l -opt_l normalize nodelta [|#lbl]
831  whd in match (get_labels_of_code ??); #H [2: @orb_Prop_r] /2/
832| #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #IH1 #IH2 #IH3 #x #n #l
833  whd in match (call_post_trans ????); whd in match (get_labels_of_code ??);
834  #H cases(memb_append … H) -H #H @orb_Prop_r @orb_Prop_r
835  [ >memb_append_l1 // @IH1 [3: >H // |*: ]
836  | >memb_append_l2 // cases(memb_append … H) -H #H
837     [>memb_append_l1 // @IH2 [3: >H // |*: ]
838     | >memb_append_l2 // @IH3 [3: >H // |*: ]
839     ]
840  ]
841| #loop #ltrue #i1 #lfalse #i2 #IH1 #IH2 #x #n #l
842  whd in match (call_post_trans ????); whd in match (get_labels_of_code ??);
843  #H cases(memb_append … H) -H #H @orb_Prop_r @orb_Prop_r
844  [ >memb_append_l1 | >memb_append_l2 ] // [ @IH1 | @IH2 ] [3,6: >H |*: ] //
845| #f #act_p * [|#lbl] #i1 #IH #x #n #l whd in match (call_post_trans ????);
846  whd in match (get_labels_of_code ??); /2/ whd in match (memb ???);
847  inversion(x == lbl) #Hlbl normalize nodelta
848  [*  >(\P Hlbl) @orb_Prop_l @eq_costlabel_elim // * #H @H %
849  | #H @orb_Prop_r @IH //
850  ]
851| #lin #io #lout #i1 #IH #x #n #l whd in match (call_post_trans ????);
852  whd in match (get_labels_of_code ??); #H @orb_Prop_r @orb_Prop_r @IH //
853]
854qed.
855
856lemma domain_of_associative_list_append : ∀A,B.∀l1,l2 : associative_list A B.
857domain_of_associative_list ?? (l1 @ l2) =
858 (domain_of_associative_list ?? l1) @ (domain_of_associative_list ?? l2).
859#A #B #l1 elim l1 // #x #xs #IH #l2 normalize //
860qed.
861
862lemma lab_map_in_domain: ∀p.∀i: Instructions p.
863 ∀x,n,l.
864  x ∈ domain_of_associative_list … (lab_map p (call_post_trans … i n l)) →
865   x ∈ get_labels_of_code … i.
866#p #i elim i //
867[ #seq * [|#lbl] #i1 #IH #x #n #l whd in match(call_post_trans ????);
868  whd in match (get_labels_of_code ??); /2/ whd in match (memb ???);
869  inversion(x==lbl) #Hlbl normalize nodelta [#_ whd in match (memb ???); >Hlbl % ]
870  #H >memb_cons // @IH //
871| #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #IH1 #IH2 #IH3 #x #n #l
872  whd in match (call_post_trans ????); whd in match (memb ???);
873  whd in match (get_labels_of_code ??); inversion(x == ltrue) #Hlbl normalize nodelta
874  [ #_ whd in match (memb ???); >Hlbl % ] whd in match (memb ???);
875  inversion(x == lfalse) #Hlbl1 normalize nodelta
876  [ #_ whd in match (memb ???); >Hlbl normalize nodelta whd in match (memb ???);
877    >Hlbl1 % ] #H >memb_cons // >memb_cons // >domain_of_associative_list_append in H;
878    #H cases(memb_append … H) [ #H1 >memb_append_l1 // @IH1 [3: >H1 // |*:] ]
879    >domain_of_associative_list_append #H1 cases(memb_append … H1)
880    #H2 >memb_append_l2 // [ >memb_append_l1 | >memb_append_l2 ] //
881    [ @IH2 | @IH3] /2 by eq_true_to_b/
882| #loop #ltrue #i1 #lfalse #i2 #IH1 #IH2 #x #n #l whd in match (call_post_trans ????);
883  whd in match (get_labels_of_code ??); whd in match (memb ???); inversion(x == lfalse)
884  #Hlfalse normalize nodelta [ #_ >memb_cons // whd in match (memb ???); >Hlfalse // ]
885  whd in match (memb ???); inversion(x==ltrue) normalize nodelta #Hltrue
886  [ #_ whd in match (memb ???); >Hltrue %] >domain_of_associative_list_append #H
887  cases(memb_append … H) #H1 >memb_cons // >memb_cons // [ >memb_append_l1 | >memb_append_l2 ]
888  // [ @IH1 | @IH2] /2/
889| #f #act_p * [|#lbl] #i1 #IH #x #n #l whd in match (call_post_trans ????);
890  whd in match (get_labels_of_code ??); /2/ whd in match (memb ???); inversion (x == lbl)
891  #Hlbl normalize nodelta [ #_ whd in match (memb ???); >Hlbl % ] #H >memb_cons // @IH /2/
892| #lin #io #lout #i1 #IH #x #n #l whd in match (memb ???); inversion(x == lout) #Hlout
893  normalize nodelta [ #_ >memb_cons // whd in match (memb ???); >Hlout % ]
894  whd in match (memb ???); inversion(x==lin) #Hlin normalize nodelta
895  [ #_ whd in match (memb ???); >Hlin % ] #H >memb_cons // >memb_cons // @IH /2/
896]
897qed.
898
899lemma eq_a_non_functional_label :
900∀c1,c2.c1 == c2 → a_non_functional_label c1 == a_non_functional_label c2.
901#c1 #c2 #EQ cases(eqb_true DEQNonFunctionalLabel c1 c2) #H1 #_ lapply(H1 (eq_true_to_b … EQ)) -EQ
902#EQ destruct >(\b (refl …)) @I
903qed.
904
905let rec is_fresh_for_return (keep : list CostLabel) (n : ℕ) on keep : Prop ≝
906match keep with
907[ nil ⇒ True
908| cons x xs ⇒ let ih ≝ is_fresh_for_return xs n in
909              match x with
910              [ a_return_post y ⇒ match y with [a_return_cost_label m ⇒ m ≤ n ∧ ih ]
911              | _ ⇒ ih
912              ]
913].
914
915lemma fresh_ok_call_post_trans : ∀p : instr_params.∀i1 : Instructions p.∀n : ℕ.∀l.
916n ≤ fresh … (call_post_trans p i1 n l).
917#p #i1 elim i1 normalize /2 by transitive_le, le_n/
918[ #seq * [|#lbl] #i2 #IH #n #l normalize /2 by /
919| #cond #ltrue #i_true #lfalse #i_false #i2 #IH1 #IH2 #IH3 #n #l
920  @(transitive_le … (IH3 …)) [2: @(transitive_le … (IH2 …)) [2: @(transitive_le … (IH1 …)) ]] //
921| #f #act_p * [|#lbl] normalize #i2 #IH /2 by le_S/
922]
923qed.
924
925lemma fresh_keep_n_ok : ∀n,m,l.
926is_fresh_for_return l n → n ≤ m → is_fresh_for_return l m.
927#n #m #l lapply n -n lapply m -m elim l // *
928[1,2,3: * #x] #xs #IH #n #m
929normalize [2: * #H1] #H2 #H3 [ %] /2 by transitive_le/
930qed.
931
932definition cast_return_to_cost_labels ≝ map … (a_return_post …).
933coercion cast_return_to_cost_labels.
934
935lemma fresh_false : ∀n.∀l: list ReturnPostCostLabel.is_fresh_for_return l n →
936a_return_cost_label (S n) ∈ l = false.
937#n #l lapply n -n elim l // * #x #xs #IH #n whd in ⊢ (% → ??%?); * #H1
938#H2 @eq_return_cost_lab_elim
939[ #EQ destruct @⊥ /2 by absurd/
940| #_ >IH //
941]
942qed.
943
944lemma inverse_call_post_trans : ∀p : instr_params.∀i1 : Instructions p.∀n : ℕ.
945let dom ≝ get_labels_of_code … i1 in
946no_duplicates … dom →
947∀m,keep.
948∀info,l.call_post_trans p i1 n l = info →
949same_fresh_map_on dom (lab_map … info) m →
950same_to_keep_on dom (lab_to_keep … info) keep →
951is_fresh_for_return keep n →
952call_post_clean ? (t_code ? info) m keep l
953 = return 〈gen_labels … info,i1〉.
954#p #i1 elim i1
955[ #n #no_dup #m #keep * #gen_lab #t_code #fresh #lab_map #lab_keep #l whd in ⊢ (??%? → ?);
956  #EQ destruct(EQ) //
957| #x #n #no_dup #m #keep * #gen_lab #t_code #fresh #lab_map #lab_keep #l whd in ⊢ (??%? → ?);
958  #EQ destruct(EQ) //
959| #seq * [|#lbl] #instr #IH #n #no_dup #m #keep * #gen_lab #t_code #fresh #lab_map #lab_keep
960  #l whd in ⊢ (??%? → ?); #EQ destruct(EQ) #H1 #H2 #H3 whd in ⊢ (??%%); normalize nodelta
961  >IH //
962  [1,4: whd whd in H2; #x #Hx @H2 whd in match (get_labels_of_code ??); //
963  |2,5: whd whd in H1; #x #Hx [ @H1 // ] cases no_dup #H3 #_ <H1
964       [2: whd in match (get_labels_of_code ??); @orb_Prop_r // ]
965       whd in ⊢ (???%); cases(eqb_true … x lbl) inversion(x == lbl) normalize nodelta
966       [2: //] #_ #H4 >H4 in Hx; // #H5 >H5 in H3; * #ABS @⊥ @ABS %
967  |6: cases no_dup //
968  ]
969  normalize nodelta <(H1 lbl)
970  [2: whd in match (get_labels_of_code ??); @orb_Prop_l cases(eqb_true … (a_non_functional_label lbl) lbl)
971      #H3 #H4 >H4 % ]
972  whd in match (get_element ????); >(\b (refl …)) normalize nodelta
973  >(\b (refl …)) %
974| #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #IH1 #IH2 #IH3 #n normalize nodelta
975  #no_dup #m #keep * #gen_lab #t_code #fresh #lab_map #lab_keep #l whd in ⊢ (??%? → ?);
976  #EQ destruct(EQ) #H1 #H2 #H3 whd in ⊢ (??%?); >IH3 //
977  [2: whd  in match (get_labels_of_code ??) in H2;
978      change with ([?;?]@?) in match (?::?) in H2;
979      <associative_append in H2; <associative_append
980      <(append_nil … (?@?)) <associative_append in ⊢ (??%? → ?);
981      <(append_nil … (?@?)) in ⊢ (??%? → ?); >associative_append
982      >associative_append in ⊢ (??%? → ?); #H2
983      @(same_to_keep_on_append … H2) // [ >append_nil
984      whd in ⊢ (??%); whd in no_dup:(??%); >associative_append // ]
985      #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx @orb_Prop_r @orb_Prop_r
986      [ >memb_append_l1 | >memb_append_l2 ] //
987      @(lab_to_keep_in_domain … (eq_true_to_b … Hx))
988  |3: -H2 whd in match (get_labels_of_code ??) in H1;
989      change with ([?;?]@?) in match (?::?) in H1;
990      <associative_append in H1; <associative_append     
991      <(append_nil … (?@?)) >associative_append
992      change with ([?;?]@?) in match (?::?::?) in ⊢ (??%? → ?);
993      <associative_append in ⊢ (??%? → ?);
994      <associative_append in ⊢ (??%? → ?);
995      <(append_nil … (?@?)) in ⊢ (??%? → ?);
996      >associative_append in ⊢ (??%? → ?); #H1
997      @(same_fresh_map_on_append … H1) //
998      [ >append_nil >associative_append // ]
999      #x whd in match (memb ???); inversion(x == ltrue)
1000      [ #Hltrue normalize nodelta #_ whd in match (memb ???); >Hltrue %
1001      | #Hltrue normalize nodelta whd in match (memb ???); inversion(x == lfalse)
1002         [ #Hlfalse #_ @orb_Prop_r @orb_Prop_l >Hlfalse %
1003         | #Hlfalse normalize nodelta #Hx @orb_Prop_r @orb_Prop_r
1004           >domain_of_associative_list_append in Hx; #H
1005           cases(memb_append … H) #H2 [ >memb_append_l1 | >memb_append_l2 ]
1006           // @(lab_map_in_domain … (eq_true_to_b … H2))
1007         ]
1008      ]
1009  |4: cases no_dup #_ * #_ #H @no_duplicates_append_r [2: @(no_duplicates_append_r … H) |]
1010  ]
1011  normalize nodelta >IH2
1012  [5: %
1013  |2: /2 by fresh_keep_n_ok/
1014  |3: whd  in match (get_labels_of_code ??) in H2;
1015   change with ([?;?]@?) in match (?::?) in H2;
1016   <associative_append in H2; #H2
1017   @(same_to_keep_on_append … H2) // #x #Hx [ @orb_Prop_r @orb_Prop_r ]
1018   @(lab_to_keep_in_domain … (eq_true_to_b … Hx))
1019  |4: whd  in match (get_labels_of_code ??) in H1;
1020   change with ([?;?]@?) in match (?::?) in H1;
1021   change with ([?;?]@?) in match (?::?::?) in H1 : (??%?);
1022   <associative_append in H1; <associative_append in ⊢ (??%? → ?); #H1
1023   @(same_fresh_map_on_append … H1) // [2: /2 by lab_map_in_domain/ ]
1024   #x >domain_of_associative_list_append #H cases(memb_append … H)
1025   [ whd in ⊢ (??%? → ?%); cases(x == ltrue) // normalize nodelta
1026     whd in ⊢ (??%? → ?%); cases(x == lfalse) // normalize nodelta
1027     normalize #EQ destruct
1028   | #H1 @orb_Prop_r @orb_Prop_r
1029     @(lab_map_in_domain … (eq_true_to_b … H1))
1030   ]
1031  |6: cases no_dup #_ * #_ #K lapply (no_duplicates_append_r … K) @no_duplicates_append_l
1032  |*:
1033  ]
1034  >m_return_bind >IH1
1035  [5: %
1036  |2: /3 by fresh_keep_n_ok/
1037  |3:  whd  in match (get_labels_of_code ??) in H2;
1038   change with ([?;?]@?) in match (?::?) in H2;
1039   change with ([ ] @ ?) in match (lab_to_keep ??) in H2;
1040   >associative_append in H2 : (??%?); #H2
1041   @(same_to_keep_on_append … H2) //  #x #Hx cases(memb_append … Hx)
