source: LTS/Language.ma @ 3478

Last change on this file since 3478 was 3478, checked in by piccolo, 5 years ago

fixed costlabels

File size: 132.8 KB
Line 
1(**************************************************************************)
2(*       ___                                                              *)
3(*      ||M||                                                             *)
4(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5(*      ||T||                                                             *)
6(*      ||I||       Developers:                                           *)
7(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9(*      \   /                                                             *)
10(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12(*                                                                        *)
13(**************************************************************************)
14
15include "basics/types.ma".
16include "Traces.ma".
17include "basics/lists/list.ma".
18include "../src/utilities/option.ma".
19include "basics/jmeq.ma".
20
21discriminator option.
22
23record instr_params : Type[1] ≝
24{ seq_instr : DeqSet
25; io_instr : DeqSet
26; cond_instr : DeqSet
27; loop_instr : DeqSet
28; act_params_type : DeqSet
29; return_type : DeqSet
30}.
31
32
33inductive Instructions (p : instr_params) : Type[0] ≝
34 | EMPTY : Instructions p
35 | RETURN : return_type p → Instructions p
36 | SEQ : (seq_instr p) → option NonFunctionalLabel → Instructions p → Instructions p
37 | COND : (cond_instr p) → NonFunctionalLabel → Instructions p →
38                 NonFunctionalLabel → Instructions p → Instructions p →
39                       Instructions p
40 | LOOP : (loop_instr p) → NonFunctionalLabel → Instructions p →
41                  NonFunctionalLabel → Instructions p → Instructions p
42 | CALL : FunctionName → (act_params_type p) → option ReturnPostCostLabel →
43            Instructions p → Instructions p
44 | IO : NonFunctionalLabel → (io_instr p) → NonFunctionalLabel → Instructions p →
45             Instructions p.
46
47let rec eq_instructions (p : instr_params) (i : Instructions p)
48 on i : (Instructions p) → bool ≝
49match i with
50[ EMPTY ⇒ λi'.match i' with [ EMPTY ⇒ true | _ ⇒ false ]
51| RETURN x ⇒ λi'.match i' with [ RETURN y ⇒ x == y | _ ⇒ false ]
52| SEQ x lab instr ⇒ λi'.match i' with
53                      [ SEQ y lab' instr' ⇒ x == y ∧ eq_instructions … instr instr' ∧
54                              match lab with [ None ⇒ match lab' with [ None ⇒ true | _ ⇒ false ]
55                                             | Some l1 ⇒ match lab' with [Some l2 ⇒ eq_nf_label l1 l2 | _ ⇒ false]
56                                             ]
57                      | _ ⇒ false
58                      ]
59| COND x ltrue i1 lfalse i2 i3 ⇒ λi'.match i' with
60                          [ COND y ltrue' i1' lfalse' i2' i3' ⇒
61                             x == y ∧ eq_nf_label ltrue ltrue' ∧
62                             eq_instructions … i1 i1' ∧ eq_nf_label lfalse lfalse' ∧
63                             eq_instructions … i2 i2' ∧ eq_instructions … i3 i3'
64                         | _ ⇒ false
65                         ]
66| LOOP x ltrue i1 lfalse i2 ⇒ λi'.match i' with
67              [ LOOP y ltrue' i1' lfalse' i2' ⇒ x == y ∧
68                      eq_instructions … i1 i1' ∧ eq_nf_label ltrue ltrue' ∧
69                      eq_instructions … i2 i2'
70              | _ ⇒ false
71              ]
72| CALL f act_p r_lb i1 ⇒ λi'.match i' with
73             [ CALL f' act_p' r_lb' i1' ⇒ eq_function_name f f' ∧
74                       act_p == act_p' ∧ eq_instructions … i1 i1' ∧
75                       match r_lb with [ None ⇒ match r_lb' with [None ⇒ true | _ ⇒ false]
76                                       | Some z ⇒ match r_lb' with [Some w ⇒  eq_return_cost_lab z w | _ ⇒ false ]
77                                       ]
78            | _ ⇒ false
79            ]
80| IO lin io lout i1 ⇒ λi'.match i' with
81             [ IO lin' io' lout' i1' ⇒ eq_nf_label lin lin' ∧ io == io' ∧
82                                       eq_nf_label lout lout' ∧ eq_instructions … i1 i1'
83             | _ ⇒ false                                       
84             ]
85].
86
87
88(*
89lemma eq_instructions_elim : ∀ P : bool → Prop.∀p,i1,i2.(i1 = i2 → P true) →
90(i1 ≠ i2 → P false) → P (eq_instructions p i1 i2).
91#P #p #i1 elim i1
92[* normalize [/2/ ] #x [|*: #y #z [2,3: #w1 #w2 [#w3] |4,5: #w1]] #_ #H2 @H2 % #EQ
93  lapply (eq_to_jmeq ??? EQ) #EQ' destruct(EQ')
94| #rt * normalize [2: #rt' cases (dec_eq … rt rt') #H [>(\b H) | >(\bf H) ] /2/
95  #_ #K @K % #abs lapply (eq_to_jmeq ??? abs) #abs' destruct(abs') @(absurd ?? H) //]
96  [|*: #x #y #z [2,3: #w1 #w2 [#w3] |4,5: #w1]] #_ #H2 @H2 % #EQ
97  lapply (eq_to_jmeq ??? EQ) #EQ' destruct(EQ')
98| #seq * [| #lbl] #i #IH * normalize
99  [1,8: |2,9: #t_t |3,10: #seq1 #opt_l #i2 |4,11: #cond #ltrue #i_t #lfalse #i_f #i_c
100  |5,12: #cond #ltrue #i_t #lfalse #i_f |6,13: #f #act_p #ret #i3 |*: #lin #io #lout #i3]
101  #H1 #H2 try(@H2 % #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct)
102  inversion(?==?) normalize nodelta
103  [2,4: #ABS @H2 % #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct
104        >(\b (refl …)) in ABS; #EQ destruct]
105  #EQseq inversion(eq_instructions ???) normalize nodelta #Heq_i2
106  [2,4: @H2 % #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct
107*)
108
109record env_params : Type[1] ≝
110{ form_params_type : Type[0]
111}.
112
113record signature (p : env_params) (p' : instr_params) : Type[0] ≝
114{ f_name : FunctionName
115; f_pars : form_params_type p
116; f_ret : return_type p'
117}.
118
119record env_item (p : env_params) (p' : instr_params) : Type[0] ≝
120{ f_sig :> signature p p'
121; f_lab : CallCostLabel
122; f_body : Instructions p'
123}.
124
125record state_params : Type[1] ≝
126{ i_pars :> instr_params
127; e_pars :> env_params
128; store_type : DeqSet
129}.
130
131record state (p : state_params) : Type[0] ≝
132{ code : Instructions p
133; cont : list (ActionLabel × (Instructions p))
134; store : store_type p
135; io_info : bool
136}.
137
138definition is_io : ∀p.state p → Prop ≝ λp,st.io_info … st = true.
139
140record sem_state_params (p : state_params) : Type[0] ≝
141{ eval_seq : seq_instr p → (store_type p) → option (store_type p)
142; eval_io : io_instr p → store_type p → option (store_type p)
143; eval_cond_cond : cond_instr p → store_type p → option (bool × (store_type p))
144; eval_loop_cond : loop_instr p → store_type p → option (bool × (store_type p))
145; eval_call : signature p p → act_params_type p → store_type p → option (store_type p)
146; eval_after_return : return_type p → store_type p → option (store_type p)
147; init_store : store_type p
148}.
149
150
151let rec lookup (p : env_params) (p' : instr_params) (l : list (env_item p p'))
152 on l : FunctionName → option (env_item p p') ≝
153match l with
154[ nil ⇒ λ_.None ?
155| cons x xs ⇒  λf.if (eq_function_name f (f_name … x))
156                  then Some ? x
157                  else lookup … xs f
158].
159
160definition is_ret_call_act : ActionLabel → Prop ≝
161λa.match a with [ret_act _ ⇒ True | call_act _ _ ⇒ True | _ ⇒ False ].
162
163inductive execute_l (p : state_params) (p' : sem_state_params p) (env : list (env_item p p)) :
164                                         ActionLabel → relation (state p) ≝
165| empty : ∀st,st',hd,tl.(code ? st) = (EMPTY p)→ (cont ? st) = hd :: tl →
166           (code ? st') = \snd hd → (cont … st') = tl → (store … st) = (store … st') →
167           (io_info … st = true → is_non_silent_cost_act (\fst hd)) →  (io_info … st') = false → ¬ is_ret_call_act (\fst hd) →  execute_l … (\fst hd) st st'
168| seq_sil : ∀st,st',i,cd,s,opt_l.(code ? st) = SEQ … i opt_l cd →
169             eval_seq … p' i (store … st) = return s → (code ? st') = cd →
170             (cont … st) = (cont … st') → (store … st') = s →
171             io_info … st = false →  io_info ? st' = false → execute_l … (cost_act opt_l) st st'
172| cond_true : ∀st,st',exp,ltrue,i_true,lfalse,i_false,cd,new_m.
173   (code ? st) = COND … exp ltrue i_true lfalse i_false cd → eval_cond_cond … p' exp (store … st) = return 〈true,new_m〉 →
174   cont ? st' = 〈cost_act (None ?),cd〉 ::(cont … st) → code … st' = i_true → store … st' = new_m →
175   io_info … st = false →  io_info … st' = false → execute_l … (cost_act (Some ? ltrue)) st st'
176| cond_false : ∀st,st',exp,ltrue,i_true,lfalse,i_false,cd,new_m.
177   (code ? st) = COND … exp ltrue i_true lfalse i_false cd → eval_cond_cond … p' exp (store … st) = return 〈false,new_m〉 →
178   cont ? st' = 〈cost_act (None ?),cd〉 ::(cont … st) → code … st' = i_false → store … st' = new_m →
179   io_info … st = false →  io_info … st' = false → execute_l … (cost_act (Some ? lfalse)) st st'
180| loop_true : ∀st,st',exp,ltrue,i_true,lfalse,i_false,new_m.
181   code ? st = LOOP … exp ltrue i_true lfalse i_false → eval_loop_cond … p' exp (store … st) = return 〈true,new_m〉 →
182   cont ? st' = 〈cost_act (None ?),LOOP … exp ltrue i_true lfalse i_false〉 :: (cont … st) →
183   code … st' = i_true → store … st' = new_m → io_info … st = false →  io_info … st' = false →
184   execute_l … (cost_act (Some ? ltrue)) st st'
185| loop_false : ∀st,st',exp,ltrue,i_true,lfalse,i_false,new_m.
186   code ? st = LOOP … exp ltrue i_true lfalse i_false → eval_loop_cond … p' exp (store … st) = return 〈false,new_m〉 →
187   cont ? st' = cont … st → code … st' = i_false → store … st' = new_m →
188   io_info … st = false →  io_info … st' = false → execute_l … (cost_act (Some ? lfalse)) st st'
189| io_in : ∀st,st',lin,io,lout,cd,mem.(code ? st) = IO … lin io lout cd →
190    eval_io … p' io (store … st) = return mem → code ? st' = EMPTY p →
191    cont … st' = 〈cost_act (Some ? lout),cd〉 :: (cont … st) → store … st' = mem →
192    io_info … st' = true → execute_l … (cost_act (Some ? lin)) st st'
193| call : ∀st,st',f,act_p,r_lb,cd,mem,env_it.(code ? st) = CALL … f act_p r_lb cd →
194    lookup … env f = return env_it →
195    eval_call ? p' env_it act_p (store … st) = return mem →
196    store ? st' = mem → code … st' = f_body … env_it →
197     cont … st' =
198       〈(ret_act r_lb),cd〉 :: (cont … st) → 
199    io_info … st = false →  (io_info … st') = false →
200    execute_l … (call_act f (f_lab ?? env_it)) st st'
201| ret_instr : ∀st,st',r_t,mem,tl',rb,cd.code ? st = RETURN … r_t →
202   cont … st = 〈ret_act rb,cd〉 :: tl' → cont ? st' = tl' →
203   io_info … st = false →  io_info ? st' = false →
204   eval_after_return … p' r_t (store … st) = return mem → code … st' = cd →
205   store … st' = mem → execute_l … (ret_act rb) st st'.