1042   -Hx #Hx [ >memb_append_l1 | >memb_append_l2] //
1043   @(lab_to_keep_in_domain … (eq_true_to_b … Hx))
1044  |4:  whd  in match (get_labels_of_code ??) in H1;
1045   change with ([?;?]@?) in match (?::?) in H1;
1046   change with ([?;?]@?) in match (?::?::?) in H1 : (??%?);
1047    @(same_fresh_map_on_append … H1) // #x >domain_of_associative_list_append
1048    #Hx cases(memb_append … Hx) -Hx #Hx [ >memb_append_l1 | >memb_append_l2 ]
1049    // @(lab_map_in_domain … (eq_true_to_b … Hx))
1050  |6: cases no_dup #_ * #_ @no_duplicates_append_l
1051  |*:
1052  ]
1053  >m_return_bind normalize nodelta whd in H1; <H1
1054  [2: whd in match (get_labels_of_code ??); whd in match (memb ???);
1055      >(\b (refl …)) % ] whd in match (get_element ????); >(\b (refl …))
1056      normalize nodelta >(\b (refl …)) <H1
1057      [2: whd in match (get_labels_of_code ??); >memb_cons //
1058      whd in match (memb ???); >(\b (refl …)) % ]
1059      whd in match (get_element ????); @eq_costlabel_elim normalize nodelta
1060      [ #ABS @⊥ cases no_dup >ABS * #H #_ @H @orb_Prop_l 
1061      >(\b (refl ? (a_non_functional_label ltrue))) % ] #_
1062      whd in match (get_element ????); >(\b (refl …)) normalize nodelta
1063      >(\b (refl …)) %
1064| #loop #ltrue #i1 #lfalse #i2 #IH1 #IH2 #n #no_dup #m #keep #info #l whd in ⊢ (??%? → ?);
1065  #EQ destruct(EQ) whd in match (get_labels_of_code ??); #fresh_map #keep_on #f_k
1066  whd in ⊢ (??%?); >(IH2 … (refl …))
1067  [ normalize nodelta >(IH1 … (refl …))
1068    [ >m_return_bind <fresh_map [2: @orb_Prop_l >(\b (refl …)) % ]
1069      whd in match (get_element ????);
1070      inversion(a_non_functional_label ltrue == a_non_functional_label lfalse)
1071      #Hltrue normalize nodelta
1072      [ cases no_dup whd in match (memb ???);
1073        cases(eqb_true … (a_non_functional_label ltrue) (a_non_functional_label lfalse))
1074        #H1 #_ lapply(H1 Hltrue) #EQ destruct(EQ) >(\b (refl …)) * #ABS @⊥ @ABS % ]
1075      whd in match (get_element ????); >(\b (refl …)) normalize nodelta >(\b (refl …))
1076      <fresh_map [2: @orb_Prop_r @orb_Prop_l >(\b (refl …)) % ]
1077      whd in match (get_element ????); >(\b (refl …)) normalize nodelta
1078      >(\b (refl …)) %
1079    | /2 by fresh_keep_n_ok/
1080    | change with ([?;?]@?@?) in keep_on : (?%??); change with ((nil ?) @ ? @ ?) in keep_on : (??%?);
1081      @(same_to_keep_on_append … keep_on) // #x /2 by lab_to_keep_in_domain/
1082    | change with ([?;?]@?@?) in fresh_map : (?%%?); @(same_fresh_map_on_append … fresh_map)
1083      /2 by lab_map_in_domain/ #x whd in match (memb ???); inversion(x==lfalse) #Hlfalse
1084      normalize nodelta
1085      [ #_ @orb_Prop_r whd in match (memb ???); >Hlfalse %
1086      | whd in match (memb ???); inversion(x==ltrue) #Hltrue normalize nodelta [2: *] #_
1087        @orb_Prop_l >Hltrue %
1088      ]
1089    | cases no_dup #_ * #_ /2/
1090    ]
1091  | //
1092  | change with ([?;?]@?@?) in keep_on : (?%??); <associative_append in keep_on;
1093    <(append_nil … (?@?)) <(append_nil … (?@?)) in ⊢ (??%? → ?);
1094    >associative_append in ⊢ (?%%? → ?); >associative_append in ⊢ (??%? → ?);
1095    #keep_on @(same_to_keep_on_append … keep_on) //
1096    [ >associative_append >append_nil //
1097    | #x #Hx @orb_Prop_r @orb_Prop_r /2 by lab_to_keep_in_domain/
1098    ]
1099  | change with ([?;?]@?@?) in fresh_map : (?%??); <associative_append in fresh_map;
1100    <(append_nil … (?@?)) change with ([?;?]@?@?) in ⊢ (??%? → ?);
1101    <associative_append in ⊢ (??%? → ?); <(append_nil … (?@?)) in ⊢ (??%? → ?);
1102    >associative_append in ⊢ (?%%? → ?); >associative_append in ⊢ (??%? → ?);
1103    #fresh_map @(same_fresh_map_on_append … fresh_map) //
1104    [ >append_nil //
1105    | #x >domain_of_associative_list_append #Hx cases(memb_append … Hx)
1106      [2: #Hx1 @orb_Prop_r @orb_Prop_r @(lab_map_in_domain … (eq_true_to_b … Hx1)) ]
1107      whd in match (memb ???); inversion(x == lfalse) normalize nodelta #Hlfalse
1108      [ #_ @orb_Prop_r @orb_Prop_l >Hlfalse %
1109      | whd in match (memb ???); inversion (x==ltrue) normalize nodelta #Hltrue
1110        [ #_ @orb_Prop_l >Hltrue %
1111        | whd in match (memb ???); #EQ destruct
1112        ]
1113      ]
1114    ]
1115  | cases no_dup #_ * #_ /2 by no_duplicates_append_r/
1116  ]
1117| #f #act_p * [|#r_lb] #i #IH #n #no_dup #m #keep #info #l whd in ⊢ (??%? → ?);
1118  #EQ destruct(EQ) #fresh_map #same_keep #f_k whd in ⊢ (??%?);
1119  >(IH … (refl …))
1120  [1,6: normalize nodelta
1121     [ >fresh_false [2: /2 by fresh_keep_n_ok/] %
1122     | <same_keep
1123       [ whd in match (memb ???); >(\b (refl …)) normalize nodelta
1124         <fresh_map
1125         [ whd in match (get_element ????); >(\b (refl …)) normalize nodelta
1126           >(\b (refl …)) %
1127         | whd in match (memb ???); >(\b (refl …)) %
1128         ]
1129       | whd in match (memb ???); >(\b (refl …)) %
1130       ]
1131    ]
1132  |2,7: //
1133  |3,8: whd in match (get_labels_of_code ??) in same_keep; // #x #Hx <same_keep
1134        [2: >memb_cons // >Hx // ] cases no_dup * #ABS #_ whd in ⊢ (???%);
1135        inversion(x==?) [2: #_ //] #ABS1 @⊥ @ABS <(\P ABS1) >Hx //
1136  |4,9: whd in match (get_labels_of_code ??) in fresh_map; // #x #Hx <fresh_map
1137        [2: >memb_cons // >Hx //] cases no_dup * #ABS #_ whd in ⊢ (???%);
1138        inversion(x==?) [2: #_ //] #ABS1 @⊥ @ABS <(\P ABS1) //
1139  |5,10: [ @no_dup | cases no_dup // ]
1140  ]
1141| #lin #io #lout #i #IH #n whd in match (get_labels_of_code ??); #no_dup
1142  #m #keep #info #l whd in ⊢ (??%? → ?); #EQ destruct(EQ) #fresh_map #same_keep
1143  #f_k whd in ⊢ (??%?); >(IH … (refl …))
1144  [ normalize nodelta <fresh_map [2: >memb_cons // >memb_hd // ]
1145    whd in match (get_element ????); >(\b (refl …)) normalize nodelta
1146    >(\b (refl …)) <fresh_map [2: >memb_hd //] whd in match (get_element ????);
1147    inversion(lin==lout)
1148    [ #ABS @⊥ cases no_dup * #ABS1 #_ @ABS1 whd in match (memb ???); >(\P ABS)
1149      >(\b (refl …)) //
1150    | #H inversion (a_non_functional_label lin== ? lout)
1151      [ #ABS lapply(\P ABS) #EQ destruct >(\b (refl …)) in H; #EQ destruct
1152      | #_ normalize nodelta whd in match (get_element ????); >(\b (refl …))
1153        normalize nodelta >(\b (refl …)) %
1154      ]
1155    ]
1156  | //
1157  | #x #Hx >same_keep [2: >memb_cons // >memb_cons // >Hx % ] %
1158  | #x #Hx <fresh_map [2: >memb_cons // >memb_cons // >Hx %]
1159    cases no_dup * #ABS1 ** #ABS2 #_ whd in ⊢ (???%); inversion(x == lout)
1160    normalize nodelta
1161    [2: #_ whd in ⊢ (???%); inversion(x==lin) normalize nodelta //
1162        #H @⊥ @ABS1 >memb_cons // <(\P H) >Hx //
1163    | #H @⊥ @ABS2 <(\P H) >Hx //
1164    ]
1165  | cases no_dup #_ * #_ //
1166  ]
1167]
1168qed.
1169
1170definition fresh_for_prog_aux : ∀p,p'.Program p p' → ℕ → ℕ ≝
1171λp,p',prog,n.foldl … (λn,i.max n (compute_max_n … (f_body … i))) n (env … prog).
1172
1173include alias "arithmetics/nat.ma".
1174
1175lemma max_1 : ∀n,m,k.k ≤ m → k ≤ max m n.
1176#m #n #k #H normalize @leb_elim // normalize nodelta #H1
1177/2 by transitive_le/
1178qed.
1179
1180lemma max_2 : ∀n,m,k.k≤ n → k ≤ max m n.
1181#m #n #k #H normalize @leb_elim // #H1 normalize nodelta
1182@(transitive_le … H) @(transitive_le … (not_le_to_lt … H1)) //
1183qed.
1184
1185lemma fresh_aux_ok : ∀p,p'.∀prog : Program p p'.∀n,m.n ≤ m →
1186fresh_for_prog_aux … prog n ≤ fresh_for_prog_aux … prog m.
1187#p #p' * #env #main elim env // #hd #tl #IH #n #m #H whd in ⊢ (?%%);
1188@IH whd in ⊢ (?%?); @leb_elim normalize nodelta
1189[ #H1 @max_2 // | #_ @max_1 // ]
1190qed.
1191
1192definition fresh_for_prog : ∀p,p'.Program p p' → ℕ ≝
1193λp,p',prog.fresh_for_prog_aux … prog
1194(compute_max_n … (main … prog)).
1195
1196definition translate_env ≝
1197λp,p'.λenv : list (env_item p p').λmax_all.(foldr ??
1198           (λi,x.let 〈t_env,n,m,keep〉 ≝ x in
1199           let info ≝ call_post_trans … (f_body … i) n (nil ?) in
1200                   〈(mk_env_item ??
1201                       (mk_signature ??(f_name ?? i) (f_pars … i) (f_ret … i))
1202                       (f_lab … i) (t_code … info)) :: t_env,
1203                     fresh … info, 〈a_call (f_lab … i),(a_call (f_lab … i)) :: (gen_labels ? info)〉 ::
1204                                     ((lab_map … info) @ m),(lab_to_keep … info) @ keep〉)
1205          (〈nil ?,max_all,nil ?,nil ?〉) env).
1206
1207definition trans_prog : ∀p,p'.Program p p' →
1208((Program p p') × (associative_list DEQCostLabel CostLabel)) × ((list ReturnPostCostLabel))≝
1209λp,p',prog.
1210let max_all ≝ fresh_for_prog … prog in
1211let info_main ≝ (call_post_trans … (main … prog) max_all (nil ?)) in
1212let 〈t_env,n,m,keep〉 ≝ translate_env … (env … prog) (fresh … info_main) in
1213〈mk_Program ?? t_env (t_code … info_main),m @ (lab_map … info_main),keep @ (lab_to_keep … info_main)〉.
1214
1215definition map_labels_on_trace :
1216(associative_list DEQCostLabel CostLabel) → list CostLabel → list CostLabel ≝
1217λm,l.foldr … (λlab,t.(get_element … m lab) @ t) (nil ?) l.
1218
1219lemma map_labels_on_trace_append:
1220 ∀m,l1,l2. map_labels_on_trace m (l1@l2) =
1221  map_labels_on_trace m l1 @ map_labels_on_trace m l2.
1222 #m #l1 elim l1 // #hd #tl #IH #l2 >associative_append <IH //
1223qed.
1224
1225include "../src/common/Errors.ma".
1226
1227axiom is_permutation: ∀A.list A → list A → Prop.
1228axiom is_permutation_eq : ∀A.∀l : list A.is_permutation … l l.
1229axiom is_permutation_cons : ∀A.∀l1,l2,x.is_permutation A l1 l2 →
1230                                       is_permutation A (x :: l1) (x :: l2).
1231
1232(*
1233inductive is_permutation (A : Type[0]) : list A → list A → Prop ≝
1234| p_empty : is_permutation A (nil ?) (nil ?)
1235| p_append : ∀x,x1,x2,y,y1,y2.
1236               x = y → is_permutation A (x1 @ x2) (y1 @ y2) →
1237                 is_permutation A (x1 @ [x] @ x2) (y1 @ [y] @ y2).
1238
1239lemma is_permutation_eq : ∀A.∀l : list A.is_permutation … l l.
1240#A #l elim l // #x #xs #IH
1241change with ((nil ?) @ (x :: xs)) in ⊢ (??%%);
1242>append_cons >associative_append
1243@(p_append ? x (nil ?) xs x (nil ?) xs (refl …)) @IH
1244qed.
1245
1246lemma is_permutation_append : ∀A.∀l1,l2,l3,l4 : list A.
1247is_permutation A l1 l3 → is_permutation A l2 l4 →
1248is_permutation A (l1 @ l2) (l3 @ l4).
1249#A #l1 inversion (|l1|)  [2: #n lapply l1 elim n
1250[ #l2 #l3 #l4 #H inversion H // #x #x1 #x2 #y #y1 #y2 #EQ #H1 #_
1251 #ABS cases(nil_to_nil … (sym_eq ??? ABS)) -ABS #_ #ABS
1252 cases(nil_to_nil … ABS) #EQ1 destruct(EQ1) ]
1253#x #xs #IH #l2 #l3 #l4 #H inversion H
1254[#EQ lapply(jmeq_to_eq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ) ]
1255#y #y1 #y2 #z #z1 #z2 #EQ destruct(EQ) #H1 #_ #EQx_xs #EQ destruct(EQ) #_
1256*)
1257
1258lemma memb_append_l22 : ∀A : DeqSet.∀x : A.∀l1,l2 : list A.
1259¬ (x ∈ l1) → x∈ l1 @ l2 = (x ∈ l2).
1260#A #x #l1 elim l1 normalize // #y #ys #IH #l2 cases(x==y)
1261normalize [*] @IH
1262qed.
1263
1264lemma memb_append_l12 : ∀A : DeqSet.∀x : A.∀l1,l2 : list A.
1265¬ (x ∈ l2) → x∈ l1 @ l2 = (x ∈ l1).
1266#A #x #l1 elim l1
1267[ #l2 #H whd in match (append ???); @not_b_to_eq_false @Prop_notb >H % ]
1268#y #ys #IH #l2 #H1 whd in match (memb ???); >IH //
1269qed.
1270
1271
1272lemma lookup_ok_append : ∀p,p',l,f,env_it.
1273lookup p p' l f = return env_it → ∃l1,l2. l = l1 @ [env_it] @ l2 ∧
1274f_name … env_it = f.
1275#p #p' #l elim l [ #f #env_it normalize #EQ destruct]
1276#x #xs #IH #f #env_it whd in ⊢ (??%? → ?); @eq_function_name_elim
1277[ #EQ destruct(EQ) normalize nodelta whd in ⊢ (???% → ?); #EQ destruct
1278  %{(nil ?)} %{xs} /2/
1279| #Hno_f normalize nodelta #EQ_env_it cases(IH … EQ_env_it)
1280  #l1 * #l2 * #EQ1 #EQ2 %{(x :: l1)} %{l2} >EQ1 /2/
1281]
1282qed.
1283(*
1284lemma foldr_append :
1285  ∀A,B:Type[0]. ∀l1, l2 : list A. ∀f:A → B → B. ∀seed. foldr ?? f seed (l1 @ l2) = foldr ?? f (foldr ?? f seed l2) l1.
1286#A #B #l1 elim l1 //
1287#hd #tl #Hind #l2 #f #seed normalize >Hind @refl
1288qed.
1289*)
1290
1291lemma foldr_map_append :
1292  ∀A,B:Type[0]. ∀l1, l2 : list A.
1293   ∀f:A → list B. ∀seed.
1294    foldr ?? (λx,acc. (f x) @ acc) seed (l1 @ l2) =
1295     append ? (foldr ?? (λx,acc. (f x) @ acc) (nil ?) l1)
1296       (foldr  ?? (λx,acc. (f x) @ acc) seed l2).
1297#A #B #l1 elim l1 normalize // /3 by eq_f, trans_eq/
1298qed.
1299
1300lemma cons_append : ∀A.∀x : A.∀l.x::l = ([x]@l).
1301//
1302qed.
1303
1304lemma eq_a_call_label :
1305∀c1,c2.c1 == c2 → a_call c1 == a_call c2.
1306#c1 #c2 #EQ cases(eqb_true ? c1 c2) #H1 #_ lapply(H1 (eq_true_to_b … EQ)) -EQ
1307#EQ destruct >(\b (refl …)) @I
1308qed.
1309
1310
1311lemma no_duplicates_append_commute : ∀ A : DeqSet.∀l1,l2 : list A.
1312no_duplicates … (l1 @ l2) →
1313no_duplicates … (l2 @ l1).
1314#A #l1 elim l1
1315[ #l2 >append_nil //]
1316#x #xs #IH #l2 * #H1 #H2 lapply(IH … H2) lapply H1 -H1 -IH -H2
1317elim l2 -l1
1318[ >append_nil #H1 #H2 % // ]
1319#y #ys #IH * #H1 * #H2 #H3 %
1320[2: @IH
1321   [ % #H4 @H1 cases(memb_append … H4)
1322     [ #H5 >memb_append_l1 //
1323     | #H5 >memb_append_l2 // @orb_Prop_r >H5 //
1324     ]
1325   | //
1326   ]
1327| % #H4 cases(memb_append … H4)
1328  [ #H5 @(absurd ?? H2) >memb_append_l1 //
1329  | whd in match (memb ???); inversion(y==x)
1330    [ #H5 #_ <(\P H5) in H1; #H1 @H1 >memb_append_l2 //
1331    | #_ normalize nodelta #H5 @(absurd ?? H2) >memb_append_l2 //
1332    ]
1333  ]
1334]
1335qed.
1336
1337(* aggiungere fresh_to_keep al lemma seguente??*)
1338
1339let rec subset (A : Type[0]) (l1,l2 : list A) on l1 : Prop ≝
1340match l1 with
1341[ nil ⇒ True
1342| cons x xs ⇒ mem … x l2 ∧ subset … xs l2
1343].
1344
1345interpretation "subset" 'subseteq a b = (subset ? a b).
1346
1347lemma subset_append_l2 : ∀A,l2,l1.subset A l2 (l1 @ l2).
1348#A #l2 elim l2 // normalize #x #xs #IH #l1 % // @mem_append_l2 whd /2/
1349qed.
1350
1351lemma refl_subset : ∀A.reflexive … (subset A).
1352#A #l1 elim l1 // #x #xs #IH normalize % /2/
1353qed.
1354
1355lemma fresh_for_subset : ∀l1,l2,n.l1 ⊆ l2 → is_fresh_for_return … l2 n →
1356is_fresh_for_return … l1 n.
1357#l1 elim l1 // * [1,2,3: * #x] #xs #IH #l2 #n * #H1 #H2 #H3 whd
1358try(@IH) // % [2: @IH //] elim l2 in H1 H3; normalize [*]
1359* [1,2,3: * #y] #ys #IH normalize
1360[2,3: * [2,4: #H3 [2: @IH //] * #H4 #H5 @IH //
1361|*: #EQ destruct * //
1362]]
1363*
1364[1,3: #EQ destruct ] #H3 #H4 @IH //
1365qed.
1366
1367lemma fresh_append : ∀n,l1,l2.is_fresh_for_return l1 n → is_fresh_for_return l2 n →
1368is_fresh_for_return (l1@l2) n.
1369#n #l1 lapply n -n elim l1 // * [1,2,3: * #x] #xs #IH #n #l2 [2: * #H1 ] #H2 #H3
1370[ % // @IH //] @IH //
1371qed.
1372
1373definition labels_of_prog : ∀p,p'.Program p p' → ? ≝
1374λp,p',prog.foldr … (λx,l.l @ (get_labels_of_code … (f_body … x)))
1375 (get_labels_of_code … (main … prog)) (env … prog).
1376
1377lemma cast_return_append : ∀l1,l2.cast_return_to_cost_labels … (l1 @ l2) =
1378(cast_return_to_cost_labels … l1) @ (cast_return_to_cost_labels … l2).
1379#l1 #l2 @(sym_eq … (map_append …)) qed.
1380
1381include alias "arithmetics/nat.ma".
1382
1383
1384lemma is_fresh_code : ∀p.∀i : Instructions p.
1385is_fresh_for_return (get_labels_of_code … i) (compute_max_n … i).
1386#p #main  elim main //
1387[ #seq * [| * #lbl] #i #IH normalize // @(fresh_keep_n_ok … IH)
1388  inversion(leb ? lbl) // @leb_elim #Hlbl #EQ destruct normalize nodelta
1389  /2 by le_S/
1390| #cond * #ltrue #i1 * #lfalse #i2 #i3 #IH1 #IH2 #IH3 whd in ⊢ (?%%);
1391  @fresh_append
1392  [ @(fresh_keep_n_ok … IH1) @le_S @max_1 @max_1 @max_1 @max_1 //
1393  | @fresh_append
1394    [ @(fresh_keep_n_ok … IH2) @le_S @max_1 @max_1 @max_1 @max_2 //
1395    | @(fresh_keep_n_ok … IH3) @le_S @max_1 @max_1 @max_2 //
1396    ]
1397  ]
1398| #cond * #ltrue #i1 * #lfalse #i2 #IH1 #IH2 whd in ⊢ (?%%); @fresh_append
1399  [ @(fresh_keep_n_ok … IH1) @le_S @max_1 @max_1 @max_1 //
1400  | @(fresh_keep_n_ok … IH2) @le_S @max_1 @max_1 @max_2 //
1401  ]
1402| #f #act_p * [| * #lbl] #i #IH whd in ⊢ (?%%); //
1403  change with ([?]@?) in ⊢ (?%?); @fresh_append
1404  [ whd % // @le_S @max_1 //
1405  | @(fresh_keep_n_ok … IH) @le_S @max_2 //
1406  ]
1407| * #lin #io * #lout #i #IH whd in ⊢ (?%%); @(fresh_keep_n_ok … IH)
1408  @le_S @max_1 @max_1 //
1409]
1410qed.
1411
1412lemma is_fresh_fresh_for_prog : ∀p,p'.∀prog : Program p p'.
1413is_fresh_for_return (labels_of_prog … prog) (fresh_for_prog … prog).
1414#p #p' * #env #main whd in match fresh_for_prog; normalize nodelta whd in ⊢ (?%?);
1415elim env // * #sig #cost #i #tail #IH  whd in ⊢ (?%?); @fresh_append
1416[ @(fresh_keep_n_ok … IH) @fresh_aux_ok @max_1 //
1417| @(fresh_keep_n_ok … (is_fresh_code … i)) whd in match fresh_for_prog_aux; normalize nodelta
1418  whd in ⊢ (??%); elim tail [ @max_2 // ] #hd1 #tl1 #IH1 @(transitive_le …  IH1)
1419  whd in ⊢ (??%); change with (fresh_for_prog_aux ?? (mk_Program ?? tl1 main) ?) in ⊢ (?%%);
1420  @fresh_aux_ok @max_1 //
1421]
1422qed.
1423
1424lemma subset_def : ∀A : DeqSet.∀l1,l2 : list A.(∀x.x ∈l1 → x ∈ l2) → l1 ⊆ l2.
1425#A #l1 elim l1 // #x #xs #IH #l2 #H %
1426[ @memb_to_mem >H // >memb_hd //
1427| @IH #y #H1 @H >memb_cons // >H1 //
1428]
1429qed.
1430
1431lemma memb_cast_return : ∀keep,x.x ∈ cast_return_to_cost_labels keep →
1432∃ y.x = a_return_post y ∧ bool_to_Prop (y ∈ keep).
1433#keep elim keep
1434[ #x *] #x #xs #IH #y whd in match cast_return_to_cost_labels;
1435whd in match (map ????); whd in match (memb ???); inversion(y==x)
1436[ #Hx #_ %{x} >(\P Hx) %{(refl …)} >memb_hd //
1437| #Hx normalize nodelta #H cases(IH … H) #z * #H1 #H2 %{z} %{H1} >memb_cons // >H2 //
1438]
1439qed.
1440
1441lemma subset_append : ∀A.∀l1,l2,l3 : list A.l1 ⊆ l3 → l2 ⊆ l3 → (l1 @ l2) ⊆ l3.
1442#A #l1 elim l1 // #x #xs #IH #l2 #l3 * #H1 #H2 #H3 % /2/
1443qed.
1444
1445lemma subset_def_inv : ∀A.∀l1,l2 : list A. l1 ⊆ l2 → ∀x.mem … x l1 → mem … x l2.
1446#A #l1 elim l1 [ #l2 * #x * ] #x #xs #IH #l2 * #H1 #H2 #y *
1447[ #EQ destruct // | #H3 @IH // ]
1448qed.
1449
1450lemma transitive_subset : ∀A.transitive … (subset A).
1451#A #l1 elim l1 // #x #xs #IH #l2 #l3 * #H1 #H2 #H3 %
1452[ @(subset_def_inv … H3) // | @IH // ]
1453qed.
1454
1455lemma subset_append_h1 : ∀A.∀l1,l2,l3 : list A.l1 ⊆ l3 → l1 ⊆ (l3 @ l2).
1456#A #l1 elim l1 // #x #x2 #IH #l2 #l3 * #H1 #H2 % [ @mem_append_l1 // | @IH // ]
1457qed.
1458
1459lemma subset_append_h2 : ∀A.∀l1,l2,l3 : list A.l2 ⊆ l3 → l2 ⊆ (l1 @ l3).
1460#A #l1 elim l1 // #x #xs #IH #l2 elim l2 // #y #ys #IH #l3 * #H1 #H2 %
1461[ @mem_append_l2 // | @IH // ]
1462qed.
1463
1464lemma lab_to_keep_in_prog : ∀p,p'.∀prog : Program p p'.
1465∀t_prog,m,keep.trans_prog … prog = 〈t_prog,m,keep〉 →
1466(cast_return_to_cost_labels keep) ⊆ (labels_of_prog p p' prog).
1467#p #p' * #env #main #t_prog #m #keep whd in match trans_prog; normalize nodelta
1468@pair_elim * #env1 #fresh * #m1 #keep1 #EQenv1 normalize nodelta #EQ destruct
1469lapply EQenv1 -EQenv1 lapply keep1 -keep1 lapply m1 -m1 lapply fresh -fresh
1470lapply env1 -env1 generalize in match (fresh_for_prog ???); elim env
1471[ #n #t_env #n1 #m #keep whd in ⊢ (??%? → ?); #EQ destruct whd in match (append ???);
1472  @subset_def #x #H whd in match (labels_of_prog); normalize nodelta
1473  whd in match (foldr ?????); cases(memb_cast_return … H) -H #x1 * #EQ1 #H destruct
1474  @(lab_to_keep_in_domain … H)
1475| #x #xs #IH #n #t_env #n1 #m #keep whd in ⊢ (??%? → ?); @pair_elim
1476  * #t_env_tail #fresh_tail * #t_m_tail #t_keep_tail
1477  change with (translate_env ????) in match (foldr ?????); #EQt_env_tail
1478  normalize nodelta #EQ1 destruct >cast_return_append @subset_append
1479  [ >cast_return_append @subset_append
1480    [ whd in match labels_of_prog; normalize nodelta whd in match (foldr ?????);
1481      @subset_def #y #H cases(memb_cast_return … H) -H #y1 * #EQ destruct #H
1482      >memb_append_l2 // @(lab_to_keep_in_domain … H)
1483    | whd in match labels_of_prog; normalize nodelta whd in match (foldr ?????);
1484      change with (labels_of_prog ?? (mk_Program ?? xs ?)) in match (foldr ?????);
1485      @subset_append_h1 @(transitive_subset … (IH … EQt_env_tail))
1486      >cast_return_append @subset_append_h1 //
1487    ]
1488  | whd in match labels_of_prog; normalize nodelta whd in match (foldr ?????);
1489    change with (labels_of_prog ?? (mk_Program ?? xs ?)) in match (foldr ?????);
1490    @subset_append_h1 @(transitive_subset … (IH … EQt_env_tail))
1491     >cast_return_append @subset_append_h2 //
1492  ]
1493]
1494qed.