206   
207let rec get_labels_of_code (p : instr_params) (i : Instructions p) on i : list CostLabel ≝
208match i with
209[ EMPTY ⇒ [ ]
210| RETURN x ⇒ [ ]
211| SEQ x lab instr ⇒ let ih ≝ get_labels_of_code … instr in
212  match lab with [ None ⇒ ih | Some lbl ⇒ a_non_functional_label lbl :: ih ]
213| COND x ltrue i1 lfalse i2 i3 ⇒
214   let ih3 ≝ get_labels_of_code … i3 in
215   let ih2 ≝ get_labels_of_code … i2 in
216   let ih1 ≝ get_labels_of_code … i1 in
217   ltrue :: lfalse :: (ih1 @ ih2 @ih3)
218| LOOP x ltrue i1 lfalse i2 ⇒
219   let ih2 ≝ get_labels_of_code … i2 in
220   let ih1 ≝ get_labels_of_code … i1 in
221   a_non_functional_label ltrue :: a_non_functional_label lfalse :: (ih1 @ ih2)
222| CALL f act_p r_lb i1 ⇒
223   let ih1 ≝ get_labels_of_code … i1 in
224   match r_lb with [ None ⇒ ih1 | Some lbl ⇒ a_return_post lbl :: ih1]
225| IO lin io lout i1 ⇒
226   let ih1 ≝ get_labels_of_code … i1 in
227   a_non_functional_label lin :: a_non_functional_label lout :: ih1
228].
229
230include "basics/lists/listb.ma".
231include "../src/utilities/hide.ma".
232
233let rec no_duplicates (A : DeqSet) (l : list A) on l : Prop ≝
234match l with
235[ nil ⇒ True
236| cons x xs ⇒ ¬ (bool_to_Prop (x ∈ xs)) ∧ no_duplicates … xs
237].
238
239lemma no_duplicates_append_r : ∀A : DeqSet.∀l1,l2 : list A.no_duplicates … (l1 @ l2) →
240no_duplicates … l2.
241#A #l1 elim l1 // #x #xs normalize #IH #l2 * /2/
242qed.
243
244lemma no_duplicates_append_l : ∀A : DeqSet.∀l1,l2 : list A.no_duplicates … (l1 @ l2) →
245no_duplicates … l1.
246#A #l1 elim l1 // #x #xs normalize #IH #l2 * #H1 #H2 % [2: /2/ ]
247inversion(x ∈ xs @l2) in H1; normalize [ #_ * #H @⊥ @H %] #H1 #_
248% inversion(x ∈ xs) normalize [2: //] #H3 #_ >(memb_append_l1 … H3) in H1;
249#EQ destruct(EQ)
250qed.
251   
252record Program (p : env_params) (p' : instr_params) : Type[0] ≝
253{ env : list (env_item p p')
254; main : Instructions p'
255}.
256
257
258definition no_duplicates_labels : ∀p,p'.Program p p' → Prop ≝
259λp,p',prog.
260   no_duplicates …
261    (foldr … (λitem,acc.((a_call (f_lab … item)) :: get_labels_of_code … (f_body … item)) @ acc) (get_labels_of_code … (main … prog)) (env … prog)).
262
263lemma no_duplicates_domain_of_fun:
264 ∀p,p',prog.no_duplicates_labels … prog →
265 ∀f,env_it.lookup p p' (env … prog) f = return env_it →
266 no_duplicates … (get_labels_of_code … (f_body … env_it)).
267#p #p' * #env elim env [ #main normalize #_ #f #env_it #EQ destruct(EQ)]
268#x #xs #IH #main whd in ⊢ (% → ?); whd in match (foldr ?????); #H #f #env_it
269whd in ⊢ (??%? → ?); @eq_function_name_elim normalize nodelta
270[ whd in ⊢ (? → ???% → ?); #EQ1 #EQ2 destruct(EQ1 EQ2) cases H #_ /2/ ]
271#H1 #EQenv_it @IH cases H /2/
272qed.
273
274
275definition is_synt_succ : ∀p.relation (state p) ≝ λp,s1,s2.cont … s1 = cont … s2 ∧
276 match (code … s1) with
277 [ CALL f act_p r_lb i1 ⇒ code … s2 = i1
278 | _ ⇒ False
279 ].
280
281definition operational_semantics : ∀p : state_params.∀p'.Program p p → abstract_status ≝
282λp,p',prog.mk_abstract_status
283                (state p)
284                (execute_l ? p' (env … prog))
285                (is_synt_succ …)
286                (λs.match (code … s) with
287                    [ COND _ _ _ _ _ _ ⇒ cl_jump
288                    | LOOP _ _ _ _ _ ⇒ cl_jump
289                    | EMPTY ⇒ if io_info … s then cl_io else cl_other
290                    | _ ⇒ cl_other
291                    ])
292                (λs.match (code … s) with
293                    [CALL _ _ m _ ⇒ match m with [ Some _ ⇒ true | None ⇒ false ]
294                    | _ ⇒ false
295                    ])
296                (λs.eq_instructions … (code … s) (main … prog) ∧ isnilb … (cont … s) ∧ store … s == init_store … p' ∧ io_info … s)
297                (λs.match (cont … s) with
298                    [ nil ⇒ match (code … s) with
299                            [ EMPTY ⇒ true
300                            | RETURN _ ⇒ true
301                            | _ ⇒ false
302                            ]
303                    | _ ⇒ false
304                    ])
305                ???.
306@hide_prf
307[ #s1 #s2 #l #H #H1 inversion H1 #st #st'
308 [ #hd #tl
309 | #i #cd #s #opt_l
310 |3,4: #exp #ltrue #i_true #lfalse #i_false #cd #new_m
311 |5,6: #exp #ltrue #i_true #lfalse #ifalse #new_m
312 | #lin #io #lout #cd #mem
313 | #f #act_p #r_lb #cd #mem #env_it
314 | #r_t #mem #tl #rb #cd
315 ]
316 #EQcode
317 [ #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #x #EQ5 #H2 #EQ' #EQ6 #EQ7
318 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9
319 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9
320 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9
321 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9
322 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9
323 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8
324 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9 #EQ10
325 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9 #EQ10
326 ]
327 #_ destruct >EQcode in H; normalize nodelta /2 by ex_intro/
328 [ cases(io_info ??) normalize nodelta] #EQ destruct
329| #s1 #s2 #l #H #H1 inversion H1 #st #st'
330 [ #hd #tl
331 | #i #cd #s #opt_l
332 |3,4: #exp #ltrue #i_true #lfalse #i_false #cd #new_m
333 |5,6: #exp #ltrue #i_true #lfalse #ifalse #new_m
334 | #lin #io #lout #cd #mem
335 | #f #act_p #r_lb #cd #mem #env_it
336 | #r_t #mem #tl #rb #cd
337 ]
338 #EQcode
339 [ #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #x #EQiost' #H2 #EQ' #EQ6 #EQ7
340 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
341 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
342 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
343 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
344 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
345 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQiost' #EQ6 #EQ7 #EQ8
346 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQiost' #EQ8 #EQ9 #EQ10
347 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQiost' #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9 #EQ10
348 ]
349 #_ destruct
350 cases(code ? st') in H; normalize nodelta >EQiost' normalize nodelta
351 #eq destruct try (#eq1 destruct) try (#eq2 destruct) try (#eq3 destruct)
352 try (#eq4 destruct) try (#eq5 destruct) try (#eq6 destruct) %{lin} %
353| #s1 #s2 #l #H #H1 inversion H1 #st #st'
354 [ #hd #tl
355 | #i #cd #s #opt_l
356 |3,4: #exp #ltrue #i_true #lfalse #i_false #cd #new_m
357 |5,6: #exp #ltrue #i_true #lfalse #ifalse #new_m
358 | #lin #io #lout #cd #mem
359 | #f #act_p #r_lb #cd #mem #env_it
360 | #r_t #mem #tl #rb #cd
361 ]
362 #EQcode
363 [ #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #x #EQiost' #H2 #EQ' #EQ6 #EQ7
364 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQiost #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
365 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQiost #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
366 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQiost #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
367 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQiost #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
368 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQiost #EQiost' #EQ7 #EQ8 #EQ9
369 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQiost #EQiost' #EQ6 #EQ7 #EQ8
370 | #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQiost #EQiost' #EQ8 #EQ9 #EQ10
371 | #EQ1 #EQ2 #EQiost #EQiost' #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9 #EQ10
372 ]
373 #_ destruct >EQcode in H; normalize nodelta [|*: #EQ destruct]
374 cases(io_info … st) in x; normalize nodelta [2: #_ #EQ destruct]
375 #H3 #_ @H3 %
376]
377qed.
378
379let rec eqb_list (D : DeqSet) (l1 : list D) on l1 : list D → bool ≝
380match l1 with
381[ nil ⇒ λl2.match l2 with [nil ⇒ true | _ ⇒ false ]
382| cons x xs ⇒ λl2.match l2 with [ cons y ys ⇒ x == y ∧ eqb_list … xs ys | _ ⇒ false ]
383].
384
385definition DeqSet_List : DeqSet → DeqSet ≝
386λX.mk_DeqSet (list X) (eqb_list …) ?.
387#x elim x [ * /2 by refl, conj/ #y #ys normalize % #EQ destruct] -x
388#x #xs #IH * [ normalize % #EQ destruct] #y #ys normalize % inversion(x == y)
389#EQ normalize nodelta
390[ #H >(proj1 … (IH ys) H) @eq_f2 [2: %] @(proj1 … (eqb_true …)) assumption
391| #EQ destruct
392| #EQ1 destruct @(proj2 … (IH …)) %
393| #EQ1 destruct <EQ @(proj2 … (eqb_true …)) %
394]
395qed.
396
397unification hint  0 ≔ C;
398    X ≟ DeqSet_List C
399(* ---------------------------------------- *) ⊢
400    list C ≡ carr X.
401
402
403unification hint  0 ≔ D,p1,p2;
404    X ≟ DeqSet_List D
405(* ---------------------------------------- *) ⊢
406    eqb_list D p1 p2 ≡ eqb X p1 p2.
407
408definition associative_list : DeqSet → Type[0] → Type[0] ≝
409λA,B.list (A × (list B)).
410
411let rec update_list (A : DeqSet) (B : Type[0]) (l : associative_list A B)
412   on l : A → list B → associative_list A B ≝
413λa,b.match l with
414    [ nil ⇒ [〈a,b〉]
415    | cons x xs ⇒ if (a == (\fst x)) then 〈a,b〉 :: xs
416                  else x :: (update_list … xs a b) 
417    ].
418
419let rec get_element (A :DeqSet) (B : Type[0]) (l: associative_list A B) on l : A → list B ≝
420λa.match l with [ nil ⇒ nil ?
421                | cons x xs ⇒ if (a == \fst x) then \snd x else get_element … xs a
422                ].
423
424let rec domain_of_associative_list (A :DeqSet) (B : Type[0]) (l: associative_list A B) on l : list A ≝
425 match l with
426  [ nil ⇒ []
427  | cons x xs ⇒ \fst x :: domain_of_associative_list … xs
428  ].
429
430lemma get_element_append_l:
431 ∀A,B. ∀l1,l2: associative_list A B. ∀x.
432  x ∈ domain_of_associative_list … l1 →
433   get_element … (l1@l2) x = get_element … l1 x.
434#A #B #l1 elim l1 normalize [ #l2 #x * ] #hd #tl #IH #l2 #x cases (dec_eq … x (\fst hd))
435#H [ >(\b H) | >(\bf H) ] normalize /2/
436qed.
437
438lemma get_element_append_r:
439 ∀A,B. ∀l1,l2: associative_list A B. ∀x.
440  ¬ (bool_to_Prop (x ∈ domain_of_associative_list … l1)) →
441   get_element ?? (l1@l2) x = get_element … l2 x.
442#A #B #l1 elim l1 normalize [ #l2 #x // ] #hd #tl #IH #l2 #x cases (dec_eq … x (\fst hd))
443#H [ >(\b H) | >(\bf H) ] normalize /2 by/ * #K cases (K I)
444qed.
445
446lemma get_element_append_l1 :
447 ∀A,B. ∀l1,l2: associative_list A B. ∀x.
448  ¬ (bool_to_Prop (x ∈ domain_of_associative_list … l2)) →
449   get_element ?? (l1@l2) x = get_element … l1 x.
450#A #B #l1 elim l1 normalize [2: #x #xs #IH #l2 #a #H >IH // ]
451#l2 elim l2 // #y #ys #IH #a normalize cases(a == \fst y) normalize
452[ * #H @⊥ @H % ] #H @IH assumption
453qed.