1495
1496lemma fresh_call_post_trans_ok : ∀p.∀i : Instructions p.∀n,l.
1497n ≤ fresh … (call_post_trans … i n l).
1498#p #i elim i //
1499qed.
1500
1501lemma fresh_translate_env_ok : ∀p,p'.∀env,t_env : list (env_item p p').∀n,n1,m,keep.
1502translate_env … env n = 〈t_env,n1,m,keep〉 → n ≤ n1.
1503#p #p' #env elim env
1504[ #t_env #n #n1 #m #keep whd in ⊢ (??%? → ?); #EQ destruct // ]
1505#x #xs #IH #t_env #n #n1 #m #keep whd in ⊢ (??%? → ?);
1506change with (translate_env ????) in match (foldr ?????); @pair_elim
1507* #t_env_tail #fresh_tail * #t_m_tail #t_keep_tail #EQt_env_tail normalize nodelta
1508#EQ destruct @(transitive_le … (IH … EQt_env_tail)) @fresh_call_post_trans_ok
1509qed.
1510 
1511
1512lemma trans_env_ok : ∀p : state_params.∀ prog.
1513no_duplicates_labels … prog →
1514let 〈t_prog,m,keep〉 ≝ trans_prog … prog in
1515∀f,env_it.lookup p p (env … prog) f = return env_it →
1516let dom ≝ get_labels_of_code … (f_body … env_it) in
1517∃env_it',n.is_fresh_for_return keep n ∧lookup p p (env … t_prog) f = return env_it' ∧
1518let info ≝ call_post_trans … (f_body … env_it) n (nil ?) in
1519t_code … info = f_body … env_it' ∧
1520get_element … m (a_call (f_lab … env_it')) = (a_call (f_lab … env_it')) :: gen_labels … info ∧
1521f_sig … env_it = f_sig … env_it' ∧ f_lab … env_it = f_lab … env_it' ∧
1522same_fresh_map_on dom m (lab_map … info) ∧ same_to_keep_on dom keep (lab_to_keep … info).
1523#p #prog inversion(trans_prog … prog) * #t_prog0 #m0 #keep0 #EQt_prog
1524lapply EQt_prog normalize nodelta
1525generalize in match keep0 in ⊢ (% → ? → ? → ? → ? → ??(λ_.??(λ_.?%?)));
1526#keep1 #EQkeep1 inversion prog in EQt_prog; #env #main #EQprog
1527whd in match trans_prog; normalize nodelta
1528@pair_elim
1529cut(fresh_for_prog ?? prog ≤ fresh_for_prog ?? (mk_Program … env main)) [ >EQprog //]
1530generalize in match (fresh_for_prog ???) in ⊢ (??% → %);
1531lapply t_prog0 lapply m0 lapply keep0
1532elim env in ⊢ (?→ ? → ? → ? → ? → %);
1533[ #keep #m #t_prog #n #_ * #env' #fresh * #x #y #_ #_ #_ #f #env_it normalize in ⊢ (% → ?);  #ABS destruct]
1534* #hd_sig #hd_lab #hd_code #tail #IH #keep #m #t_prog #fresh1 #Hfresh1 * #env' #fresh * #m' #keep'
1535normalize in ⊢ (% → ?); normalize nodelta @pair_elim * #env_tail #fresh_tail
1536* #m_tail #keep_tail change with (translate_env ????) in ⊢ (??%? → ?); #EQtail normalize nodelta #EQ1 destruct(EQ1) #EQ2 destruct(EQ2)
1537whd in ⊢ (% → ?); whd in match (foldr ?????); * #Hhd_lab #H lapply(no_duplicates_append_r … H)
1538change with (no_duplicates_labels p p (mk_Program p p tail main)) in match
1539(no_duplicates_labels p p (mk_Program p p tail main)); #no_dup_tail
1540lapply(no_duplicates_append_l … H) #no_dup_head normalize nodelta
1541#f #env_it whd in ⊢ (??%? → ?); @eq_function_name_elim normalize nodelta
1542[ #EQ destruct(EQ) whd in ⊢ (???% → ?); #EQ destruct(EQ)
1543  inversion (call_post_trans … hd_code fresh_tail [])
1544  #gen_labs #t_hd_code #t_fresh #t_lab_map #t_lab_to_keep #EQ_trans_code
1545  %{(mk_env_item … hd_sig hd_lab t_hd_code)} %{fresh_tail} %
1546  [ %
1547    [ @(fresh_keep_n_ok … fresh1)
1548      [ @(fresh_keep_n_ok … Hfresh1)
1549        @(fresh_for_subset … (labels_of_prog … prog))
1550        [ @(lab_to_keep_in_prog … EQkeep1) | @is_fresh_fresh_for_prog ]
1551       | @(transitive_le … (fresh_translate_env_ok … EQtail)) //
1552      ]
1553    | whd in ⊢ (??%?); @eq_function_name_elim [2: * #H @⊥ @H %] #_ normalize nodelta
1554      @eq_f cases hd_sig // ]] >EQ_trans_code % [% [ % [ % [% // whd in ⊢ (??%?); >(\b (refl …)) %] % ] % | whd
1555    #x #Hx whd in ⊢ (??%?); >(? : (x == hd_lab) = false)
1556    [2: inversion(x==hd_lab) // #EQx_hdlab cases Hhd_lab -Hhd_lab #Hhd_lab cases Hhd_lab
1557        >memb_append_l1 // <(\P EQx_hdlab) >Hx // ]
1558    normalize nodelta >get_element_append_l1
1559    [2: % #ABS @(memb_no_duplicates_append … x … H) // elim tail
1560        [ whd in match (foldr ?????); @lab_map_in_domain // ]
1561        #x #xs #IH whd in match (foldr ?????); @orb_Prop_r
1562        >memb_append_l2 // >IH %
1563    ] @get_element_append_l1
1564    % #H1 
1565    (* subproof with no nice statement *)
1566    lapply H1 -H1 lapply H -H lapply Hhd_lab -Hhd_lab lapply EQtail -EQtail
1567    generalize in match fresh1; lapply env_tail -env_tail lapply fresh_tail
1568    -fresh_tail lapply m_tail -m_tail lapply keep_tail -keep_tail elim tail
1569    normalize nodelta
1570    [ #keep_tail #m_tail #fresh_tail #env_tail #n whd in ⊢ (??%? → ?);
1571      #EQ destruct(EQ) whd in match (foldr ?????);
1572      #H1 #H2 * ]
1573    #head #tail #IH #keep_tail #m_tail #fresh_tail #env_tail #n whd in ⊢ (??%? → ?);
1574    whd in match (foldr ?????);
1575    @pair_elim * #env_tail_res #fresh_tail_res * #lab_map_res #keep_res #EQres
1576    normalize nodelta #EQ destruct(EQ) whd in match (foldr ?????);
1577    #H1 #H2 whd in match (memb ???); inversion(x == ?)
1578    [ #H3 #_ <(\P H3) in H2; change with ([?]@?) in match (?::?); #H2
1579      lapply(no_duplicates_append_commute … H2) -H2 ** #ABS #_ @ABS
1580      >memb_append_l2 // >Hx %
1581    | #H3 normalize nodelta #H4 @(IH … EQres)
1582      [3: >domain_of_associative_list_append in H4; #H4 cases(memb_append … H4) [2: #EQ >EQ %]
1583          #ABS @⊥ @(memb_no_duplicates_append … x … H2) // @orb_Prop_r >memb_append_l1 //
1584          @(lab_map_in_domain … (eq_true_to_b … ABS))
1585      | % #ABS elim H1 -H1 #H1 @H1 cases(memb_append … ABS)
1586        [ #H5 >memb_append_l1 //
1587        | #H5 >memb_append_l2 // @orb_Prop_r >memb_append_l2 //
1588        ]
1589      | lapply(no_duplicates_append_commute … H2) * #_ >associative_append
1590        #h @no_duplicates_append_commute @(no_duplicates_append_r … h)
1591      ]
1592    ]
1593    ]
1594  | whd #x #Hx >memb_append_l12
1595    [2: @notb_Prop % #ABS @(memb_no_duplicates_append … H … Hx) elim tail
1596        [ whd in match (foldr ?????); @lab_to_keep_in_domain // ]
1597        #x #xs #IH whd in match (foldr ?????); @orb_Prop_r
1598        >memb_append_l2 // >IH %
1599    ]
1600    >memb_append_l12 // inversion(memb ???) // #ABS @(memb_no_duplicates_append … (a_return_post x) … H)
1601    // @⊥
1602    (* subproof with no nice statement *)
1603    lapply ABS -ABS lapply H -H lapply Hhd_lab -Hhd_lab lapply EQtail -EQtail
1604    generalize in match fresh1; lapply env_tail -env_tail lapply fresh_tail
1605    -fresh_tail lapply m_tail -m_tail lapply keep_tail -keep_tail elim tail
1606    normalize nodelta
1607    [ #keep_tail #m_tail #fresh_tail #env_tail #n whd in ⊢ (??%? → ?);
1608      #EQ destruct(EQ) whd in match (foldr ?????);
1609      #H1 #H2 whd in ⊢ (??%? → ?); #EQ destruct ]
1610    #head #tail #IH #keep_tail #m_tail #fresh_tail #env_tail #n whd in ⊢ (??%? → ?);
1611    whd in match (foldr ?????);
1612    @pair_elim * #env_tail_res #fresh_tail_res * #lab_map_res #keep_res #EQres
1613    normalize nodelta #EQ destruct(EQ) whd in match (foldr ?????);
1614    #H1 #H2 #H3 cases(memb_append … H3) -H3
1615    [ #H3 change with ([?]@?) in match (?::?) in H2;
1616      lapply(no_duplicates_append_commute … H2) -H2 * #_ #H4 @(memb_no_duplicates_append … (a_return_post x) … H4)
1617      [ whd in match (append ???); >memb_append_l1 // >(lab_to_keep_in_domain … (eq_true_to_b … H3)) %
1618      | //
1619      ]
1620    | #H3 normalize nodelta @(IH … EQres)
1621      [3: //
1622      |  % #ABS elim H1 -H1 #H1 @H1 cases(memb_append … ABS)
1623        [ #H5 >memb_append_l1 //
1624        | #H5 >memb_append_l2 // @orb_Prop_r >memb_append_l2 //
1625        ]
1626      | lapply(no_duplicates_append_commute … H2) * #_ >associative_append
1627        #h @no_duplicates_append_commute @(no_duplicates_append_r … h)
1628      ]
1629    ]
1630  ]
1631| #Hf #Henv_it cases(IH … no_dup_tail … Henv_it)
1632  [9: >EQtail in ⊢ (??%?); %
1633  |13: %
1634  |6: assumption
1635  |10: %
1636  |*:
1637  ]
1638  #new_env_it * #new_fresh ** #is_fresh_newfresh #EQlook_new_env_it ***** #EQt_code #EQ_get_el
1639  #EQsign_env_it #EQ_f_lab #same_fresh_map #same_to_keep %{new_env_it} %{new_fresh}
1640  %
1641  [ %
1642     [ assumption
1643     | whd in ⊢ (??%?); @eq_function_name_elim [ #ABS >ABS in Hf; * #H @⊥ @H %]
1644        #_ normalize nodelta assumption ]]
1645   % [2: #x #Hx <same_to_keep // >associative_append @memb_append_l22
1646        inversion(memb ???) // #ABS lapply(lab_to_keep_in_domain … (eq_true_to_b … ABS))
1647        #ABS1 @(memb_no_duplicates_append … (a_return_post x) … H) //
1648        cases(lookup_ok_append … Henv_it) #l1 * #l2 * #EQ1 #EQ2 destruct(EQ1 EQ2)
1649        >foldr_map_append >memb_append_l2 // >foldr_map_append >memb_append_l1 //
1650        whd in match (foldr ?????); @orb_Prop_r >memb_append_l1 // >Hx % ]
1651   % [2: #x #Hx <same_fresh_map // >cons_append <associative_append
1652         <associative_append in ⊢ (??(???(??%?)?)?); >associative_append
1653         @(get_element_append_r1)
1654         % >domain_of_associative_list_append #ABS cases(memb_append … ABS)
1655         [ whd in match (memb ???); inversion(x==hd_lab) normalize nodelta
1656           [2: #_ whd in match (memb ???); #EQ destruct ] #EQx_hdlab #_
1657               <(\P EQx_hdlab) in Hhd_lab; cases(lookup_ok_append … Henv_it)
1658               #tail1 * #tail2 * #EQ1 #EQ2 destruct >foldr_map_append >foldr_map_append
1659               * #ABS1 @ABS1 >memb_append_l2 // >memb_append_l2 //
1660               >memb_append_l1 // whd in ⊢ (??%?); cases(x==?) //
1661               normalize nodelta >memb_append_l1 // >Hx %
1662         | #ABS1 @(memb_no_duplicates_append … x … H)
1663           [ @(lab_map_in_domain … (eq_true_to_b … ABS1))
1664           | cases(lookup_ok_append … Henv_it)
1665             #tail1 * #tail2 * #EQ1 #EQ2 destruct >foldr_map_append >foldr_map_append
1666             >memb_append_l2 // >memb_append_l1 //
1667             whd in ⊢ (??%?); cases(x==?) //
1668             normalize nodelta >memb_append_l1 // >Hx %
1669           ]
1670         ]
1671     ] 
1672   % // % // % // <EQ_get_el >cons_append <associative_append  <associative_append in ⊢ (??(???(??%?)?)?);
1673   >associative_append
1674   @get_element_append_r1 % >domain_of_associative_list_append #ABS cases(memb_append … ABS)
1675         [ whd in match (memb ???); inversion(a_call (f_lab … new_env_it)== a_call hd_lab)
1676           #EQ_hdlab normalize nodelta
1677           [2: whd in ⊢ (??%? → ?); #EQ destruct ] 
1678           #_ <(\P EQ_hdlab) in Hhd_lab; cases(lookup_ok_append … Henv_it)
1679           #tail1 * #tail2 * #EQ1 #EQ2 destruct >foldr_map_append >foldr_map_append
1680           * #ABS1 @ABS1 >memb_append_l2 // >memb_append_l2 //
1681           >memb_append_l1 // whd in ⊢ (??%?); >EQ_f_lab >(\b (refl …)) //
1682         | #ABS1 @(memb_no_duplicates_append … (a_call (f_lab … new_env_it)) … H)
1683           [ @(lab_map_in_domain … (eq_true_to_b … ABS1))
1684           | cases(lookup_ok_append … Henv_it)
1685             #tail1 * #tail2 * #EQ1 #EQ2 destruct >foldr_map_append >foldr_map_append
1686             >memb_append_l2 // >memb_append_l1 //
1687             whd in ⊢ (??%?); >EQ_f_lab >(\b (refl …)) //
1688           ]
1689         ]
1690]
1691qed.
1692
1693lemma len_append : ∀S : abstract_status.∀st1,st2,st3 : S.
1694∀t1 : raw_trace … st1 st2.∀t2 : raw_trace … st2 st3.
1695len … (t1 @ t2) = len … t1 + len …  t2.
1696#S #st1 #st2 #st3 #t1 elim t1 normalize //
1697qed.
1698
1699axiom permute_ok : ∀A.∀l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,l9,x,y.
1700  (is_permutation A ((l5 @l1) @l6@l7) ((l4 @[]) @l6@l7)
1701 →is_permutation A ((l6 @l2) @l7) ((l3 @l8) @l9)
1702 →is_permutation A
1703   (y ::((l6 @((x ::l5) @(l1 @l2))) @l7))
1704   (((x ::l4 @y ::l3) @l8) @l9)).
1705   
1706lemma append_premeasurable : ∀S : abstract_status.
1707∀st1,st2,st3 : S.∀t1 : raw_trace … st1 st2.∀t2: raw_trace … st2 st3.
1708pre_measurable_trace … t1 → pre_measurable_trace … t2 →
1709pre_measurable_trace … (t1 @ t2).
1710#S #st1 #st2 #st3 #t1 #t2 #Hpre lapply t2 -t2 elim Hpre -Hpre //
1711[ #s1 #s2 #s3 #l #prf #tl #Hclass #Hcost #pre_tl #IH #t2 #pr3_t2
1712  %2 // @IH //
1713| #s1 #s2 #s3 #l #Hclass #prf #tl #ret_l #pre_tl #IH #t2 #pre_t2 %3 // @IH //
1714| #s1 #s2 #s3 #l #prf #tl #Hclass #call #callp #pre_tl #IH #t2 #pre_t2 %4 // @IH //
1715| #s1 #s2 #s3 #s4 #s5 #l1 #l2 #prf1 #tl1 #tl2 #prf2 #Hclass1 #Hclass3 #call_l1
1716  #nopost #pre_tl1 #pre_tl2 #succ #unlab #IH1 #IH2 #t2 #pre_t2
1717  normalize >append_associative in ⊢ (????(???????%)); %5 // @IH2 //
1718]
1719qed.
1720   
1721
1722lemma correctness_lemma : ∀p,p',prog.
1723no_duplicates_labels … prog →
1724let 〈t_prog,m,keep〉 ≝ trans_prog … prog in
1725∀s1,s2,s1' : state p.∀abs_top,abs_tail.
1726∀t : raw_trace (operational_semantics … p' prog) s1 s2.
1727pre_measurable_trace … t →
1728state_rel … m keep abs_top abs_tail s1 s1' →
1729∃abs_top',abs_tail'.∃s2'.∃t' : raw_trace (operational_semantics … p' t_prog) s1' s2'.
1730state_rel  … m keep abs_top' abs_tail' s2 s2' ∧
1731is_permutation ? ((abs_top @ (map_labels_on_trace m (get_costlabels_of_trace … t))) @ abs_tail) 
1732                 (((get_costlabels_of_trace … t') @ abs_top' ) @ abs_tail') ∧
1733 len … t = len … t' ∧
1734 (∀k.∀i.option_hd … (cont … s2) = Some ? 〈ret_act (None ?),i〉 →
1735 cont … s1 = k @ cont … s2 →
1736∃k'.cont … s1' = k' @ cont … s2' ∧ |k| = |k'|)
1737∧ pre_measurable_trace … t'.
1738#p #p' #prog #no_dup @pair_elim * #t_prog #m #keep #EQtrans
1739#s1 #s2 #s1' #abs_top #abs_tail #t #Hpre lapply abs_top -abs_top lapply abs_tail
1740-abs_tail lapply s1' -s1' elim Hpre
1741[ #st #Hst #s1' #abs_tail #abs_top #H %{abs_top} %{abs_tail} %{s1'} %{(t_base …)}
1742  %
1743  [ %
1744    [ % [2: %] %{H} whd in match (get_costlabels_of_trace ????); >append_nil
1745      @is_permutation_eq
1746    | #k #i #_ #EQcont_st %{[ ]} % // @sym_eq @eq_f @append_l1_injective_r //
1747    ]
1748  | %1 whd in H; cases(check_continuations ?????) in H; [*] ** #H1 #abs_top_cont
1749    #abs_tail_cont normalize nodelta **** #_ #rel #_ #H2 #_ normalize
1750    inversion(code ??) normalize nodelta
1751    [|#r_t| #seq #lbl #i #_ | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_
1752     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ | #f #act_p #rlbl #i #_
1753     | #lin #io #lout #i #_ ]
1754    #EQcode_s1' normalize nodelta [|*: % #EQ destruct] <H2
1755    >EQcode_s1' in rel; whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ)
1756    normalize in Hst; <e1 in Hst; normalize nodelta //
1757  ]   
1758| #st1 #st2 #st3 #lab whd in ⊢ (% → ?); #H inversion H in ⊢ ?; #st11 #st12
1759  [ * #lab1 #new_code #new_cont #EQcode11 #EQcont11 #EQcode12 #EQcont12 #EQstore
1760    #Hio11 #EQio12 #Hl1 #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 destruct #tl #class_st11 * #opt_l #EQ destruct(EQ)
1761    #pre_tl #IH #s1' #abs_tail #abs_top whd in match state_rel in ⊢ (% → ?); normalize nodelta >EQcont11 in ⊢ (% → ?);
1762    whd in match check_continuations; normalize nodelta whd in match (foldr2 ???????);
1763    inversion (cont ? s1') [ #_ *] * #l1' #new_code' #new_cont' #_ #EQconts1'
1764    normalize nodelta change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
1765    inversion(check_continuations ?????) [ #_ *] ** #H1 #l2 #ll2 #EQHl2
1766    >m_return_bind normalize nodelta inversion (call_post_clean ?????) [ #_ ***** ]
1767    * #l3 #code_c_st12 #EQcode_c_st12 normalize nodelta
1768    cases l1' in EQconts1'; (*in Hio11 Hl1 EQcont11 H;*) normalize nodelta
1769    [ #x #y #_ (*#_ #_ #_ #H*) *****
1770    | #x #_ cases (ret_costed_abs ??) normalize nodelta [|#c] ******[|*] #EQ @⊥ >EQ in Hl1;
1771      normalize * /2/ ] *
1772    [ #EQconts1' normalize nodelta ****** #EQ destruct(EQ)
1773      #HH1 #EQ destruct(EQ) >EQcode11 in ⊢ (% → ?); inversion(code … s1')
1774      [
1775      | #x
1776      | #seq #lbl #i #_
1777      | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_
1778      | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_
1779      | #f #act_p #ret_post #i #_
1780      | #l_in #io #l_out #i #_
1781      ]
1782      [|*: #_ whd in ⊢ (??%% → ?); [ #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)]
1783           cases(call_post_clean ?????) normalize nodelta
1784           [1,3,5,7,9: #EQ destruct(EQ)]
1785        [ * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta [|#z3 cases(?==?) normalize nodelta]
1786          whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1787        | * #z1 #z2 cases(call_post_clean ?????) [| * #z3 #z4 ] whd in ⊢ (??%% → ?);
1788          [2: cases(call_post_clean ?????) normalize nodelta
1789          [| * #z5 #z6 cases(?∧?) normalize nodelta]] whd in ⊢ (??%% → ?);
1790          #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1791        | * #z1 #z2 cases(call_post_clean ?????)
1792          [| * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta]
1793          whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1794        | * #z1 #z2 cases ret_post normalize nodelta
1795          [| #z3 cases(memb ???) normalize nodelta [ cases(?==?) normalize nodelta] ]
1796          whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1797        | * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta
1798          whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1799        ]
1800      ]
1801      #EQcodes1' whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ) #EQstore11 #EQio11 #EQ destruct(EQ)
1802      cases(IH (mk_state ? new_code' new_cont' (store … s1') false) ll2 abs_top …)
1803      [2: whd whd in match check_continuations; normalize nodelta
1804         change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????); >EQHl2
1805         normalize nodelta % // % // % // % // @EQcode_c_st12 ]
1806      #abs_top' * #abs_tail' * #st3' * #t' ****
1807      #Hst3st3' #EQcosts #EQlen #stack_safety #pre_t'
1808      %{abs_top'} %{abs_tail'} %{st3'} %{(t_ind … (cost_act (None ?)) …  t')}
1809      [ @hide_prf whd @(empty ????? 〈(cost_act (None ?)),?〉)
1810        [3: assumption |4: assumption |*:] /3 by nmk/ ]
1811      %
1812      [ % [%   [2: whd in ⊢ (??%%); >EQlen % ] %{Hst3st3'} @EQcosts]
1813      * [| #hd #tl] #i #EQcont_st3 >EQcont11 #EQ whd in EQ : (???%);
1814      [ <EQ in EQcont_st3; whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ1 destruct ]
1815      destruct cases(stack_safety … EQcont_st3 … e0) #k1 *
1816      #EQk1 #EQlength %{(〈cost_act (None ?),new_code'〉::k1)}
1817      % [ >EQk1 % | whd in ⊢ (??%%); @eq_f // ] ]
1818      %2 // [2: % //] normalize >EQcodes1' normalize nodelta <EQio11
1819      normalize in class_st11; >EQcode11 in class_st11; //
1820    | #lbl #EQconts1' normalize nodelta ******* #EQ destruct(EQ)
1821      #HH1 #EQ destruct(EQ) #EQget_el >EQcode11 in ⊢ (% → ?);
1822      inversion(code … s1')
1823      [
1824      | #x
1825      | #seq #lbl #i #_
1826      | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_
1827      | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_
1828      | #f #act_p #ret_post #i #_
1829      | #l_in #io #l_out #i #_
1830      ]
1831      [|*: #_ whd in ⊢ (??%% → ?);
1832           [ #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1833           | cases(call_post_clean ?????) normalize nodelta
1834             [| * #z2 #z3 cases lbl normalize nodelta
1835                [| #z4 cases(?==?) normalize nodelta] ]
1836             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1837           | cases(call_post_clean ?????) normalize nodelta
1838             [| * #z2 #z3 cases(call_post_clean ?????)
1839               [| * #z4 #z5 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
1840                  [| * #z6 #z7 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
1841             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1842           |  cases(call_post_clean ?????) normalize nodelta
1843             [| * #z2 #z3 cases(call_post_clean ?????)
1844                [| * #z4 #z5 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
1845             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1846           | cases(call_post_clean ?????) normalize nodelta
1847             [| * #z1 #z2 cases ret_post normalize nodelta
1848                [| #z3 cases(memb ???) normalize nodelta
1849                   [ cases (?==?) normalize nodelta]]]
1850             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1851           | cases(call_post_clean ?????) normalize nodelta
1852             [| * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta ]
1853             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1854           ]
1855      ]
1856      #EQcodes1' whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ) #EQstore #EQio #EQ destruct(EQ)
1857      cases(IH (mk_state ? new_code' new_cont' (store … s1') false) ll2 l3 …)
1858      [2: whd whd in match check_continuations; normalize nodelta
1859         change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
1860         >EQHl2 in ⊢ (match % with [ _⇒ ? | _ ⇒ ?]);
1861         normalize nodelta % // % // % // % // @EQcode_c_st12 ]
1862      #abs_top' * #abs_tail' * #st3' * #t' **** #Hst3st3' #EQcost #EQlen #stack_safety
1863      #pre_t'
1864      %{abs_top'} %{abs_tail'} %{st3'}
1865      %{(t_ind … (cost_act (Some ? lbl)) … t')}
1866      [ @hide_prf whd @(empty ????? 〈(cost_act (Some ? lbl)),?〉)
1867        [3: assumption |4: assumption |*:] /3 by nmk/ ]
1868      %
1869      [ % [% [2: whd in ⊢ (??%%); >EQlen % ] %{Hst3st3'}
1870          >(map_labels_on_trace_append … [lbl]) (*CSC: funzionava prima*)
1871          whd in match (map_labels_on_trace ? [lbl]); >append_nil >EQget_el
1872          @is_permutation_cons assumption
1873        | * [| #hd #tl] #i #EQcont_st3 >EQcont11 #EQ whd in EQ : (???%);
1874          [ <EQ in EQcont_st3; whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ1 destruct ]
1875          destruct cases(stack_safety … EQcont_st3 … e0) #k1 *
1876          #EQk1 #EQlength %{(〈cost_act (Some ? lbl),new_code'〉::k1)}
1877          % [ >EQk1 % | whd in ⊢ (??%%); @eq_f // ]
1878        ]]
1879      %2 // [2: % //] normalize >EQcodes1' normalize nodelta <EQio
1880      normalize in class_st11; >EQcode11 in class_st11; //
1881    ]
1882  | #seq #i #mem * [|#lbl] #EQcode_st11 #EQeval_seq #EQ destruct(EQ) #EQcont
1883    #EQ destruct(EQ) #EQio11 #EQio12 #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 destruct #t #Hst11
1884    #_ #Hpre_t #IH #s1' #abs_tail #abs_top whd in ⊢ (% → ?);
1885    inversion(check_continuations ?????) normalize nodelta [1,3: #_ *]
1886    ** #H1 #abs_top_cont #abs_tail_cont #EQcheck normalize nodelta ****
1887    #HH1 [ >EQcode_st11 in ⊢ (% → ?); | >EQcode_st11 in ⊢ (% → ?); ]
1888    inversion(code ??)