454
455lemma get_element_append_r1 :
456 ∀A,B. ∀l1,l2: associative_list A B. ∀x.
457  ¬ (bool_to_Prop (x ∈ domain_of_associative_list … l1)) →
458   get_element ?? (l1@l2) x = get_element … l2 x.
459#A #B #l1 elim l1 normalize // #x #xs #IH #l2 #a cases (?==?)
460normalize [* #H cases H //] #H >IH normalize //
461qed.
462
463definition fresh_nf_label : ℕ → NonFunctionalLabel × ℕ ≝
464λx.〈a_non_functional_label x,S x〉.
465
466definition fresh_cc_labe : ℕ → CallCostLabel × ℕ ≝
467λx.〈a_call_label x,S x〉.
468
469definition fresh_rc_label : ℕ → ReturnPostCostLabel × ℕ ≝
470λx.〈a_return_cost_label (S x),S x〉.
471
472record call_post_info (p : instr_params) : Type[0] ≝
473{ gen_labels : list CostLabel
474; t_code : Instructions p
475; fresh : ℕ
476; lab_map : associative_list DEQCostLabel CostLabel
477; lab_to_keep : list ReturnPostCostLabel
478}.
479
480let rec call_post_trans (p : instr_params) (i : Instructions p) (n : ℕ) on i :
481list CostLabel → call_post_info p ≝
482λabs.
483match i with
484[ EMPTY ⇒ mk_call_post_info ? abs (EMPTY …) n (nil ?) (nil ?)
485| RETURN x ⇒ mk_call_post_info ? abs (RETURN … x) n (nil ?) (nil ?)
486| SEQ x lab instr ⇒
487   let ih ≝ call_post_trans … instr n abs in
488   match lab with
489   [ None ⇒ mk_call_post_info ? (gen_labels … ih) (SEQ … x (None ?) (t_code … ih))
490             (fresh … ih) (lab_map … ih) (lab_to_keep … ih)
491   | Some lbl ⇒
492      mk_call_post_info ? (nil ?) (SEQ … x (Some ? lbl) (t_code …  ih)) (fresh … ih)
493      (〈a_non_functional_label lbl,(a_non_functional_label lbl :: (gen_labels … ih))〉 :: (lab_map … ih))
494      (lab_to_keep … ih)
495   ]
496| COND x ltrue i1 lfalse i2 i3 ⇒
497   let ih3 ≝ call_post_trans … i3 n abs in
498   let ih2 ≝ call_post_trans … i2 (fresh … ih3) (gen_labels … ih3) in
499   let ih1 ≝ call_post_trans … i1 (fresh … ih2) (gen_labels … ih3) in
500   mk_call_post_info ? (nil ?) (COND … x ltrue (t_code … ih1) lfalse (t_code … ih2) (t_code … ih3))
501    (fresh … ih1) 
502    (〈a_non_functional_label ltrue,(a_non_functional_label ltrue :: (gen_labels … ih1))〉::
503      〈a_non_functional_label lfalse,(a_non_functional_label lfalse :: (gen_labels … ih2))〉::
504       ((lab_map … ih1) @ (lab_map …  ih2) @ (lab_map … ih3)))
505    ((lab_to_keep … ih1) @ (lab_to_keep … ih2) @ (lab_to_keep … ih3))
506| LOOP x ltrue i1 lfalse i2 ⇒
507   let ih2 ≝ call_post_trans … i2 n abs in
508   let ih1 ≝ call_post_trans … i1 (fresh … ih2) (nil ?) in
509   mk_call_post_info ? (nil ?) (LOOP … x ltrue (t_code … ih1) lfalse (t_code … ih2)) (fresh … ih1)
510    (〈a_non_functional_label lfalse,(a_non_functional_label lfalse :: (gen_labels … ih2))〉 ::
511     〈a_non_functional_label ltrue,(a_non_functional_label ltrue :: (gen_labels … ih1))〉 ::
512      ((lab_map … ih1) @ (lab_map … ih2)))
513    ((lab_to_keep … ih1) @ (lab_to_keep … ih2))
514| CALL f act_p r_lb i1 ⇒
515   let ih ≝ call_post_trans … i1 n abs in
516   match r_lb with
517   [ None ⇒ let 〈l',f''〉 ≝ fresh_rc_label (fresh … ih) in
518       mk_call_post_info ? ((a_return_post l')::(gen_labels … ih))
519         (CALL … f act_p (Some ? l') (t_code … ih))  f'' (lab_map … ih) (lab_to_keep … ih)
520   | Some lbl ⇒
521      mk_call_post_info ? (nil ?) (CALL ? f act_p (Some ? lbl) (t_code … ih)) (fresh … ih)
522       (〈a_return_post lbl,(a_return_post lbl :: (gen_labels … ih))〉 :: (lab_map … ih))
523       (lbl :: lab_to_keep … ih)
524   ]
525| IO lin io lout i1 ⇒
526    let ih ≝ call_post_trans … i1 n abs in
527    mk_call_post_info ? (nil ?) (IO ? lin io lout (t_code … ih)) (fresh … ih)
528     (〈a_non_functional_label lout,(a_non_functional_label lout :: (gen_labels … ih))〉 ::
529      〈a_non_functional_label lin,[a_non_functional_label lin]〉 :: (lab_map … ih)) (lab_to_keep … ih)
530].
531
532
533let rec call_post_clean (p : instr_params) (i : Instructions p) on i :
534associative_list DEQCostLabel CostLabel → list ReturnPostCostLabel → list CostLabel →
535option ((list CostLabel) × (Instructions p)) ≝
536λm,keep,abs.
537 match i with
538[ EMPTY ⇒ Some ? 〈abs,EMPTY …〉
539| RETURN x ⇒ Some ? 〈abs,RETURN … x〉
540| SEQ x lab instr ⇒
541   ! 〈l,i1〉 ← call_post_clean … instr m keep abs;
542   match lab with
543   [ None ⇒ return 〈l,SEQ … x (None ?) i1〉
544   | Some lbl ⇒ if ((get_element … m lbl) == lbl :: l)
545                then return 〈nil ?,SEQ … x (Some ? lbl) i1〉
546                else None ?
547   ]
548| COND x ltrue i1 lfalse i2 i3 ⇒
549    ! 〈l3,instr3〉 ← call_post_clean … i3 m keep abs;
550    ! 〈l2,instr2〉 ← call_post_clean … i2 m keep l3;
551    ! 〈l1,instr1〉 ← call_post_clean … i1 m keep l3;
552    if ((get_element … m ltrue) == ltrue :: l1) ∧
553       ((get_element … m lfalse) == lfalse :: l2)
554    then return 〈nil ?,COND … x ltrue instr1 lfalse instr2 instr3〉
555    else None ?
556| LOOP x ltrue i1 lfalse i2 ⇒
557   ! 〈l2,instr2〉 ← call_post_clean … i2 m keep abs;
558   ! 〈l1,instr1〉 ← call_post_clean … i1 m keep (nil ?);
559   if ((get_element … m ltrue) == ltrue :: l1) ∧
560      ((get_element … m lfalse) == lfalse :: l2)
561   then return 〈nil ?,LOOP … x ltrue instr1 lfalse instr2〉
562   else None ?
563| CALL f act_p r_lb i1 ⇒
564  ! 〈l1,instr1〉 ← call_post_clean … i1 m keep abs;
565  match r_lb with
566  [ None ⇒ None ?
567  | Some lbl ⇒ if (lbl ∈ keep)
568               then if ((get_element … m lbl) == lbl :: l1)
569                    then return 〈nil ?,CALL … f act_p (Some ? lbl) instr1〉
570                    else None ?
571               else return 〈(a_return_post lbl) :: l1,CALL … f act_p (None ?) instr1〉
572  ]
573| IO lin io lout i1 ⇒
574   ! 〈l1,instr1〉 ← call_post_clean … i1 m keep abs;
575   if ((get_element … m lout) == lout :: l1) ∧ ((get_element … m lin) == [lin])
576   then return 〈nil ?,IO … lin io lout instr1〉
577   else None ?   
578].
579
580let rec foldr2 (A : Type[0]) (B : Type[0]) (C : Type[0]) (a : A) (l1 : list B)
581(l2 : list C) (f : A → B → C → A) on l1 : option A≝
582match l1 with
583[ nil ⇒ match l2 with [ nil ⇒ return a | cons y ys ⇒ None ? ]
584| cons x xs ⇒
585        match l2 with
586        [ nil ⇒ None ?
587        | cons y ys ⇒ ! ih ← (foldr2 … a xs ys f);
588                      return f ih x y
589        ]
590].
591
592definition is_silent_cost_act_b : ActionLabel → bool ≝
593λact. match act with
594 [ cost_act x ⇒ match x with [None ⇒ true | _ ⇒ false ] | _ ⇒ false].
595
596definition eq_ActionLabel : ActionLabel → ActionLabel → bool ≝
597λc1,c2.
598match c1 with
599[ call_act f l ⇒ match c2 with [ call_act f' l' ⇒ f == f' ∧ l == l' | _ ⇒ false]
600| ret_act x ⇒ match c2 with [ret_act y ⇒ match x with [ None ⇒ match y with [ None ⇒ true | _ ⇒ false]
601                                                      | Some l ⇒ match y with [ Some l' ⇒ l == l' | _ ⇒ false]
602                                                      ]
603                            | _ ⇒ false
604                            ]
605| cost_act x ⇒ match c2 with [cost_act y ⇒ match x with [ None ⇒ match y with [ None ⇒ true | _ ⇒ false]
606                                                        | Some l ⇒ match y with [ Some l' ⇒ l == l' | _ ⇒ false]
607                                                        ]
608                             | _ ⇒ false
609                             ]
610| init_act ⇒ match c2 with [init_act ⇒ true | _ ⇒ false]
611].
612
613definition ret_costed_abs : list ReturnPostCostLabel → option ReturnPostCostLabel → option CostLabel ≝
614λkeep,x.
615 match x with
616              [ Some lbl ⇒ if lbl ∈ keep then return (a_return_post lbl)
617                           else None ?
618              | None ⇒ None ?
619              ].
620
621
622definition check_continuations : ∀p : instr_params.
623∀l1,l2 : list (ActionLabel × (Instructions p)).
624associative_list DEQCostLabel CostLabel →
625list ReturnPostCostLabel →  option (Prop × (list CostLabel) × (list CostLabel)) ≝
626λp,cont1,cont2,m,keep.
627foldr2 ??? 〈True,nil ?,nil ?〉 cont1 cont2
628 (λx,y,z.
629   let 〈cond,abs_top',abs_tail'〉 ≝ x in
630   match call_post_clean p (\snd z) m keep abs_top' with
631   [ None ⇒ 〈False,nil ?,nil ?〉
632   | Some w ⇒
633      match \fst z with
634       [ ret_act opt_x ⇒
635           match ret_costed_abs keep opt_x with
636           [ Some lbl ⇒ 〈\fst y = \fst z ∧ cond ∧ \snd w = \snd y ∧
637                               get_element … m lbl = lbl :: (\fst w),(nil ?),abs_tail'〉
638           | None ⇒
639              〈\fst y = ret_act (None ?) ∧ cond ∧ \snd w = \snd y,(nil ?),(\fst w) @ abs_tail'〉
640           ]
641       | cost_act opt_x ⇒
642           match opt_x with
643           [ None ⇒ 〈\fst y = \fst z ∧ cond ∧ \snd w = \snd y,\fst w,abs_tail'〉
644           | Some xx ⇒ 〈\fst y = \fst z ∧ cond ∧ \snd w = \snd y ∧
645                               get_element … m xx = xx :: (\fst w),(nil ?),abs_tail'〉]
646       | _ ⇒ (* dummy *) 〈False,nil ?,nil ?〉]]).
647
648(*
649definition check_continuations : ∀p : instr_params.
650∀l1,l2 : list (ActionLabel × (Instructions p)).
651associative_list DEQCostLabel CostLabel → list CostLabel → list CostLabel →
652list (list CostLabel) →  option (Prop × (list CostLabel) × (list (list CostLabel))) ≝
653λp,cont1,cont2,m,keep,abs_top,abs_tail.
654foldr2 ??? 〈True,abs_top,abs_tail〉 cont1 cont2
655 (λx,y,z.