1889    [1,2,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14:
1890      [1,7: #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1891      |2,8: #r_t #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1892      |3,9: #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_ #_
1893            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
1894            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
1895                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
1896                     [2,4: * #z5 #z6 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
1897            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1898      |4,10:  #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ #_
1899            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
1900            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
1901                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
1902            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1903      |5,11: #f #act_p #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
1904             normalize nodelta
1905             [2,4: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
1906               [2,4: #l1 cases(memb ???) normalize nodelta
1907                 [1,3: cases(?==?) normalize nodelta ]]]
1908            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1909      |6,12: #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
1910             normalize nodelta
1911             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
1912             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1913      ]
1914    ]
1915    #seq1 #opt_l #i' #_ #EQcode_s1'
1916    change with (m_bind ?????) in ⊢ (??%? → ?);
1917    inversion(call_post_clean ????) [1,3: #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct]
1918    * #gen_labs #i'' #EQclean >m_return_bind inversion(opt_l) normalize nodelta
1919    [2,4: #lab1 ] #EQ destruct(EQ)
1920    [1,2: inversion(?==?) normalize nodelta #EQget_el ]
1921    whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1922    #EQstore #EQinfo #EQ destruct(EQ)
1923    cases(IH … (mk_state ? i' (cont … s1') (store … st12) (io_info … s1')) abs_tail_cont ?)
1924    [3,6: whd
1925       [ <EQcont in ⊢ (match % with [_ ⇒ ? | _⇒ ?]); >EQcheck in ⊢ (match % with [_ ⇒ ? | _⇒ ?]);
1926       | <EQcont in ⊢ (match % with [_ ⇒ ? | _⇒ ?]); >EQcheck in ⊢ (match % with [_ ⇒ ? | _⇒ ?]);
1927       ]
1928       normalize nodelta % // % // % // % // assumption
1929    |2,5:
1930    ]
1931    #abs_top1 * #abs_tail1 * #s2' * #t' **** #Hst3_s2' #EQcosts #EQlen #stack_safety
1932    #pre_t' %{abs_top1}
1933    %{abs_tail1} %{s2'} %{(t_ind … t')}
1934    [1,4: @hide_prf @(seq_sil … EQcode_s1') //
1935    |2,5:
1936    ]
1937    % [1,3: % [1,3: % [2,4: whd in ⊢ (??%%); @eq_f // ] %{Hst3_s2'} [2: assumption]
1938        whd in ⊢ (??%%); whd in match (get_costlabels_of_trace ????);
1939        whd in match (map_labels_on_trace ??); >(\P EQget_el) @is_permutation_cons
1940        assumption
1941      |*: #k #i #EQcont_st3 >EQcont #EQ
1942          cases(stack_safety … EQcont_st3 … EQ) #k1 * #EQk1 #EQlength %{k1} % //
1943      ]]
1944    %2 // [2,4: % //] normalize >EQcode_s1' normalize nodelta % #EQ destruct
1945  | #cond #ltrue #i_true #lfalse #i_false #i #mem #EQcode_st11 #EQcond #EQcont_st12
1946    #EQ1 #EQ2 destruct(EQ1 EQ2) #EQio_st11 #EQio_st12 #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 destruct #t
1947    #Hclass #_ #Hpre #IH #s1' #abs_tail #abs_top whd in ⊢ (% → ?); inversion(check_continuations ?????)
1948    [ #_ *] ** #H1 #abs_top_cont #abs_tail_cont #EQcheck normalize nodelta **** #HH1
1949    >EQcode_st11 in ⊢ (% → ?); inversion(code ??)
1950    [1,2,3,5,6,7:
1951     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1952     | #r_t #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1953     | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
1954       normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
1955       [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
1956       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1957     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ #_
1958       whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
1959       [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
1960       [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
1961       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1962     | #f #act_p #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
1963             normalize nodelta
1964             [2,4: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
1965               [2,4: #l1 cases(memb ???) normalize nodelta
1966                 [1,3: cases(?==?) normalize nodelta ]]]
1967            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1968     | #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
1969             normalize nodelta
1970             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
1971             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1972      ]
1973    ]
1974    #cond1 #ltrue1 #i_true1 #lfalse1 #ifalse1 #i' #_ #_ #_
1975    #EQcode_s1' whd in ⊢ (??%% → ?); inversion(call_post_clean ?????) normalize nodelta
1976    [ #_ #EQ destruct ] * #gen_lab_i' #i'' #EQi'' inversion(call_post_clean ????)
1977    [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct] * #gen_lab_ifalse1 #i_false' #EQi_false'
1978    >m_return_bind inversion(call_post_clean ????) [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct]
1979    * #gen_lab_i_true' #i_true' #EQi_true' >m_return_bind inversion(?==?) normalize nodelta
1980    [2: #_ #EQ destruct] #EQget_ltrue1 inversion(?==?) normalize nodelta #EQget_lfalse1
1981    whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ) #EQstore11 #EQio11
1982    #EQ destruct(EQ)
1983    cases(IH …
1984     (mk_state ? i_true1 (〈cost_act (None ?),i'〉 :: cont … s1') (store … st12) (io_info … st12))
1985     abs_tail_cont gen_lab_i_true')
1986    [2: whd whd in match (check_continuations ?????);
1987        >EQcont_st12 in ⊢ (match % with [_ ⇒ ? | _ ⇒ ?]); whd in match (foldr2 ???????);
1988        change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
1989        >EQcheck in ⊢ (match % with [_ ⇒ ? | _ ⇒ ?]); normalize nodelta
1990        >EQi'' normalize nodelta % // % // % // % [2: assumption ] % // % //
1991    ] #abs_top1 * #abs_tail1 * #s2' * #t' **** #Hst3_s2' #EQcost #EQlen
1992      #stack_safety #pre_t' %{abs_top1} %{abs_tail1}
1993    %{s2'} %{(t_ind … t')}
1994    [ @hide_prf @(cond_true … EQcode_s1') //
1995    |
1996    ]
1997    % [ %
1998    [ % [2: whd in ⊢ (??%%); @eq_f // ] %{Hst3_s2'}
1999      whd in match (get_costlabels_of_trace ????); whd in match(map_labels_on_trace ??);
2000      >(\P EQget_ltrue1) whd in match (get_costlabels_of_trace ????) in ⊢ (???%); @is_permutation_cons
2001      assumption
2002    |  #k #i1 #EQcont_st3 #EQcont_st11
2003       cases(stack_safety … (〈cost_act (None NonFunctionalLabel),i〉::k) … EQcont_st3 …)
2004       [2: >EQcont_st12 >EQcont_st11 % ]
2005       * [|#hd1 #tl1] * #EQk1 whd in ⊢ (??%% → ?); #EQlength destruct
2006       %{tl1} % // whd in EQk1 : (??%%); destruct //
2007    ]]
2008    %2 // [2: % //] normalize >EQcode_s1' normalize nodelta % #EQ destruct
2009  | #cond #ltrue #i_true #lfalse #i_false #i #mem #EQcode_st11 #EQcond #EQcont_st12
2010    #EQ1 #EQ2 destruct(EQ1 EQ2) #EQio_st11 #EQio_st12 #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 destruct #t
2011    #Hclass #_ #Hpre #IH #s1' #abs_tail #abs_top whd in ⊢ (% → ?); inversion(check_continuations ?????)
2012    [ #_ *] ** #H1 #abs_top_cont #abs_tail_cont #EQcheck normalize nodelta **** #HH1
2013    >EQcode_st11 in ⊢ (% → ?); inversion(code ??)
2014    [1,2,3,5,6,7:
2015     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2016     | #r_t #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2017     | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2018       normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2019       [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
2020       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2021     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ #_
2022       whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2023       [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2024       [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
2025       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2026     | #f #act_p #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2027             normalize nodelta
2028             [2,4: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2029               [2,4: #l1 cases(memb ???) normalize nodelta
2030                 [1,3: cases(?==?) normalize nodelta ]]]
2031            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2032     | #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2033             normalize nodelta
2034             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
2035             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2036      ]
2037    ] #cond1 #ltrue1 #i_true1 #lfalse1 #ifalse1 #i' #_ #_ #_
2038    #EQcode_s1' whd in ⊢ (??%% → ?); inversion(call_post_clean ?????) normalize nodelta
2039    [ #_ #EQ destruct ] * #gen_lab_i' #i'' #EQi'' inversion(call_post_clean ????)
2040    [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct] * #gen_lab_ifalse1 #i_false' #EQi_false'
2041    >m_return_bind inversion(call_post_clean ????) [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct]
2042    * #gen_lab_i_true' #i_true' #EQi_true' >m_return_bind inversion(?==?) normalize nodelta
2043    [2: #_ #EQ destruct] #EQget_ltrue1 inversion(?==?) normalize nodelta #EQget_lfalse1
2044    whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ) #EQstore11 #EQio11
2045    #EQ destruct(EQ)
2046    cases(IH …
2047     (mk_state ? ifalse1 (〈cost_act (None ?),i'〉 :: cont … s1') (store … st12) (io_info … st12))
2048     abs_tail_cont gen_lab_ifalse1)
2049    [2: whd whd in match (check_continuations ?????);
2050        >EQcont_st12 in ⊢ (match % with [_ ⇒ ? | _ ⇒ ?]); whd in match (foldr2 ???????);
2051        change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
2052        >EQcheck in ⊢ (match % with [_ ⇒ ? | _ ⇒ ?]); normalize nodelta
2053        >EQi'' normalize nodelta % // % // % // % [2: assumption ] % // % //
2054    ] #abs_top1 * #abs_tail1 * #s2' * #t' **** #Hst3_s2' #EQcost #EQlen #stack_safety
2055    #pre_t'
2056    %{abs_top1} %{abs_tail1} %{s2'} %{(t_ind … t')}
2057    [ @hide_prf @(cond_false … EQcode_s1') //
2058    |
2059    ]
2060    % [ %
2061    [ % [2: whd in ⊢ (??%%); @eq_f // ] %{Hst3_s2'}
2062      whd in match (get_costlabels_of_trace ????); whd in match(map_labels_on_trace ??);
2063      >(\P EQget_lfalse1) whd in match (get_costlabels_of_trace ????) in ⊢ (???%); @is_permutation_cons
2064      assumption
2065    | #k #i1 #EQcont_st3 #EQcont_st11
2066      cases(stack_safety … (〈cost_act (None NonFunctionalLabel),i〉::k) … EQcont_st3 …)
2067      [2: >EQcont_st12 >EQcont_st11 % ]
2068      * [|#hd1 #tl1] * #EQk1 whd in ⊢ (??%% → ?); #EQlength destruct
2069      %{tl1} % // whd in EQk1 : (??%%); destruct //
2070    ] ]
2071    %2 // [2,4: % //] normalize >EQcode_s1' normalize nodelta % #EQ destruct
2072 | #cond #ltrue #i_true #lfalse #i_false #store #EQcode_st11 #EQev_loop #EQcont_st12 #EQ1 #EQ2 destruct
2073   #EQio_11 #EQio_12 #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 destruct #t #Hclass11 #_ #Hpre #IH #s1' #abs_top #abs_tail
2074   whd in ⊢ (% → ?); inversion(check_continuations ?????) [ #_ * ] ** #H1 #abs_top_cont #abs_tail_cont
2075   #EQcheck normalize nodelta **** #HH1 >EQcode_st11 in ⊢ (% → ?); inversion(code ??)
2076   [1,2,3,4,6,7:
2077     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2078     | #r_t #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2079     | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2080       normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2081       [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
2082       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2083     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_ #_
2084            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2085            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2086                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
2087                     [2,4: * #z5 #z6 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
2088            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2089     | #f #act_p #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2090             normalize nodelta
2091             [2,4: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2092               [2,4: #l1 cases(memb ???) normalize nodelta
2093                 [1,3: cases(?==?) normalize nodelta ]]]
2094            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2095     | #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2096             normalize nodelta
2097             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
2098             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2099      ]
2100   ] #cond1 #ltrue1 #i_true1 #lfalse1 #i_false1 #_ #_
2101   #EQcode_s1' whd in ⊢ (??%% → ?); inversion(call_post_clean ?????) normalize nodelta
2102   [ #_ #EQ destruct] * #gen_ifalse1 #i_false2 #EQi_false2 inversion(call_post_clean ?????)
2103   [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct ] * #gen_itrue1 #i_true2 #EQi_true2 >m_return_bind
2104   inversion (?==?) normalize nodelta [2: #_ #EQ destruct] #EQget_ltrue1
2105   inversion(?==?) #EQget_lfalse1 whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ)
2106   -EQ #EQ destruct(EQ) #EQstore_11 #EQ_info11 #EQ destruct
2107   cases(IH …
2108    (mk_state ? i_true1
2109     (〈cost_act (None ?),LOOP … cond ltrue i_true1 lfalse i_false1〉 ::
2110        cont … s1') (store … st12) (io_info … st12)) abs_tail_cont gen_itrue1)
2111   [2: whd >EQcont_st12 whd in match (check_continuations ?????);
2112       whd in match (foldr2 ???????);
2113       change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
2114       >EQcheck normalize nodelta whd in match (call_post_clean ?????);
2115       >EQi_false2 normalize nodelta >EQi_true2 >m_return_bind >EQget_ltrue1
2116       >EQget_lfalse1 normalize nodelta % // % // % // % [2: assumption] % //
2117       % //
2118   ]
2119   #abs_cont1 * #abs_tail1 * #s2' * #t' **** #Hst3_s2' #EQcosts #EQlen #stack_safety
2120   #pre_t' %{abs_cont1} %{abs_tail1} %{s2'} %{(t_ind … t')}
2121   [ @hide_prf @(loop_true … EQcode_s1') // |]
2122   % [ %
2123   [ % [2: whd in ⊢ (??%%); @eq_f //] %{Hst3_s2'}
2124     whd in match (get_costlabels_of_trace ????); whd in match(map_labels_on_trace ??);
2125      >(\P EQget_ltrue1) whd in match (get_costlabels_of_trace ????) in ⊢ (???%);
2126     @is_permutation_cons assumption
2127   | #k #i1 #EQcont_st3 #EQcont_st11
2128      cases(stack_safety … (〈cost_act (None NonFunctionalLabel), LOOP p cond ltrue (code p st12) lfalse i_false〉::k) … EQcont_st3 …)
2129      [2: >EQcont_st12 >EQcont_st11 % ]
2130      * [|#hd1 #tl1] * #EQk1 whd in ⊢ (??%% → ?); #EQlength destruct
2131      %{tl1} % // whd in EQk1 : (??%%); destruct //
2132   ] ]
2133   %2 // [2,4: % //] normalize >EQcode_s1' normalize nodelta % #EQ destruct
2134 | #cond #ltrue #i_true #lfalse #i_false #mem #EQcode_st11 #EQev_loop #EQcont_st12 #EQ1 #EQstore11 destruct
2135   #EQio_11 #EQio_12 #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 destruct #t #Hclass11 #_ #Hpre #IH #s1' #abs_top #abs_tail
2136   whd in ⊢ (% → ?); inversion(check_continuations ?????) [ #_ * ] ** #H1 #abs_top_cont #abs_tail_cont
2137   #EQcheck normalize nodelta **** #HH1 >EQcode_st11 in ⊢ (% → ?); inversion(code ??)