656   let 〈cond,abs_top',abs_tail'〉 ≝ x in
657   match call_post_clean p (\snd z) m keep abs_top' with
658   [ None ⇒ 〈False,nil ?,nil ?〉
659   | Some w ⇒
660      match \fst z with
661       [ ret_act opt_x ⇒
662           match ret_costed_abs keep opt_x with
663           [ Some lbl ⇒ 〈\fst y = \fst z ∧ cond ∧ \snd w = \snd y ∧
664                               get_element … m lbl = lbl :: (\fst w),(nil ?),(nil ?) :: abs_tail'〉
665           | None ⇒
666              〈\fst y = ret_act (None ?) ∧ cond ∧ \snd w = \snd y,(nil ?),(\fst w) :: abs_tail'〉
667           ]
668       | cost_act opt_x ⇒
669           match opt_x with
670           [ None ⇒ 〈\fst y = \fst z ∧ cond ∧ \snd w = \snd y,\fst w,abs_tail'〉
671           | Some xx ⇒ 〈\fst y = \fst z ∧ cond ∧ \snd w = \snd y ∧
672                               get_element … m xx = xx :: (\fst w),(nil ?),abs_tail'〉]
673       | _ ⇒ (* dummy *) 〈False,nil ?,nil ?〉]]). *)
674(* in input :
675     abs_top is the list of labels to be propageted to the deepest level of the call stack
676     abs_tail are the lists of labels to be propagated to the levels "below" the deepest level
677   in output :
678     abs_top is the list of labels to be propageted from the current level of the call stack
679     abs_tail are the lists of labels to be propagated from the levels "below" the current level
680  *)       
681       
682
683definition state_rel : ∀p.
684associative_list DEQCostLabel CostLabel → list ReturnPostCostLabel → list CostLabel →(list CostLabel) →
685relation (state p) ≝ λp,m,keep,abs_top,abs_tail,st1,st2.
686match check_continuations ? (cont ? st1) (cont … st2) m keep with
687[ Some x ⇒ let 〈prf1,abs_top',abs_tail'〉 ≝ x in
688           prf1 ∧ call_post_clean … (code … st2) m keep abs_top' = return 〈abs_top,(code … st1)〉
689           ∧ store … st1 = store … st2 ∧ io_info … st1 = io_info … st2 ∧ abs_tail = abs_tail'
690| None ⇒ False
691].
692
693include "Simulation.ma".
694
695let rec len (s : abstract_status) (st1 : s) (st2 : s) (t : raw_trace s st1 st2)
696on t : ℕ ≝
697match t with
698[ t_base s ⇒ O
699| t_ind s1 s2 s3 l prf lt ⇒ S (len … lt)
700].
701(*
702lemma associative_max : ∀n1,n2,n3.max (max n1 n2) n3 = max n1 (max n2 n3).
703#n1 #n2 #n3 normalize @leb_elim normalize
704[ @leb_elim normalize
705  [ #H1 #H2 @leb_elim normalize
706    [ @leb_elim normalize // * #H @⊥ @H assumption 
707    | @leb_elim normalize
708      [ #H3 * #H @⊥ @H @(transitive_le … H1) assumption
709      | * #H @⊥ @H assumption
710      ]
711    ]
712  | #H1 #H2 @leb_elim normalize
713    [ @leb_elim normalize // #_ #H cases H1 #H1 @⊥ @H1 assumption
714    | @leb_elim normalize
715      [ #_ * #H @⊥ @H assumption
716      | * #H @⊥ @H @(transitive_le … H2)
717*)
718let rec compute_max_n (p : instr_params) (i : Instructions p) on i : ℕ ≝
719match i with
720[ EMPTY ⇒ O
721| RETURN x ⇒ O
722| SEQ x lab instr ⇒ let n ≝ compute_max_n … instr in
723                    match lab with
724                    [ None ⇒ n
725                    | Some l ⇒
726                        match l with
727                        [ a_non_functional_label n' ⇒ S (max n n') ]
728                    ]
729| COND x ltrue i1 lfalse i2 i3 ⇒
730  let n1 ≝ compute_max_n … i1 in
731  let n2 ≝ compute_max_n … i2 in
732  let n3 ≝ compute_max_n … i3 in
733  let mx ≝ max (max n1 n2) n3 in
734  match ltrue with
735  [ a_non_functional_label lt ⇒
736    match lfalse with
737    [a_non_functional_label lf ⇒ S (max (max mx lt) lf) ] ]
738| LOOP x ltrue i1 lfalse i2 ⇒
739   let n1 ≝ compute_max_n … i1 in
740   let n2 ≝ compute_max_n … i2 in
741   let mx ≝ max n1 n2 in
742   match ltrue with
743  [ a_non_functional_label lt ⇒
744    match lfalse with
745    [a_non_functional_label lf ⇒ S (max (max mx lt) lf) ] ]
746| CALL f act_p r_lb i1 ⇒
747   let n ≝ compute_max_n … i1 in
748   match r_lb with
749   [ None ⇒ n
750   | Some lbl ⇒ match lbl with [a_return_cost_label l ⇒ S(max l n) ]
751   ]
752| IO lin io lout i1 ⇒
753  let n ≝ compute_max_n … i1 in
754  match lin with
755  [a_non_functional_label l1 ⇒
756    match lout with
757    [a_non_functional_label l2 ⇒ S(max (max n l1) l2) ] ]
758].
759
760
761definition same_fresh_map_on : list CostLabel →
762relation (associative_list DEQCostLabel CostLabel) ≝
763λdom,m1,m2.∀x.bool_to_Prop (x ∈ dom) → get_element … m1 x = get_element … m2 x.
764
765definition same_to_keep_on : list CostLabel → relation (list ReturnPostCostLabel) ≝
766λdom,keep1,keep2.∀x. bool_to_Prop (a_return_post x ∈ dom) → (x ∈ keep1) = (x ∈ keep2).
767
768lemma memb_not_append : ∀D : DeqSet.∀l1,l2 : list D.∀x : D.
769x ∈ l1 = false → x ∈ l2 = false → x ∈ (l1 @ l2) = false.
770#D #l1 elim l1
771[ #l2 #x #_ #H @H ]
772#x #xs #IH #l2 #x1 whd in match (memb ???); inversion (x1 == x) normalize nodelta
773[ #_ #EQ destruct] #EQx1 #EQxs #EQl2 whd in match (memb ???); >EQx1
774normalize nodelta @IH //
775qed.
776
777lemma memb_no_duplicates_append : ∀A : DeqSet.∀x.∀l1,l2 : list A .
778no_duplicates … (l1 @ l2) → x ∈  l1 → x ∈ l2 → False.
779#A #x #l1 elim l1 // #x1 #xs #IH #l2 * #H1 #H2 whd in match (memb ???);
780inversion (x == x1) normalize nodelta
781[ #H3 #_ #H4 >memb_append_l2 in H1; [2: <(\P H3) @H4 ] * #H @H %
782| #_ @IH //
783]
784qed.
785
786
787lemma same_to_keep_on_append : ∀dom1,dom2,dom3 : list CostLabel.
788∀l1,l2,l3,l : list ReturnPostCostLabel.
789no_duplicates … (dom1@dom2@dom3) → (∀x.x ∈ l1 → a_return_post x ∈ dom1) →
790(∀x.x ∈ l3 → a_return_post x ∈ dom3) →
791same_to_keep_on (dom1@dom2@dom3) (l1@l2@l3) l →
792same_to_keep_on dom2 l2 l.
793#dom1 #dom2 #dom3 #l1 #l2 #l3 #l #no_dup #sub_set1 #sub_set3 #H2
794#x #Hx inversion (x ∈ l2)
795 [ #EQkeep <H2 [> memb_append_l2 // >memb_append_l1 // ]
796   >memb_append_l2 // >memb_append_l1 // >Hx //
797 | #EQno_keep <H2
798   [2: >memb_append_l2 // >memb_append_l1 // >Hx //
799   | @sym_eq @memb_not_append [2: @memb_not_append //]
800   [ <associative_append in no_dup; #no_dup ]
801   lapply(memb_no_duplicates_append … (a_return_post x) … no_dup) #H
802   inversion(memb ???) // #H1 cases H
803   [1,4: [>memb_append_l2 | >memb_append_l1] // >Hx //
804   | @sub_set3 >H1 //
805   | @sub_set1 >H1 //
806   ]
807   ]
808 ]
809qed.
810
811lemma same_fresh_map_on_append : ∀dom1,dom2,dom3,l1,l2,l3,l.
812no_duplicates … (dom1 @dom2 @ dom3) → (∀x.x ∈ domain_of_associative_list … l1 → x ∈ dom1) →
813(∀x.x ∈ domain_of_associative_list … l3 → x ∈ dom3) →
814same_fresh_map_on … (dom1 @dom2 @dom3) (l1 @l2 @ l3) l →
815same_fresh_map_on … dom2 l2 l.
816#dom1 #dom2 #dom3 #l1 #l2 #l3 #l #no_dup #subset1 #subset3 whd in ⊢ (% → ?); #H1
817whd #x #Hx <H1
818[2: >memb_append_l2 // >memb_append_l1 // >Hx //]
819>get_element_append_r [ >get_element_append_l1 // ] % #K
820[ lapply(subset3 … K) | lapply(subset1 … K) ] #ABS
821[ <associative_append in no_dup; #no_dup] @(memb_no_duplicates_append … x … no_dup)
822// [>memb_append_l2 | >memb_append_l1 ] // >Hx //
823qed.
824
825
826lemma lab_to_keep_in_domain : ∀p.∀i : Instructions p.
827∀x,n,l.
828x ∈ lab_to_keep … (call_post_trans … i n l) → a_return_post x ∈ get_labels_of_code …  i.
829#p #i elim i //
830[ #seq #opt_l #instr #IH #x #n #l whd in match (call_post_trans ????);
831  cases opt_l -opt_l normalize nodelta [|#lbl]
832  whd in match (get_labels_of_code ??); #H [2: @orb_Prop_r] /2/
833| #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #IH1 #IH2 #IH3 #x #n #l
834  whd in match (call_post_trans ????); whd in match (get_labels_of_code ??);
835  #H cases(memb_append … H) -H #H @orb_Prop_r @orb_Prop_r
836  [ >memb_append_l1 // @IH1 [3: >H // |*: ]
837  | >memb_append_l2 // cases(memb_append … H) -H #H
838     [>memb_append_l1 // @IH2 [3: >H // |*: ]
839     | >memb_append_l2 // @IH3 [3: >H // |*: ]
840     ]
841  ]
842| #loop #ltrue #i1 #lfalse #i2 #IH1 #IH2 #x #n #l
843  whd in match (call_post_trans ????); whd in match (get_labels_of_code ??);
844  #H cases(memb_append … H) -H #H @orb_Prop_r @orb_Prop_r
845  [ >memb_append_l1 | >memb_append_l2 ] // [ @IH1 | @IH2 ] [3,6: >H |*: ] //
846| #f #act_p * [|#lbl] #i1 #IH #x #n #l whd in match (call_post_trans ????);
847  whd in match (get_labels_of_code ??); /2/ whd in match (memb ???);
848  inversion(x == lbl) #Hlbl normalize nodelta
849  [*  >(\P Hlbl) @orb_Prop_l @eq_costlabel_elim // * #H @H %
850  | #H @orb_Prop_r @IH //
851  ]
852| #lin #io #lout #i1 #IH #x #n #l whd in match (call_post_trans ????);
853  whd in match (get_labels_of_code ??); #H @orb_Prop_r @orb_Prop_r @IH //
854]
855qed.
856
857lemma domain_of_associative_list_append : ∀A,B.∀l1,l2 : associative_list A B.
858domain_of_associative_list ?? (l1 @ l2) =
859 (domain_of_associative_list ?? l1) @ (domain_of_associative_list ?? l2).
860#A #B #l1 elim l1 // #x #xs #IH #l2 normalize //
861qed.
862
863lemma lab_map_in_domain: ∀p.∀i: Instructions p.
864 ∀x,n,l.
865  x ∈ domain_of_associative_list … (lab_map p (call_post_trans … i n l)) →
866   x ∈ get_labels_of_code … i.