2138   [1,2,3,4,6,7:
2139     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2140     | #r_t #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2141     | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2142       normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2143       [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
2144       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2145     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_ #_
2146            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2147            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2148                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
2149                     [2,4: * #z5 #z6 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
2150            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2151     | #f #act_p #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2152             normalize nodelta
2153             [2,4: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2154               [2,4: #l1 cases(memb ???) normalize nodelta
2155                 [1,3: cases(?==?) normalize nodelta ]]]
2156            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2157     | #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2158             normalize nodelta
2159             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
2160             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2161      ]
2162   ] #cond1 #ltrue1 #i_true1 #lfalse1 #i_false1 #_ #_
2163   #EQcode_s1' whd in ⊢ (??%% → ?); inversion(call_post_clean ?????) normalize nodelta
2164   [ #_ #EQ destruct] * #gen_ifalse1 #i_false2 #EQi_false2 inversion(call_post_clean ?????)
2165   [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct ] * #gen_itrue1 #i_true2 #EQi_true2 >m_return_bind
2166   inversion (?==?) normalize nodelta [2: #_ #EQ destruct] #EQget_ltrue1
2167   inversion(?==?) #EQget_lfalse1 whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ)
2168   -EQ #EQ destruct(EQ) #EQstore_11 #EQ_info11 #EQ destruct
2169   cases(IH …
2170    (mk_state ? i_false1
2171     (cont … s1') (store … st12) (io_info … st12)) abs_tail_cont gen_ifalse1)
2172   [2: whd >EQcont_st12 whd in match (check_continuations ?????);
2173       whd in match (foldr2 ???????);
2174       change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
2175       >EQcheck normalize nodelta whd in match (call_post_clean ?????);
2176       >EQi_false2 normalize nodelta >EQi_true2
2177        % // % // % // % [2: %] //
2178   ]
2179   #abs_cont1 * #abs_tail1 * #s2' * #t' **** #Hst3_s2' #EQcosts #EQlen #stack_safety
2180   #pre_t' %{abs_cont1} %{abs_tail1} %{s2'} %{(t_ind … t')}
2181   [ @hide_prf @(loop_false … EQcode_s1') // |]
2182   % [ %
2183   [ % [2: whd in ⊢ (??%%); @eq_f //] %{Hst3_s2'}
2184     whd in match (get_costlabels_of_trace ????); whd in match(map_labels_on_trace ??);
2185     >(\P EQget_lfalse1) whd in match (get_costlabels_of_trace ????) in ⊢ (???%);
2186     @is_permutation_cons assumption
2187   | #k #i #EQcont_st3 <EQcont_st12 #EQ
2188     cases(stack_safety … EQcont_st3 … EQ) #k1 * #EQk1 #EQlength %{k1} % //
2189   ]]
2190   %2 // [2,4: % //] normalize >EQcode_s1' normalize nodelta % #EQ destruct
2191 | #lin #io #lout #i #mem #EQcode_st11 #EQev_io #EQcost_st12 #EQcont_st12
2192   #EQ destruct #EQio_12 #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 destruct #t #Hclass_11 #_ #Hpre
2193   #IH #s1' #abs_top #abs_tail whd in ⊢ (% → ?); inversion(check_continuations ?????)
2194   [#_ *] ** #H1 #abs_top_cont #abs_tail_cont #EQcheck normalize nodelta ****
2195   #HH1 >EQcode_st11 in ⊢ (% → ?); inversion(code ??)
2196   [1,2,3,4,5,6:
2197     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2198     | #r_t #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2199     | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2200       normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2201       [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
2202       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2203     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_ #_
2204            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2205            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2206                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
2207                     [2,4: * #z5 #z6 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
2208            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2209     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ #_
2210       whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2211       [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2212       [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
2213       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2214     | #f #act_p #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2215             normalize nodelta
2216             [2,4: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2217               [2,4: #l1 cases(memb ???) normalize nodelta
2218                 [1,3: cases(?==?) normalize nodelta ]]]
2219            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2220      ]
2221   ] #lin1 #io1 #lout1 #i1 #_ #EQcode_s1'
2222   whd in ⊢ (??%% → ?); inversion(call_post_clean ?????) normalize nodelta
2223   [ #_ #EQ destruct] * #gen_lab #i2 #EQ_i2 inversion(?==?) normalize nodelta
2224   [2: #_ #EQ destruct] #EQget_lout1 inversion(?==?) #EQget_lin1 normalize nodelta
2225   whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2226   #EQstore11 #EQinfo11 #EQ destruct
2227   cases(IH …
2228    (mk_state ? (EMPTY p) (〈cost_act (Some ? lout),i1〉::cont … s1') (store … st12) true)
2229    abs_tail_cont [ ])
2230   [2: whd >EQcont_st12 whd in match (check_continuations ?????);
2231       whd in match (foldr2 ???????);
2232       change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
2233       >EQcheck normalize nodelta >EQ_i2 normalize nodelta % // % // % // %
2234       [2: >EQcost_st12 % ] % [ % // % //] >(\P EQget_lout1) %
2235   ]
2236   #abs_cont1 * #abs_tail1 * #s2' * #t' **** #Hst3_s2' #EQcosts #EQlen #stack_safety
2237   #pre_t' %{abs_cont1} %{abs_tail1} %{s2'} %{(t_ind … t')}
2238   [ @hide_prf @(io_in … EQcode_s1') // |]
2239   % [ %
2240   [ % [2: whd in ⊢ (??%%); @eq_f //] %{Hst3_s2'}
2241     whd in match (get_costlabels_of_trace ????); whd in match(map_labels_on_trace ??);
2242     >(\P EQget_lin1) whd in match (get_costlabels_of_trace ????) in ⊢ (???%);
2243     @is_permutation_cons assumption
2244   | #k #i1 #EQcont_st3 #EQcont_st11
2245      cases(stack_safety … (〈cost_act (Some ? lout),i〉::k) … EQcont_st3 …)
2246      [2: >EQcont_st12 >EQcont_st11 %]
2247      * [|#hd1 #tl1] * #EQk1 whd in ⊢ (??%% → ?); #EQlength destruct
2248      %{tl1} % // whd in EQk1 : (??%%); destruct //
2249   ]]
2250   %2 // [2,4: % //] normalize >EQcode_s1' normalize nodelta % #EQ destruct
2251  | #f #act_p #r_lb #cd #mem #env_it #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9 #EQ10
2252    #EQ11 #EQ12 destruct #tl #_ * #x #EQ destruct(EQ)
2253  | #r_t #mem #con #rb #i #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9 #EQ10 #EQ11 #EQ12
2254    destruct #t #_ * #nf #EQ destruct
2255  ]
2256| #st1 #st2 #st3 #lab #st1_noio #H inversion H in ⊢ ?;
2257  [1,2,3,4,5,6,7,8:
2258    [ #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16
2259    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17
2260    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19 #x20
2261    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19 #x20   
2262    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19
2263    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19
2264    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x18
2265    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x18 #x19 #x20 #x21
2266    ]
2267    destruct #tl * #y #EQ destruct(EQ) @⊥ >EQ in x12; * #ABS @ABS %
2268  ]
2269  #st11 #st12 #r_t #mem #cont * [|#x] #i #EQcode_st11 #EQcont_st11 #EQ destruct(EQ)
2270  #EQio_11 #EQio_12 #EQev_ret #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 destruct(EQ1 EQ2 EQ3 EQ4 EQ5 EQ6)
2271  #t * #lbl #EQ destruct(EQ) #pre_t #IH #s1' #abs_tail #abs_top whd in ⊢ (% → ?);
2272  inversion(check_continuations …) [#_ *] ** #H1 #abs_top_cont #abs_tail_cont
2273  >EQcont_st11 in ⊢ (% → ?); inversion(cont … s1') [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ)]
2274  * #act_lab #i #cont_s1'' #_ #EQcont_s1' whd in ⊢ (??%% → ?);
2275  change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
2276  inversion(check_continuations ?????) normalize nodelta [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct]
2277  ** #H2 #abs_top_cont' #abs_tail_cont' #EQcheck normalize nodelta
2278  inversion(call_post_clean ?????) normalize nodelta [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct *****]
2279  * #gen_labs #i' #EQi' inversion act_lab normalize nodelta
2280  [ #f #lab | * [| #lbl1 ]| * [| #nf_l]] #EQ destruct(EQ)
2281  [1,6: whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct *****
2282  |4,5: normalize nodelta whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ) ****** [2: *] #EQ destruct
2283  ]
2284  whd in match ret_costed_abs; normalize nodelta
2285  [ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ) ****** #EQ destruct(EQ) ]
2286  inversion (memb ???) normalize nodelta #Hlbl1 whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ)
2287  ****** [ * ] #EQ destruct(EQ) #HH2 #EQ destruct #EQget_el >EQcode_st11 in ⊢ (% → ?);
2288  inversion(code … s1')
2289  [1,3,4,5,6,7:
2290     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2291     | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2292       normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2293       [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
2294       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2295     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_ #_
2296            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2297            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2298                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
2299                     [2,4: * #z5 #z6 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
2300            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2301     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ #_
2302       whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2303       [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2304       [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
2305       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2306     | #f #act_p #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2307             normalize nodelta
2308             [2,4: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2309               [2,4: #l1 cases(memb ???) normalize nodelta
2310                 [1,3: cases(?==?) normalize nodelta ]]]
2311            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2312     | #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2313             normalize nodelta
2314             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
2315             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2316      ]
2317  ]
2318   #r_t' #EQcode_s1'
2319  whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2320  #EQstore11 #EQio_11 #EQ destruct
2321  cases(IH … (mk_state ? i cont_s1'' (store … st12) (io_info … st12)) abs_tail_cont gen_labs)
2322  [2: whd >EQcheck normalize nodelta % // % // % // % // @EQi' ]
2323  #abs_top1 * #abs_tail1 * #s2' * #t' **** #Hst3_s2' #EQcosts #EQlen #stack_safety
2324  #pre_t' %{abs_top1} %{abs_tail1} %{s2'} %{(t_ind … t')}
2325  [ @hide_prf @(ret_instr … EQcode_s1' … EQcont_s1') //
2326  | ]
2327  % [ %
2328  [ % [2: whd in ⊢ (??%%); @eq_f // ] %{Hst3_s2'}
2329    whd in match (get_costlabels_of_trace ????);
2330    whd in match (get_costlabels_of_trace ????) in ⊢ (???%);
2331    whd in match (map_labels_on_trace ??); >EQget_el @is_permutation_cons
2332    assumption
2333  | * [| #hd #tl] #i1 #EQcont_st3 >EQcont_st11 #EQ whd in EQ : (???%);
2334    [ <EQ in EQcont_st3; whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ1 destruct ]
2335    destruct cases(stack_safety … EQcont_st3 … e0) #k1 *
2336    #EQk1 #EQlength %{(〈ret_act (Some ? lbl1),i〉::k1)}
2337    % [ >EQk1 % | whd in ⊢ (??%%); @eq_f // ]
2338  ]]
2339  %3 // [2,4: % //] normalize >EQcode_s1' normalize nodelta % #EQ destruct
2340| #st1 #st2 #st3 #lab #H inversion H in ⊢ ?; #st11 #st12
2341  [1,2,3,4,5,6,7,9:
2342    [ #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16
2343    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17
2344    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19 #x20
2345    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19 #x20   
2346    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19
2347    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19
2348    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x18
2349    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x18 #x19 #x20
2350    ]
2351    destruct * #z1 * #z2 #EQ destruct(EQ) whd in ⊢ (?% → ?); >x3 in ⊢ (% → ?); *
2352  | #f #act_p #opt_l #i #mem #env_it #EQcode11 #EQenv_it #EQmem
2353    #EQ destruct(EQ) #EQcode12 #EQcont12 #EQio11 #EQio12 #EQ1 #EQ2 #EQ3
2354    destruct(EQ1 EQ2 EQ3) #EQ destruct(EQ) #tl #_ #_ whd in ⊢ (?% → ?); >EQcode11 in ⊢ (% → ?);
2355    normalize nodelta cases opt_l in EQcode11 EQcont12; normalize nodelta [ #x #y *]
2356    #lbl #EQcode11 #EQcont12 * #pre_tl #IH #st1' #abs_top #abs_tail
2357    whd in ⊢ (% → ?); inversion(check_continuations ????) [ #_ *] ** #H1
2358    #abs_top_cont #abs_tail_cont #EQcheck
2359    normalize nodelta **** #HH1 >EQcode11 in ⊢ (% → ?); inversion(code … st1')
2360    [1,2,3,4,5,7:
2361     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2362     | #r_t #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2363     | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2364       normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2365       [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
2366       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2367     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_ #_
2368            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2369            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2370                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
2371                     [2,4: * #z5 #z6 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
2372            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2373     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ #_
2374       whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2375       [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2376       [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
2377       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2378     | #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2379             normalize nodelta
2380             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
2381             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2382     ]
2383    ] #f' #act_p' #opt_l' #i' #_
2384    #EQcode_st1' #EQclean #EQstore #EQio #EQ destruct(EQ)
2385    lapply(trans_env_ok … no_dup) >EQtrans normalize nodelta #H
2386    cases(H … EQenv_it) -H #env_it' * #fresh' ** #is_fresh_fresh'
2387    #EQenv_it' ***** #EQtrans
2388    #EQgen_labels #EQsignature #EQlab_env_it #same_map #same_keep
2389    change with (m_bind ?????) in EQclean : (??%?); inversion(call_post_clean ?????) in EQclean;
2390    [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct] * #abs_top'' #i'' #EQi' >m_return_bind
2391    inversion opt_l' in EQcode_st1'; [| #lbl'] #EQopt_l' #EQcode_st1' normalize nodelta
2392    [2: inversion(memb ???) normalize nodelta #Hlbl_keep
2393        [  inversion (get_element ????) normalize nodelta [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct]
2394           #lbl'' #l3' #_ #EQget_el whd in match (eqb ???); inversion (eqb ???) normalize nodelta
2395          [2: #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct] #H cases(eqb_true ? lbl'' lbl') #H1 #_
2396          lapply(H1 H) -H -H1 #EQ destruct(EQ) inversion(eqb_list ???) normalize nodelta
2397          [2: #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct] #H cases(eqb_true (DeqSet_List ?) l3' abs_top'')
2398          #H1 #_ lapply(H1 H) -H -H1 #EQ destruct(EQ) whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ
2399          #EQ destruct(EQ)
2400          cases(IH (mk_state ? (f_body … env_it') (〈ret_act opt_l',i'〉 :: (cont … st1')) (store ? st12) false) (abs_tail_cont) (gen_labels … (call_post_trans … (f_body … env_it) fresh' (nil ?))))