867#p #i elim i //
868[ #seq * [|#lbl] #i1 #IH #x #n #l whd in match(call_post_trans ????);
869  whd in match (get_labels_of_code ??); /2/ whd in match (memb ???);
870  inversion(x==lbl) #Hlbl normalize nodelta [#_ whd in match (memb ???); >Hlbl % ]
871  #H >memb_cons // @IH //
872| #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #IH1 #IH2 #IH3 #x #n #l
873  whd in match (call_post_trans ????); whd in match (memb ???);
874  whd in match (get_labels_of_code ??); inversion(x == ltrue) #Hlbl normalize nodelta
875  [ #_ whd in match (memb ???); >Hlbl % ] whd in match (memb ???);
876  inversion(x == lfalse) #Hlbl1 normalize nodelta
877  [ #_ whd in match (memb ???); >Hlbl normalize nodelta whd in match (memb ???);
878    >Hlbl1 % ] #H >memb_cons // >memb_cons // >domain_of_associative_list_append in H;
879    #H cases(memb_append … H) [ #H1 >memb_append_l1 // @IH1 [3: >H1 // |*:] ]
880    >domain_of_associative_list_append #H1 cases(memb_append … H1)
881    #H2 >memb_append_l2 // [ >memb_append_l1 | >memb_append_l2 ] //
882    [ @IH2 | @IH3] /2 by eq_true_to_b/
883| #loop #ltrue #i1 #lfalse #i2 #IH1 #IH2 #x #n #l whd in match (call_post_trans ????);
884  whd in match (get_labels_of_code ??); whd in match (memb ???); inversion(x == lfalse)
885  #Hlfalse normalize nodelta [ #_ >memb_cons // whd in match (memb ???); >Hlfalse // ]
886  whd in match (memb ???); inversion(x==ltrue) normalize nodelta #Hltrue
887  [ #_ whd in match (memb ???); >Hltrue %] >domain_of_associative_list_append #H
888  cases(memb_append … H) #H1 >memb_cons // >memb_cons // [ >memb_append_l1 | >memb_append_l2 ]
889  // [ @IH1 | @IH2] /2/
890| #f #act_p * [|#lbl] #i1 #IH #x #n #l whd in match (call_post_trans ????);
891  whd in match (get_labels_of_code ??); /2/ whd in match (memb ???); inversion (x == lbl)
892  #Hlbl normalize nodelta [ #_ whd in match (memb ???); >Hlbl % ] #H >memb_cons // @IH /2/
893| #lin #io #lout #i1 #IH #x #n #l whd in match (memb ???); inversion(x == lout) #Hlout
894  normalize nodelta [ #_ >memb_cons // whd in match (memb ???); >Hlout % ]
895  whd in match (memb ???); inversion(x==lin) #Hlin normalize nodelta
896  [ #_ whd in match (memb ???); >Hlin % ] #H >memb_cons // >memb_cons // @IH /2/
897]
898qed.
899
900lemma eq_a_non_functional_label :
901∀c1,c2.c1 == c2 → a_non_functional_label c1 == a_non_functional_label c2.
902#c1 #c2 #EQ cases(eqb_true DEQNonFunctionalLabel c1 c2) #H1 #_ lapply(H1 (eq_true_to_b … EQ)) -EQ
903#EQ destruct >(\b (refl …)) @I
904qed.
905
906let rec is_fresh_for_return (keep : list CostLabel) (n : ℕ) on keep : Prop ≝
907match keep with
908[ nil ⇒ True
909| cons x xs ⇒ let ih ≝ is_fresh_for_return xs n in
910              match x with
911              [ a_return_post y ⇒ match y with [a_return_cost_label m ⇒ m ≤ n ∧ ih ]
912              | _ ⇒ ih
913              ]
914].
915
916lemma fresh_ok_call_post_trans : ∀p : instr_params.∀i1 : Instructions p.∀n : ℕ.∀l.
917n ≤ fresh … (call_post_trans p i1 n l).
918#p #i1 elim i1 normalize /2 by transitive_le, le_n/
919[ #seq * [|#lbl] #i2 #IH #n #l normalize /2 by /
920| #cond #ltrue #i_true #lfalse #i_false #i2 #IH1 #IH2 #IH3 #n #l
921  @(transitive_le … (IH3 …)) [2: @(transitive_le … (IH2 …)) [2: @(transitive_le … (IH1 …)) ]] //
922| #f #act_p * [|#lbl] normalize #i2 #IH /2 by le_S/
923]
924qed.
925
926lemma fresh_keep_n_ok : ∀n,m,l.
927is_fresh_for_return l n → n ≤ m → is_fresh_for_return l m.
928#n #m #l lapply n -n lapply m -m elim l // *
929[1,2,3: * #x] #xs #IH #n #m
930normalize [2: * #H1] #H2 #H3 [ %] /2 by transitive_le/
931qed.
932
933definition cast_return_to_cost_labels ≝ map … (a_return_post …).
934coercion cast_return_to_cost_labels.
935
936lemma fresh_false : ∀n.∀l: list ReturnPostCostLabel.is_fresh_for_return l n →
937a_return_cost_label (S n) ∈ l = false.
938#n #l lapply n -n elim l // * #x #xs #IH #n whd in ⊢ (% → ??%?); * #H1
939#H2 @eq_return_cost_lab_elim
940[ #EQ destruct @⊥ /2 by absurd/
941| #_ >IH //
942]
943qed.
944
945lemma inverse_call_post_trans : ∀p : instr_params.∀i1 : Instructions p.∀n : ℕ.
946let dom ≝ get_labels_of_code … i1 in
947no_duplicates … dom →
948∀m,keep.
949∀info,l.call_post_trans p i1 n l = info →
950same_fresh_map_on dom (lab_map … info) m →
951same_to_keep_on dom (lab_to_keep … info) keep →
952is_fresh_for_return keep n →
953call_post_clean ? (t_code ? info) m keep l
954 = return 〈gen_labels … info,i1〉.
955#p #i1 elim i1
956[ #n #no_dup #m #keep * #gen_lab #t_code #fresh #lab_map #lab_keep #l whd in ⊢ (??%? → ?);
957  #EQ destruct(EQ) //
958| #x #n #no_dup #m #keep * #gen_lab #t_code #fresh #lab_map #lab_keep #l whd in ⊢ (??%? → ?);
959  #EQ destruct(EQ) //
960| #seq * [|#lbl] #instr #IH #n #no_dup #m #keep * #gen_lab #t_code #fresh #lab_map #lab_keep
961  #l whd in ⊢ (??%? → ?); #EQ destruct(EQ) #H1 #H2 #H3 whd in ⊢ (??%%); normalize nodelta
962  >IH //
963  [1,4: whd whd in H2; #x #Hx @H2 whd in match (get_labels_of_code ??); //
964  |2,5: whd whd in H1; #x #Hx [ @H1 // ] cases no_dup #H3 #_ <H1
965       [2: whd in match (get_labels_of_code ??); @orb_Prop_r // ]
966       whd in ⊢ (???%); cases(eqb_true … x lbl) inversion(x == lbl) normalize nodelta
967       [2: //] #_ #H4 >H4 in Hx; // #H5 >H5 in H3; * #ABS @⊥ @ABS %
968  |6: cases no_dup //
969  ]
970  normalize nodelta <(H1 lbl)
971  [2: whd in match (get_labels_of_code ??); @orb_Prop_l cases(eqb_true … (a_non_functional_label lbl) lbl)
972      #H3 #H4 >H4 % ]
973  whd in match (get_element ????); >(\b (refl …)) normalize nodelta
974  >(\b (refl …)) %
975| #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #IH1 #IH2 #IH3 #n normalize nodelta
976  #no_dup #m #keep * #gen_lab #t_code #fresh #lab_map #lab_keep #l whd in ⊢ (??%? → ?);
977  #EQ destruct(EQ) #H1 #H2 #H3 whd in ⊢ (??%?); >IH3 //
978  [2: whd  in match (get_labels_of_code ??) in H2;
979      change with ([?;?]@?) in match (?::?) in H2;
980      <associative_append in H2; <associative_append
981      <(append_nil … (?@?)) <associative_append in ⊢ (??%? → ?);
982      <(append_nil … (?@?)) in ⊢ (??%? → ?); >associative_append
983      >associative_append in ⊢ (??%? → ?); #H2
984      @(same_to_keep_on_append … H2) // [ >append_nil
985      whd in ⊢ (??%); whd in no_dup:(??%); >associative_append // ]
986      #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx @orb_Prop_r @orb_Prop_r
987      [ >memb_append_l1 | >memb_append_l2 ] //
988      @(lab_to_keep_in_domain … (eq_true_to_b … Hx))
989  |3: -H2 whd in match (get_labels_of_code ??) in H1;
990      change with ([?;?]@?) in match (?::?) in H1;
991      <associative_append in H1; <associative_append     
992      <(append_nil … (?@?)) >associative_append
993      change with ([?;?]@?) in match (?::?::?) in ⊢ (??%? → ?);
994      <associative_append in ⊢ (??%? → ?);
995      <associative_append in ⊢ (??%? → ?);
996      <(append_nil … (?@?)) in ⊢ (??%? → ?);
997      >associative_append in ⊢ (??%? → ?); #H1
998      @(same_fresh_map_on_append … H1) //
999      [ >append_nil >associative_append // ]
1000      #x whd in match (memb ???); inversion(x == ltrue)
1001      [ #Hltrue normalize nodelta #_ whd in match (memb ???); >Hltrue %
1002      | #Hltrue normalize nodelta whd in match (memb ???); inversion(x == lfalse)
1003         [ #Hlfalse #_ @orb_Prop_r @orb_Prop_l >Hlfalse %
1004         | #Hlfalse normalize nodelta #Hx @orb_Prop_r @orb_Prop_r
1005           >domain_of_associative_list_append in Hx; #H
1006           cases(memb_append … H) #H2 [ >memb_append_l1 | >memb_append_l2 ]
1007           // @(lab_map_in_domain … (eq_true_to_b … H2))
1008         ]
1009      ]
1010  |4: cases no_dup #_ * #_ #H @no_duplicates_append_r [2: @(no_duplicates_append_r … H) |]
1011  ]
1012  normalize nodelta >IH2
1013  [5: %
1014  |2: /2 by fresh_keep_n_ok/
1015  |3: whd  in match (get_labels_of_code ??) in H2;
1016   change with ([?;?]@?) in match (?::?) in H2;
1017   <associative_append in H2; #H2
1018   @(same_to_keep_on_append … H2) // #x #Hx [ @orb_Prop_r @orb_Prop_r ]
1019   @(lab_to_keep_in_domain … (eq_true_to_b … Hx))
1020  |4: whd  in match (get_labels_of_code ??) in H1;
1021   change with ([?;?]@?) in match (?::?) in H1;
1022   change with ([?;?]@?) in match (?::?::?) in H1 : (??%?);
1023   <associative_append in H1; <associative_append in ⊢ (??%? → ?); #H1
1024   @(same_fresh_map_on_append … H1) // [2: /2 by lab_map_in_domain/ ]
1025   #x >domain_of_associative_list_append #H cases(memb_append … H)
1026   [ whd in ⊢ (??%? → ?%); cases(x == ltrue) // normalize nodelta
1027     whd in ⊢ (??%? → ?%); cases(x == lfalse) // normalize nodelta
1028     normalize #EQ destruct
1029   | #H1 @orb_Prop_r @orb_Prop_r
1030     @(lab_map_in_domain … (eq_true_to_b … H1))
1031   ]
1032  |6: cases no_dup #_ * #_ #K lapply (no_duplicates_append_r … K) @no_duplicates_append_l
1033  |*:
1034  ]
1035  >m_return_bind >IH1
1036  [5: %
1037  |2: /3 by fresh_keep_n_ok/
1038  |3:  whd  in match (get_labels_of_code ??) in H2;
1039   change with ([?;?]@?) in match (?::?) in H2;
1040   change with ([ ] @ ?) in match (lab_to_keep ??) in H2;
1041   >associative_append in H2 : (??%?); #H2
1042   @(same_to_keep_on_append … H2) //  #x #Hx cases(memb_append … Hx)
1043   -Hx #Hx [ >memb_append_l1 | >memb_append_l2] //
1044   @(lab_to_keep_in_domain … (eq_true_to_b … Hx))
1045  |4:  whd  in match (get_labels_of_code ??) in H1;
1046   change with ([?;?]@?) in match (?::?) in H1;
1047   change with ([?;?]@?) in match (?::?::?) in H1 : (??%?);
1048    @(same_fresh_map_on_append … H1) // #x >domain_of_associative_list_append
1049    #Hx cases(memb_append … Hx) -Hx #Hx [ >memb_append_l1 | >memb_append_l2 ]
1050    // @(lab_map_in_domain … (eq_true_to_b … Hx))
1051  |6: cases no_dup #_ * #_ @no_duplicates_append_l
1052  |*:
1053  ]
1054  >m_return_bind normalize nodelta whd in H1; <H1
1055  [2: whd in match (get_labels_of_code ??); whd in match (memb ???);
1056      >(\b (refl …)) % ] whd in match (get_element ????); >(\b (refl …))
1057      normalize nodelta >(\b (refl …)) <H1
1058      [2: whd in match (get_labels_of_code ??); >memb_cons //
1059      whd in match (memb ???); >(\b (refl …)) % ]
1060      whd in match (get_element ????); @eq_costlabel_elim normalize nodelta
1061      [ #ABS @⊥ cases no_dup >ABS * #H #_ @H @orb_Prop_l 
1062      >(\b (refl ? (a_non_functional_label ltrue))) % ] #_
1063      whd in match (get_element ????); >(\b (refl …)) normalize nodelta
1064      >(\b (refl …)) %
1065| #loop #ltrue #i1 #lfalse #i2 #IH1 #IH2 #n #no_dup #m #keep #info #l whd in ⊢ (??%? → ?);
1066  #EQ destruct(EQ) whd in match (get_labels_of_code ??); #fresh_map #keep_on #f_k
1067  whd in ⊢ (??%?); >(IH2 … (refl …))
1068  [ normalize nodelta >(IH1 … (refl …))
1069    [ >m_return_bind <fresh_map [2: @orb_Prop_l >(\b (refl …)) % ]
1070      whd in match (get_element ????);
1071      inversion(a_non_functional_label ltrue == a_non_functional_label lfalse)
1072      #Hltrue normalize nodelta
1073      [ cases no_dup whd in match (memb ???);
1074        cases(eqb_true … (a_non_functional_label ltrue) (a_non_functional_label lfalse))
1075        #H1 #_ lapply(H1 Hltrue) #EQ destruct(EQ) >(\b (refl …)) * #ABS @⊥ @ABS % ]
1076      whd in match (get_element ????); >(\b (refl …)) normalize nodelta >(\b (refl …))
1077      <fresh_map [2: @orb_Prop_r @orb_Prop_l >(\b (refl …)) % ]
1078      whd in match (get_element ????); >(\b (refl …)) normalize nodelta
1079      >(\b (refl …)) %
1080    | /2 by fresh_keep_n_ok/
1081    | change with ([?;?]@?@?) in keep_on : (?%??); change with ((nil ?) @ ? @ ?) in keep_on : (??%?);
1082      @(same_to_keep_on_append … keep_on) // #x /2 by lab_to_keep_in_domain/
1083    | change with ([?;?]@?@?) in fresh_map : (?%%?); @(same_fresh_map_on_append … fresh_map)
1084      /2 by lab_map_in_domain/ #x whd in match (memb ???); inversion(x==lfalse) #Hlfalse
1085      normalize nodelta
1086      [ #_ @orb_Prop_r whd in match (memb ???); >Hlfalse %
1087      | whd in match (memb ???); inversion(x==ltrue) #Hltrue normalize nodelta [2: *] #_
1088        @orb_Prop_l >Hltrue %
1089      ]
1090    | cases no_dup #_ * #_ /2/
1091    ]
1092  | //
1093  | change with ([?;?]@?@?) in keep_on : (?%??); <associative_append in keep_on;
1094    <(append_nil … (?@?)) <(append_nil … (?@?)) in ⊢ (??%? → ?);
1095    >associative_append in ⊢ (?%%? → ?); >associative_append in ⊢ (??%? → ?);
1096    #keep_on @(same_to_keep_on_append … keep_on) //
1097    [ >associative_append >append_nil //
1098    | #x #Hx @orb_Prop_r @orb_Prop_r /2 by lab_to_keep_in_domain/
1099    ]
1100  | change with ([?;?]@?@?) in fresh_map : (?%??); <associative_append in fresh_map;
1101    <(append_nil … (?@?)) change with ([?;?]@?@?) in ⊢ (??%? → ?);
1102    <associative_append in ⊢ (??%? → ?); <(append_nil … (?@?)) in ⊢ (??%? → ?);
1103    >associative_append in ⊢ (?%%? → ?); >associative_append in ⊢ (??%? → ?);
1104    #fresh_map @(same_fresh_map_on_append … fresh_map) //
1105    [ >append_nil //
1106    | #x >domain_of_associative_list_append #Hx cases(memb_append … Hx)
1107      [2: #Hx1 @orb_Prop_r @orb_Prop_r @(lab_map_in_domain … (eq_true_to_b … Hx1)) ]
1108      whd in match (memb ???); inversion(x == lfalse) normalize nodelta #Hlfalse
1109      [ #_ @orb_Prop_r @orb_Prop_l >Hlfalse %
1110      | whd in match (memb ???); inversion (x==ltrue) normalize nodelta #Hltrue
1111        [ #_ @orb_Prop_l >Hltrue %
1112        | whd in match (memb ???); #EQ destruct
1113        ]
1114      ]
1115    ]
1116  | cases no_dup #_ * #_ /2 by no_duplicates_append_r/
1117  ]
1118| #f #act_p * [|#r_lb] #i #IH #n #no_dup #m #keep #info #l whd in ⊢ (??%? → ?);
1119  #EQ destruct(EQ) #fresh_map #same_keep #f_k whd in ⊢ (??%?);
1120  >(IH … (refl …))
1121  [1,6: normalize nodelta
1122     [ >fresh_false [2: /2 by fresh_keep_n_ok/] %
1123     | <same_keep
1124       [ whd in match (memb ???); >(\b (refl …)) normalize nodelta
1125         <fresh_map
1126         [ whd in match (get_element ????); >(\b (refl …)) normalize nodelta
1127           >(\b (refl …)) %
1128         | whd in match (memb ???); >(\b (refl …)) %
1129         ]
1130       | whd in match (memb ???); >(\b (refl …)) %
1131       ]
1132    ]
1133  |2,7: //
1134  |3,8: whd in match (get_labels_of_code ??) in same_keep; // #x #Hx <same_keep
1135        [2: >memb_cons // >Hx // ] cases no_dup * #ABS #_ whd in ⊢ (???%);
1136        inversion(x==?) [2: #_ //] #ABS1 @⊥ @ABS <(\P ABS1) >Hx //
1137  |4,9: whd in match (get_labels_of_code ??) in fresh_map; // #x #Hx <fresh_map
1138        [2: >memb_cons // >Hx //] cases no_dup * #ABS #_ whd in ⊢ (???%);
1139        inversion(x==?) [2: #_ //] #ABS1 @⊥ @ABS <(\P ABS1) //
1140  |5,10: [ @no_dup | cases no_dup // ]
1141  ]
1142| #lin #io #lout #i #IH #n whd in match (get_labels_of_code ??); #no_dup
1143  #m #keep #info #l whd in ⊢ (??%? → ?); #EQ destruct(EQ) #fresh_map #same_keep
1144  #f_k whd in ⊢ (??%?); >(IH … (refl …))
1145  [ normalize nodelta <fresh_map [2: >memb_cons // >memb_hd // ]
1146    whd in match (get_element ????); >(\b (refl …)) normalize nodelta
1147    >(\b (refl …)) <fresh_map [2: >memb_hd //] whd in match (get_element ????);
1148    inversion(lin==lout)
1149    [ #ABS @⊥ cases no_dup * #ABS1 #_ @ABS1 whd in match (memb ???); >(\P ABS)
1150      >(\b (refl …)) //
1151    | #H inversion (a_non_functional_label lin== ? lout)
1152      [ #ABS lapply(\P ABS) #EQ destruct >(\b (refl …)) in H; #EQ destruct
1153      | #_ normalize nodelta whd in match (get_element ????); >(\b (refl …))
1154        normalize nodelta >(\b (refl …)) %
1155      ]
1156    ]
1157  | //
1158  | #x #Hx >same_keep [2: >memb_cons // >memb_cons // >Hx % ] %
1159  | #x #Hx <fresh_map [2: >memb_cons // >memb_cons // >Hx %]
1160    cases no_dup * #ABS1 ** #ABS2 #_ whd in ⊢ (???%); inversion(x == lout)
1161    normalize nodelta
1162    [2: #_ whd in ⊢ (???%); inversion(x==lin) normalize nodelta //
1163        #H @⊥ @ABS1 >memb_cons // <(\P H) >Hx //
1164    | #H @⊥ @ABS2 <(\P H) >Hx //
1165    ]
1166  | cases no_dup #_ * #_ //
1167  ]
1168]
1169qed.
1170
1171definition fresh_for_prog_aux : ∀p,p'.Program p p' → ℕ → ℕ ≝
1172λp,p',prog,n.foldl … (λn,i.max n (compute_max_n … (f_body … i))) n (env … prog).
1173
1174include alias "arithmetics/nat.ma".
1175
1176lemma max_1 : ∀n,m,k.k ≤ m → k ≤ max m n.
1177#m #n #k #H normalize @leb_elim // normalize nodelta #H1
1178/2 by transitive_le/
1179qed.
1180
1181lemma max_2 : ∀n,m,k.k≤ n → k ≤ max m n.
1182#m #n #k #H normalize @leb_elim // #H1 normalize nodelta
1183@(transitive_le … H) @(transitive_le … (not_le_to_lt … H1)) //
1184qed.
1185
1186lemma fresh_aux_ok : ∀p,p'.∀prog : Program p p'.∀n,m.n ≤ m →
1187fresh_for_prog_aux … prog n ≤ fresh_for_prog_aux … prog m.
1188#p #p' * #env #main elim env // #hd #tl #IH #n #m #H whd in ⊢ (?%%);
1189@IH whd in ⊢ (?%?); @leb_elim normalize nodelta
1190[ #H1 @max_2 // | #_ @max_1 // ]
1191qed.
1192
1193definition fresh_for_prog : ∀p,p'.Program p p' → ℕ ≝
1194λp,p',prog.fresh_for_prog_aux … prog
1195(compute_max_n … (main … prog)).
1196
1197definition translate_env ≝
1198λp,p'.λenv : list (env_item p p').λmax_all.(foldr ??
1199           (λi,x.let 〈t_env,n,m,keep〉 ≝ x in
1200           let info ≝ call_post_trans … (f_body … i) n (nil ?) in
1201                   〈(mk_env_item ??
1202                       (mk_signature ??(f_name ?? i) (f_pars … i) (f_ret … i))
1203                       (f_lab … i) (t_code … info)) :: t_env,
1204                     fresh … info, 〈a_call (f_lab … i),(a_call (f_lab … i)) :: (gen_labels ? info)〉 ::
1205                                     ((lab_map … info) @ m),(lab_to_keep … info) @ keep〉)
1206          (〈nil ?,max_all,nil ?,nil ?〉) env).
1207
1208definition trans_prog : ∀p,p'.Program p p' →
1209((Program p p') × (associative_list DEQCostLabel CostLabel)) × ((list ReturnPostCostLabel))≝
1210λp,p',prog.
1211let max_all ≝ fresh_for_prog … prog in
1212let info_main ≝ (call_post_trans … (main … prog) max_all (nil ?)) in
1213let 〈t_env,n,m,keep〉 ≝ translate_env … (env … prog) (fresh … info_main) in
1214〈mk_Program ?? t_env (t_code … info_main),m @ (lab_map … info_main),keep @ (lab_to_keep … info_main)〉.
1215
1216definition map_labels_on_trace :
1217(associative_list DEQCostLabel CostLabel) → list CostLabel → list CostLabel ≝
1218λm,l.foldr … (λlab,t.(get_element … m lab) @ t) (nil ?) l.
1219
1220lemma map_labels_on_trace_append:
1221 ∀m,l1,l2. map_labels_on_trace m (l1@l2) =
1222  map_labels_on_trace m l1 @ map_labels_on_trace m l2.
1223 #m #l1 elim l1 // #hd #tl #IH #l2 >associative_append <IH //
1224qed.
1225
1226include "../src/common/Errors.ma".
1227
1228axiom is_permutation: ∀A.list A → list A → Prop.
1229axiom is_permutation_eq : ∀A.∀l : list A.is_permutation … l l.
1230axiom is_permutation_cons : ∀A.∀l1,l2,x.is_permutation A l1 l2 →
1231                                       is_permutation A (x :: l1) (x :: l2).