2401          [2: whd >EQcont12
2402            change with (m_bind ??? (check_continuations ?????) ?) in match (check_continuations ?????);
2403            >EQcheck >m_return_bind normalize nodelta >EQi' normalize nodelta >EQopt_l'
2404            whd in match ret_costed_abs; normalize nodelta >Hlbl_keep normalize nodelta
2405            % // % // % // % [/5 by conj/] >EQgen_labels >EQcode12 <EQtrans
2406            @(inverse_call_post_trans … is_fresh_fresh')
2407            [2: % |*: [2,3: /2 by / ]
2408                cases(lookup_ok_append … EQenv_it) #env1 * #env2 * #EQ1 #EQ2
2409                whd in no_dup; destruct >EQ1 in no_dup; >foldr_map_append >foldr_map_append
2410                #no_dup lapply(no_duplicates_append_r … no_dup) #H1
2411                lapply(no_duplicates_append_l … H1) whd in match (foldr ?????); -H1
2412                change with ([?]@?) in match (?::?); #H1
2413                lapply(no_duplicates_append_r … H1) >append_nil //
2414            ]
2415          ]
2416          #abs_top''' * #abs_tail''' * #st3' * #t' **** #Hst3st3' #EQcosts #EQlen #stack_safety
2417          #pre_t' %{abs_top'''}
2418          %{abs_tail'''} %{st3'} %{(t_ind … (call_act f (f_lab … env_it')) …  t')}
2419          [ @hide_prf @call /2 width=10 by jmeq_to_eq/ ]
2420          % [ %
2421          [ % [2: whd in ⊢ (??%%); >EQlen %]
2422            %{Hst3st3'} >map_labels_on_trace_append whd in match (get_costlabels_of_trace ????) in ⊢ (???%);
2423            >EQlab_env_it >associative_append whd in match (append ???); >associative_append
2424            >associative_append in ⊢ (???%); >(associative_append … [?]) in ⊢ (???%);
2425            whd in match (map_labels_on_trace ??); >EQgen_labels @is_permutation_cons
2426            >append_nil whd in match (append ???) in ⊢ (???%); //
2427          | #k #i1 #EQcont_st3 #EQcont_st11
2428            cases(stack_safety … (〈ret_act (Some ? lbl),i〉::k) … EQcont_st3 …)
2429            [2: >EQcont12 >EQcont_st11 % ]
2430            * [|#hd1 #tl1] * #EQk1 whd in ⊢ (??%% → ?); #EQlength destruct
2431            %{tl1} % // whd in EQk1 : (??%%); destruct //
2432          ]]
2433          %4 // [2,4: % [2: % // |]] normalize >EQcode_st1' normalize nodelta % #EQ destruct
2434        | whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2435        ]
2436    | whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ)
2437    ]
2438  ]
2439| #st1 #st2 #st3 #st4 #st5 #l1 #l2 #H inversion H in ⊢ ?;
2440  [1,2,3,4,5,6,7,9:
2441    [ #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16
2442    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17
2443    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19 #x20
2444    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19 #x20   
2445    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19
2446    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19
2447    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x18
2448    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x18 #x19 #x20
2449    ]
2450    destruct #t1 #t2 #prf #_ #_ * #y1 * #y2 #EQ destruct(EQ) @⊥ >EQ in x12; * #H @H %
2451  ]
2452  #st11 #st12 #f #act_p #opt_l #i #mem #env_it #EQcode11 #EQenv_it #EQmem
2453  #EQ destruct(EQ) #EQcode12 #EQcont12 #EQio11 #EQio12 #EQ1 #EQ2 #EQ3
2454  destruct(EQ1 EQ2 EQ3) #EQ destruct(EQ) #t1 #t2 #H inversion H in ⊢ ?;
2455  [1,2,3,4,5,6,7,8:
2456    [ #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16
2457    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17
2458    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19 #x20
2459    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19 #x20   
2460    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19
2461    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19
2462    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x18
2463    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x18 #x19 #x20 #x21
2464    ]
2465    destruct #_ #_ #_ #_ #_ #_ #_ whd in ⊢ (% → ?); #EQ destruct(EQ)
2466    @⊥ >EQ in x12; * #H @H %
2467  ]
2468   #st41 #st42 #r_t #mem1 #new_cont #opt_l1 #cd #EQcode41 #EQcont41 #EQ destruct(EQ)
2469   #EQio41 #EQio42 #EQmem1 #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 destruct #st11_noio
2470   #st41_noio #_ whd in ⊢ (?(?%) → ?); >EQcode11 in ⊢ (% → ?); normalize nodelta
2471   inversion(opt_l) in ⊢(% → ?); normalize nodelta [2: #lbl #_ * ] #EQopt_l destruct(EQopt_l)
2472   #_ #Hpre_t1 #Hpre_t2 whd in ⊢ (% → ?); * #EQcont11_42 >EQcode11 in ⊢ (% → ?);
2473   normalize nodelta #EQ destruct(EQ) whd in ⊢ (% → ?);
2474   #EQ destruct #IH1 #IH2 #st1' #abs_top #abs_tail
2475    whd in ⊢ (% → ?); inversion(check_continuations ????) [ #_ *] ** #H1
2476    #abs_top_cont #abs_tail_cont #EQcheck
2477    normalize nodelta **** #HH1 >EQcode11 in ⊢ (% → ?); inversion(code … st1')
2478    [1,2,3,4,5,7:
2479     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2480     | #r_t #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2481     | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2482       normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2483       [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
2484       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2485     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_ #_
2486            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2487            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2488                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
2489                     [2,4: * #z5 #z6 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
2490            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2491     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ #_
2492       whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2493       [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2494       [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
2495       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2496     | #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2497             normalize nodelta
2498             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
2499             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2500     ]
2501    ] #f' #act_p' #opt_l' #i' #_
2502    #EQcode_st1' #EQclean #EQstore #EQio #EQ destruct(EQ)
2503    lapply(trans_env_ok … no_dup) >EQtrans normalize nodelta #H
2504    cases(H … EQenv_it) -H #env_it' * #fresh' ** #is_fresh_fresh' #EQenv_it' ***** #EQtrans
2505    #EQgen_labels #EQsignature #EQlab_env_it #same_map #same_keep
2506    change with (m_bind ?????) in EQclean : (??%?); inversion(call_post_clean ?????) in EQclean;
2507    [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct] * #abs_top'' #i'' #EQi' >m_return_bind
2508    inversion opt_l' in EQcode_st1'; [| #lbl'] #EQopt_l' #EQcode_st1' normalize nodelta
2509    [ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ) ] destruct(EQopt_l')
2510    inversion(memb ???) normalize nodelta #Hlbl_keep'
2511    [ cases(?==?) normalize nodelta ]
2512     whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct
2513     cases(IH1
2514            (mk_state ?
2515              (f_body … env_it')
2516              (〈ret_act (Some ? lbl'),i'〉 :: (cont … st1'))
2517              (store ? st12) false)
2518            (abs_top''@abs_tail_cont)
2519            (gen_labels … (call_post_trans … (f_body … env_it) fresh' (nil ?))))
2520     [2: whd >EQcont12
2521         change with (m_bind ??? (check_continuations ?????) ?) in match (check_continuations ?????);
2522          >EQcheck >m_return_bind normalize nodelta >EQi' normalize nodelta
2523          whd in match ret_costed_abs; normalize nodelta >Hlbl_keep' normalize nodelta
2524          % // % // % // % [/5 by conj/] >EQcode12 <EQtrans
2525          @(inverse_call_post_trans … fresh')
2526          [2: % |*: [2,3: /2 by / ]
2527              cases(lookup_ok_append … EQenv_it) #env1 * #env2 * #EQ1 #EQ2
2528              whd in no_dup; destruct >EQ1 in no_dup; >foldr_map_append >foldr_map_append
2529              #no_dup lapply(no_duplicates_append_r … no_dup) #H1
2530              lapply(no_duplicates_append_l … H1) whd in match (foldr ?????); -H1
2531              change with ([?]@?) in match (?::?); #H1
2532              lapply(no_duplicates_append_r … H1) >append_nil //
2533          ]
2534     ]
2535     #abs_top''' * #abs_tail''' * #st41' * #t1' **** #Hst41st41' #EQcosts #EQlen #stack_safety1
2536     #pre_t1'
2537     whd in Hst41st41'; inversion(check_continuations …) in Hst41st41'; [ #_ * ]
2538     ** #H2 #abs_top_cont' #abs_tail_cont' >EQcont41 in ⊢ (% → ?);
2539     whd in ⊢ (??%? → ?); inversion(cont … st41') normalize nodelta
2540     [ #_ #EQ destruct(EQ) ] * #act_lbl #i'' #cont_st42' #_ #EQcont_st41'
2541     change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
2542     inversion(check_continuations ?????) [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct]
2543     ** #H3 #abs_top_cont'' #abs_tail_cont'' #EQ_contst42 >m_return_bind
2544     normalize nodelta inversion(call_post_clean ?????) normalize nodelta
2545     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct ***** ] * #abs_top'''' #i'''
2546     #EQ_clean_i'' inversion(act_lbl) normalize nodelta
2547     [1,3,4:
2548       [ #x1 #x2 #EQ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ1 destruct *****
2549       | * [|#x1] #EQ destruct normalize nodelta whd in ⊢ (??%% → ?);
2550         #EQ destruct ****** [2: *] #EQ destruct
2551       ]
2552     ]
2553     cut(act_lbl = ret_act (Some ? lbl') ∧ cont_st42' = cont … st1' ∧ i'' = i')
2554     [ cases(stack_safety1 [ ] …)
2555       [3: >EQcont41 in ⊢ (??%?); % |4: normalize // |5: % |2:] * [|#x #xs] *
2556       whd in ⊢ (??%% → ??%% → ?); #EQ1 #EQ2 destruct > EQcont_st41' in EQ1;
2557       #EQ destruct(EQ) /3 by conj/
2558     ]
2559     ** #EQ1 #EQ2 #EQ3 destruct #x #EQ destruct whd in match ret_costed_abs; normalize nodelta
2560     >Hlbl_keep' normalize nodelta
2561     whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct ****** #_ #HH3 #EQ destruct(EQ)
2562     >EQcode41 in ⊢ (% → ?); inversion(code … st41')
2563     [1,3,4,5,6,7:
2564       [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2565       | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2566         normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2567         [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
2568         whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2569       | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_ #_
2570            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2571            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2572                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
2573                     [2,4: * #z5 #z6 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
2574            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2575       | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ #_
2576         whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2577         [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2578         [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
2579         whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2580       | #f #act_p #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2581             normalize nodelta
2582             [2,4: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2583               [2,4: #l1 cases(memb ???) normalize nodelta
2584                 [1,3: cases(?==?) normalize nodelta ]]]
2585            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2586       | #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2587             normalize nodelta
2588             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
2589             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2590       ]   
2591     ] #r_t' #EQcode_st41' whd in ⊢ (??%% → ?);
2592     #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ) #EQstore_st41' #EQinfo_st41'
2593     #EQ destruct(EQ) >EQcont11_42 in EQcheck; >EQ_contst42 in ⊢ (% → ?);
2594     #EQ destruct(EQ) >EQi' in EQ_clean_i''; #EQ destruct(EQ)
2595     cases(IH2
2596             (mk_state ? i' (cont … st1') (store … st42) (io_info … st42))
2597             abs_tail_cont abs_top'''')
2598     [2: whd >EQ_contst42 normalize nodelta % // % // % // % // @EQi' ]
2599     #abs_top_1 * #abs_tail_1 * #st5' * #t2' **** #Hst5_st5' #EQcosts'
2600     #EQlen'  #stack_safety2 #pre_t2' %{abs_top_1} %{abs_tail_1} %{st5'} %{(t_ind … (t1' @ (t_ind … t2')))}
2601     [3: @hide_prf @(call …  EQcode_st1' …  EQenv_it') //
2602     |1: @hide_prf @(ret_instr … EQcode_st41' … EQcont_st41') //
2603     |2,4: skip
2604     ]
2605     % [ %
2606     [ % [2: whd in ⊢ (??%%); @eq_f >len_append >len_append @eq_f2 //
2607           whd in ⊢ (??%%); @eq_f // ]
2608       %{Hst5_st5'} whd in match (map_labels_on_trace ??);
2609       change with (map_labels_on_trace ??) in match (foldr ?????);
2610       >map_labels_on_trace_append >get_cost_label_append
2611       whd in match (get_costlabels_of_trace ??? (t_ind …));
2612       whd in match (get_costlabels_of_trace ??? (t_ind …));
2613       >get_cost_label_append
2614       whd in match (get_costlabels_of_trace ??? (t_ind …));
2615       >map_labels_on_trace_append >EQlab_env_it >EQgen_labels
2616       whd in match (map_labels_on_trace ? [ ]);
2617       whd in match (append ? (nil ?) ?);
2618       cut (∀A.∀l: list A. [ ] @ l = l) [//] #nil_append
2619       >nil_append >nil_append >nil_append @(permute_ok … EQcosts EQcosts')
2620     | #k #i #EQcont_st3 #EQ
2621       cases(stack_safety2 … EQcont_st3 … EQ) #k1 * #EQk1 #EQlength %{k1} % //
2622     ]]
2623     %4
2624     [ normalize >EQcode_st1' normalize nodelta % #EQ destruct
2625     | %{f} % //
2626     | whd in ⊢ (?%); >EQcode_st1' normalize nodelta @I
2627     | @append_premeasurable // %3 //
2628       [ whd in match (as_classify ??); >EQcode_st41' normalize nodelta % #EQ destruct
2629       | whd %{lbl'} %
2630       ]
2631     ]
2632]
2633qed.
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.