1232
1233(*
1234inductive is_permutation (A : Type[0]) : list A → list A → Prop ≝
1235| p_empty : is_permutation A (nil ?) (nil ?)
1236| p_append : ∀x,x1,x2,y,y1,y2.
1237               x = y → is_permutation A (x1 @ x2) (y1 @ y2) →
1238                 is_permutation A (x1 @ [x] @ x2) (y1 @ [y] @ y2).
1239
1240lemma is_permutation_eq : ∀A.∀l : list A.is_permutation … l l.
1241#A #l elim l // #x #xs #IH
1242change with ((nil ?) @ (x :: xs)) in ⊢ (??%%);
1243>append_cons >associative_append
1244@(p_append ? x (nil ?) xs x (nil ?) xs (refl …)) @IH
1245qed.
1246
1247lemma is_permutation_append : ∀A.∀l1,l2,l3,l4 : list A.
1248is_permutation A l1 l3 → is_permutation A l2 l4 →
1249is_permutation A (l1 @ l2) (l3 @ l4).
1250#A #l1 inversion (|l1|)  [2: #n lapply l1 elim n
1251[ #l2 #l3 #l4 #H inversion H // #x #x1 #x2 #y #y1 #y2 #EQ #H1 #_
1252 #ABS cases(nil_to_nil … (sym_eq ??? ABS)) -ABS #_ #ABS
1253 cases(nil_to_nil … ABS) #EQ1 destruct(EQ1) ]
1254#x #xs #IH #l2 #l3 #l4 #H inversion H
1255[#EQ lapply(jmeq_to_eq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ) ]
1256#y #y1 #y2 #z #z1 #z2 #EQ destruct(EQ) #H1 #_ #EQx_xs #EQ destruct(EQ) #_
1257*)
1258
1259lemma memb_append_l22 : ∀A : DeqSet.∀x : A.∀l1,l2 : list A.
1260¬ (x ∈ l1) → x∈ l1 @ l2 = (x ∈ l2).
1261#A #x #l1 elim l1 normalize // #y #ys #IH #l2 cases(x==y)
1262normalize [*] @IH
1263qed.
1264
1265lemma memb_append_l12 : ∀A : DeqSet.∀x : A.∀l1,l2 : list A.
1266¬ (x ∈ l2) → x∈ l1 @ l2 = (x ∈ l1).
1267#A #x #l1 elim l1
1268[ #l2 #H whd in match (append ???); @not_b_to_eq_false @Prop_notb >H % ]
1269#y #ys #IH #l2 #H1 whd in match (memb ???); >IH //
1270qed.
1271
1272
1273lemma lookup_ok_append : ∀p,p',l,f,env_it.
1274lookup p p' l f = return env_it → ∃l1,l2. l = l1 @ [env_it] @ l2 ∧
1275f_name … env_it = f.
1276#p #p' #l elim l [ #f #env_it normalize #EQ destruct]
1277#x #xs #IH #f #env_it whd in ⊢ (??%? → ?); @eq_function_name_elim
1278[ #EQ destruct(EQ) normalize nodelta whd in ⊢ (???% → ?); #EQ destruct
1279  %{(nil ?)} %{xs} /2/
1280| #Hno_f normalize nodelta #EQ_env_it cases(IH … EQ_env_it)
1281  #l1 * #l2 * #EQ1 #EQ2 %{(x :: l1)} %{l2} >EQ1 /2/
1282]
1283qed.
1284(*
1285lemma foldr_append :
1286  ∀A,B:Type[0]. ∀l1, l2 : list A. ∀f:A → B → B. ∀seed. foldr ?? f seed (l1 @ l2) = foldr ?? f (foldr ?? f seed l2) l1.
1287#A #B #l1 elim l1 //
1288#hd #tl #Hind #l2 #f #seed normalize >Hind @refl
1289qed.
1290*)
1291
1292lemma foldr_map_append :
1293  ∀A,B:Type[0]. ∀l1, l2 : list A.
1294   ∀f:A → list B. ∀seed.
1295    foldr ?? (λx,acc. (f x) @ acc) seed (l1 @ l2) =
1296     append ? (foldr ?? (λx,acc. (f x) @ acc) (nil ?) l1)
1297       (foldr  ?? (λx,acc. (f x) @ acc) seed l2).
1298#A #B #l1 elim l1 normalize // /3 by eq_f, trans_eq/
1299qed.
1300
1301lemma cons_append : ∀A.∀x : A.∀l.x::l = ([x]@l).
1302//
1303qed.
1304
1305lemma eq_a_call_label :
1306∀c1,c2.c1 == c2 → a_call c1 == a_call c2.
1307#c1 #c2 #EQ cases(eqb_true ? c1 c2) #H1 #_ lapply(H1 (eq_true_to_b … EQ)) -EQ
1308#EQ destruct >(\b (refl …)) @I
1309qed.
1310
1311
1312lemma no_duplicates_append_commute : ∀ A : DeqSet.∀l1,l2 : list A.
1313no_duplicates … (l1 @ l2) →
1314no_duplicates … (l2 @ l1).
1315#A #l1 elim l1
1316[ #l2 >append_nil //]
1317#x #xs #IH #l2 * #H1 #H2 lapply(IH … H2) lapply H1 -H1 -IH -H2
1318elim l2 -l1
1319[ >append_nil #H1 #H2 % // ]
1320#y #ys #IH * #H1 * #H2 #H3 %
1321[2: @IH
1322   [ % #H4 @H1 cases(memb_append … H4)
1323     [ #H5 >memb_append_l1 //
1324     | #H5 >memb_append_l2 // @orb_Prop_r >H5 //
1325     ]
1326   | //
1327   ]
1328| % #H4 cases(memb_append … H4)
1329  [ #H5 @(absurd ?? H2) >memb_append_l1 //
1330  | whd in match (memb ???); inversion(y==x)
1331    [ #H5 #_ <(\P H5) in H1; #H1 @H1 >memb_append_l2 //
1332    | #_ normalize nodelta #H5 @(absurd ?? H2) >memb_append_l2 //
1333    ]
1334  ]
1335]
1336qed.
1337
1338(* aggiungere fresh_to_keep al lemma seguente??*)
1339
1340let rec subset (A : Type[0]) (l1,l2 : list A) on l1 : Prop ≝
1341match l1 with
1342[ nil ⇒ True
1343| cons x xs ⇒ mem … x l2 ∧ subset … xs l2
1344].
1345
1346interpretation "subset" 'subseteq a b = (subset ? a b).
1347
1348lemma subset_append_l2 : ∀A,l2,l1.subset A l2 (l1 @ l2).
1349#A #l2 elim l2 // normalize #x #xs #IH #l1 % // @mem_append_l2 whd /2/
1350qed.
1351
1352lemma refl_subset : ∀A.reflexive … (subset A).
1353#A #l1 elim l1 // #x #xs #IH normalize % /2/
1354qed.
1355
1356lemma fresh_for_subset : ∀l1,l2,n.l1 ⊆ l2 → is_fresh_for_return … l2 n →
1357is_fresh_for_return … l1 n.
1358#l1 elim l1 // * [1,2,3: * #x] #xs #IH #l2 #n * #H1 #H2 #H3 whd
1359try(@IH) // % [2: @IH //] elim l2 in H1 H3; normalize [*]
1360* [1,2,3: * #y] #ys #IH normalize
1361[2,3: * [2,4: #H3 [2: @IH //] * #H4 #H5 @IH //
1362|*: #EQ destruct * //
1363]]
1364*
1365[1,3: #EQ destruct ] #H3 #H4 @IH //
1366qed.
1367
1368lemma fresh_append : ∀n,l1,l2.is_fresh_for_return l1 n → is_fresh_for_return l2 n →
1369is_fresh_for_return (l1@l2) n.
1370#n #l1 lapply n -n elim l1 // * [1,2,3: * #x] #xs #IH #n #l2 [2: * #H1 ] #H2 #H3
1371[ % // @IH //] @IH //
1372qed.
1373
1374definition labels_of_prog : ∀p,p'.Program p p' → ? ≝
1375λp,p',prog.foldr … (λx,l.l @ (get_labels_of_code … (f_body … x)))
1376 (get_labels_of_code … (main … prog)) (env … prog).
1377
1378lemma cast_return_append : ∀l1,l2.cast_return_to_cost_labels … (l1 @ l2) =
1379(cast_return_to_cost_labels … l1) @ (cast_return_to_cost_labels … l2).
1380#l1 #l2 @(sym_eq … (map_append …)) qed.
1381
1382include alias "arithmetics/nat.ma".
1383
1384
1385lemma is_fresh_code : ∀p.∀i : Instructions p.
1386is_fresh_for_return (get_labels_of_code … i) (compute_max_n … i).
1387#p #main  elim main //
1388[ #seq * [| * #lbl] #i #IH normalize // @(fresh_keep_n_ok … IH)
1389  inversion(leb ? lbl) // @leb_elim #Hlbl #EQ destruct normalize nodelta
1390  /2 by le_S/
1391| #cond * #ltrue #i1 * #lfalse #i2 #i3 #IH1 #IH2 #IH3 whd in ⊢ (?%%);
1392  @fresh_append
1393  [ @(fresh_keep_n_ok … IH1) @le_S @max_1 @max_1 @max_1 @max_1 //
1394  | @fresh_append
1395    [ @(fresh_keep_n_ok … IH2) @le_S @max_1 @max_1 @max_1 @max_2 //
1396    | @(fresh_keep_n_ok … IH3) @le_S @max_1 @max_1 @max_2 //
1397    ]
1398  ]
1399| #cond * #ltrue #i1 * #lfalse #i2 #IH1 #IH2 whd in ⊢ (?%%); @fresh_append
1400  [ @(fresh_keep_n_ok … IH1) @le_S @max_1 @max_1 @max_1 //
1401  | @(fresh_keep_n_ok … IH2) @le_S @max_1 @max_1 @max_2 //
1402  ]
1403| #f #act_p * [| * #lbl] #i #IH whd in ⊢ (?%%); //
1404  change with ([?]@?) in ⊢ (?%?); @fresh_append
1405  [ whd % // @le_S @max_1 //
1406  | @(fresh_keep_n_ok … IH) @le_S @max_2 //
1407  ]
1408| * #lin #io * #lout #i #IH whd in ⊢ (?%%); @(fresh_keep_n_ok … IH)
1409  @le_S @max_1 @max_1 //
1410]
1411qed.
1412
1413lemma is_fresh_fresh_for_prog : ∀p,p'.∀prog : Program p p'.
1414is_fresh_for_return (labels_of_prog … prog) (fresh_for_prog … prog).
1415#p #p' * #env #main whd in match fresh_for_prog; normalize nodelta whd in ⊢ (?%?);
1416elim env // * #sig #cost #i #tail #IH  whd in ⊢ (?%?); @fresh_append
1417[ @(fresh_keep_n_ok … IH) @fresh_aux_ok @max_1 //
1418| @(fresh_keep_n_ok … (is_fresh_code … i)) whd in match fresh_for_prog_aux; normalize nodelta
1419  whd in ⊢ (??%); elim tail [ @max_2 // ] #hd1 #tl1 #IH1 @(transitive_le …  IH1)
1420  whd in ⊢ (??%); change with (fresh_for_prog_aux ?? (mk_Program ?? tl1 main) ?) in ⊢ (?%%);
1421  @fresh_aux_ok @max_1 //
1422]
1423qed.
1424
1425lemma subset_def : ∀A : DeqSet.∀l1,l2 : list A.(∀x.x ∈l1 → x ∈ l2) → l1 ⊆ l2.
1426#A #l1 elim l1 // #x #xs #IH #l2 #H %
1427[ @memb_to_mem >H // >memb_hd //
1428| @IH #y #H1 @H >memb_cons // >H1 //
1429]
1430qed.
1431
1432lemma memb_cast_return : ∀keep,x.x ∈ cast_return_to_cost_labels keep →
1433∃ y.x = a_return_post y ∧ bool_to_Prop (y ∈ keep).
1434#keep elim keep
1435[ #x *] #x #xs #IH #y whd in match cast_return_to_cost_labels;
1436whd in match (map ????); whd in match (memb ???); inversion(y==x)
1437[ #Hx #_ %{x} >(\P Hx) %{(refl …)} >memb_hd //
1438| #Hx normalize nodelta #H cases(IH … H) #z * #H1 #H2 %{z} %{H1} >memb_cons // >H2 //
1439]
1440qed.
1441
1442lemma subset_append : ∀A.∀l1,l2,l3 : list A.l1 ⊆ l3 → l2 ⊆ l3 → (l1 @ l2) ⊆ l3.
1443#A #l1 elim l1 // #x #xs #IH #l2 #l3 * #H1 #H2 #H3 % /2/
1444qed.
1445
1446lemma subset_def_inv : ∀A.∀l1,l2 : list A. l1 ⊆ l2 → ∀x.mem … x l1 → mem … x l2.
1447#A #l1 elim l1 [ #l2 * #x * ] #x #xs #IH #l2 * #H1 #H2 #y *
1448[ #EQ destruct // | #H3 @IH // ]
1449qed.
1450
1451lemma transitive_subset : ∀A.transitive … (subset A).
1452#A #l1 elim l1 // #x #xs #IH #l2 #l3 * #H1 #H2 #H3 %
1453[ @(subset_def_inv … H3) // | @IH // ]
1454qed.
1455
1456lemma subset_append_h1 : ∀A.∀l1,l2,l3 : list A.l1 ⊆ l3 → l1 ⊆ (l3 @ l2).
1457#A #l1 elim l1 // #x #x2 #IH #l2 #l3 * #H1 #H2 % [ @mem_append_l1 // | @IH // ]
1458qed.
1459
1460lemma subset_append_h2 : ∀A.∀l1,l2,l3 : list A.l2 ⊆ l3 → l2 ⊆ (l1 @ l3).
1461#A #l1 elim l1 // #x #xs #IH #l2 elim l2 // #y #ys #IH #l3 * #H1 #H2 %
1462[ @mem_append_l2 // | @IH // ]
1463qed.
1464
1465lemma lab_to_keep_in_prog : ∀p,p'.∀prog : Program p p'.
1466∀t_prog,m,keep.trans_prog … prog = 〈t_prog,m,keep〉 →
1467(cast_return_to_cost_labels keep) ⊆ (labels_of_prog p p' prog).
1468#p #p' * #env #main #t_prog #m #keep whd in match trans_prog; normalize nodelta
1469@pair_elim * #env1 #fresh * #m1 #keep1 #EQenv1 normalize nodelta #EQ destruct
1470lapply EQenv1 -EQenv1 lapply keep1 -keep1 lapply m1 -m1 lapply fresh -fresh
1471lapply env1 -env1 generalize in match (fresh_for_prog ???); elim env
1472[ #n #t_env #n1 #m #keep whd in ⊢ (??%? → ?); #EQ destruct whd in match (append ???);
1473  @subset_def #x #H whd in match (labels_of_prog); normalize nodelta
1474  whd in match (foldr ?????); cases(memb_cast_return … H) -H #x1 * #EQ1 #H destruct
1475  @(lab_to_keep_in_domain … H)
1476| #x #xs #IH #n #t_env #n1 #m #keep whd in ⊢ (??%? → ?); @pair_elim
1477  * #t_env_tail #fresh_tail * #t_m_tail #t_keep_tail
1478  change with (translate_env ????) in match (foldr ?????); #EQt_env_tail
1479  normalize nodelta #EQ1 destruct >cast_return_append @subset_append
1480  [ >cast_return_append @subset_append
1481    [ whd in match labels_of_prog; normalize nodelta whd in match (foldr ?????);
1482      @subset_def #y #H cases(memb_cast_return … H) -H #y1 * #EQ destruct #H
1483      >memb_append_l2 // @(lab_to_keep_in_domain … H)
1484    | whd in match labels_of_prog; normalize nodelta whd in match (foldr ?????);
1485      change with (labels_of_prog ?? (mk_Program ?? xs ?)) in match (foldr ?????);
1486      @subset_append_h1 @(transitive_subset … (IH … EQt_env_tail))
1487      >cast_return_append @subset_append_h1 //
1488    ]
1489  | whd in match labels_of_prog; normalize nodelta whd in match (foldr ?????);
1490    change with (labels_of_prog ?? (mk_Program ?? xs ?)) in match (foldr ?????);
1491    @subset_append_h1 @(transitive_subset … (IH … EQt_env_tail))
1492     >cast_return_append @subset_append_h2 //
1493  ]
1494]
1495qed.
1496
1497lemma fresh_call_post_trans_ok : ∀p.∀i : Instructions p.∀n,l.
1498n ≤ fresh … (call_post_trans … i n l).
1499#p #i elim i //
1500qed.
1501
1502lemma fresh_translate_env_ok : ∀p,p'.∀env,t_env : list (env_item p p').∀n,n1,m,keep.
1503translate_env … env n = 〈t_env,n1,m,keep〉 → n ≤ n1.
1504#p #p' #env elim env
1505[ #t_env #n #n1 #m #keep whd in ⊢ (??%? → ?); #EQ destruct // ]
1506#x #xs #IH #t_env #n #n1 #m #keep whd in ⊢ (??%? → ?);
1507change with (translate_env ????) in match (foldr ?????); @pair_elim
1508* #t_env_tail #fresh_tail * #t_m_tail #t_keep_tail #EQt_env_tail normalize nodelta
1509#EQ destruct @(transitive_le … (IH … EQt_env_tail)) @fresh_call_post_trans_ok
1510qed.
1511 
1512
1513lemma trans_env_ok : ∀p : state_params.∀ prog.
1514no_duplicates_labels … prog →
1515let 〈t_prog,m,keep〉 ≝ trans_prog … prog in
1516∀f,env_it.lookup p p (env … prog) f = return env_it →
1517let dom ≝ get_labels_of_code … (f_body … env_it) in
1518∃env_it',n.is_fresh_for_return keep n ∧lookup p p (env … t_prog) f = return env_it' ∧
1519let info ≝ call_post_trans … (f_body … env_it) n (nil ?) in
1520t_code … info = f_body … env_it' ∧
1521get_element … m (a_call (f_lab … env_it')) = (a_call (f_lab … env_it')) :: gen_labels … info ∧
1522f_sig … env_it = f_sig … env_it' ∧ f_lab … env_it = f_lab … env_it' ∧
1523same_fresh_map_on dom m (lab_map … info) ∧ same_to_keep_on dom keep (lab_to_keep … info).
1524#p #prog inversion(trans_prog … prog) * #t_prog0 #m0 #keep0 #EQt_prog
1525lapply EQt_prog normalize nodelta
1526generalize in match keep0 in ⊢ (% → ? → ? → ? → ? → ??(λ_.??(λ_.?%?)));
1527#keep1 #EQkeep1 inversion prog in EQt_prog; #env #main #EQprog
1528whd in match trans_prog; normalize nodelta
1529@pair_elim
1530cut(fresh_for_prog ?? prog ≤ fresh_for_prog ?? (mk_Program … env main)) [ >EQprog //]
1531generalize in match (fresh_for_prog ???) in ⊢ (??% → %);
1532lapply t_prog0 lapply m0 lapply keep0
1533elim env in ⊢ (?→ ? → ? → ? → ? → %);
1534[ #keep #m #t_prog #n #_ * #env' #fresh * #x #y #_ #_ #_ #f #env_it normalize in ⊢ (% → ?);  #ABS destruct]
1535* #hd_sig #hd_lab #hd_code #tail #IH #keep #m #t_prog #fresh1 #Hfresh1 * #env' #fresh * #m' #keep'
1536normalize in ⊢ (% → ?); normalize nodelta @pair_elim * #env_tail #fresh_tail
1537* #m_tail #keep_tail change with (translate_env ????) in ⊢ (??%? → ?); #EQtail normalize nodelta #EQ1 destruct(EQ1) #EQ2 destruct(EQ2)
1538whd in ⊢ (% → ?); whd in match (foldr ?????); * #Hhd_lab #H lapply(no_duplicates_append_r … H)
1539change with (no_duplicates_labels p p (mk_Program p p tail main)) in match
1540(no_duplicates_labels p p (mk_Program p p tail main)); #no_dup_tail
1541lapply(no_duplicates_append_l … H) #no_dup_head normalize nodelta
1542#f #env_it whd in ⊢ (??%? → ?); @eq_function_name_elim normalize nodelta
1543[ #EQ destruct(EQ) whd in ⊢ (???% → ?); #EQ destruct(EQ)
1544  inversion (call_post_trans … hd_code fresh_tail [])
1545  #gen_labs #t_hd_code #t_fresh #t_lab_map #t_lab_to_keep #EQ_trans_code
1546  %{(mk_env_item … hd_sig hd_lab t_hd_code)} %{fresh_tail} %
1547  [ %
1548    [ @(fresh_keep_n_ok … fresh1)
1549      [ @(fresh_keep_n_ok … Hfresh1)
1550        @(fresh_for_subset … (labels_of_prog … prog))
1551        [ @(lab_to_keep_in_prog … EQkeep1) | @is_fresh_fresh_for_prog ]
1552       | @(transitive_le … (fresh_translate_env_ok … EQtail)) //
1553      ]
1554    | whd in ⊢ (??%?); @eq_function_name_elim [2: * #H @⊥ @H %] #_ normalize nodelta
1555      @eq_f cases hd_sig // ]] >EQ_trans_code % [% [ % [ % [% // whd in ⊢ (??%?); >(\b (refl …)) %] % ] % | whd
1556    #x #Hx whd in ⊢ (??%?); >(? : (x == hd_lab) = false)
1557    [2: inversion(x==hd_lab) // #EQx_hdlab cases Hhd_lab -Hhd_lab #Hhd_lab cases Hhd_lab
1558        >memb_append_l1 // <(\P EQx_hdlab) >Hx // ]
1559    normalize nodelta >get_element_append_l1
1560    [2: % #ABS @(memb_no_duplicates_append … x … H) // elim tail
1561        [ whd in match (foldr ?????); @lab_map_in_domain // ]
1562        #x #xs #IH whd in match (foldr ?????); @orb_Prop_r
1563        >memb_append_l2 // >IH %
1564    ] @get_element_append_l1
1565    % #H1 
1566    (* subproof with no nice statement *)
1567    lapply H1 -H1 lapply H -H lapply Hhd_lab -Hhd_lab lapply EQtail -EQtail
1568    generalize in match fresh1; lapply env_tail -env_tail lapply fresh_tail
1569    -fresh_tail lapply m_tail -m_tail lapply keep_tail -keep_tail elim tail
1570    normalize nodelta
1571    [ #keep_tail #m_tail #fresh_tail #env_tail #n whd in ⊢ (??%? → ?);
1572      #EQ destruct(EQ) whd in match (foldr ?????);
1573      #H1 #H2 * ]
1574    #head #tail #IH #keep_tail #m_tail #fresh_tail #env_tail #n whd in ⊢ (??%? → ?);
1575    whd in match (foldr ?????);
1576    @pair_elim * #env_tail_res #fresh_tail_res * #lab_map_res #keep_res #EQres
1577    normalize nodelta #EQ destruct(EQ) whd in match (foldr ?????);
1578    #H1 #H2 whd in match (memb ???); inversion(x == ?)
1579    [ #H3 #_ <(\P H3) in H2; change with ([?]@?) in match (?::?); #H2
1580      lapply(no_duplicates_append_commute … H2) -H2 ** #ABS #_ @ABS
1581      >memb_append_l2 // >Hx %
1582    | #H3 normalize nodelta #H4 @(IH … EQres)
1583      [3: >domain_of_associative_list_append in H4; #H4 cases(memb_append … H4) [2: #EQ >EQ %]
1584          #ABS @⊥ @(memb_no_duplicates_append … x … H2) // @orb_Prop_r >memb_append_l1 //
1585          @(lab_map_in_domain … (eq_true_to_b … ABS))
1586      | % #ABS elim H1 -H1 #H1 @H1 cases(memb_append … ABS)
1587        [ #H5 >memb_append_l1 //
1588        | #H5 >memb_append_l2 // @orb_Prop_r >memb_append_l2 //
1589        ]
1590      | lapply(no_duplicates_append_commute … H2) * #_ >associative_append
1591        #h @no_duplicates_append_commute @(no_duplicates_append_r … h)
1592      ]
1593    ]
1594    ]
1595  | whd #x #Hx >memb_append_l12
1596    [2: @notb_Prop % #ABS @(memb_no_duplicates_append … H … Hx) elim tail
1597        [ whd in match (foldr ?????); @lab_to_keep_in_domain // ]
1598        #x #xs #IH whd in match (foldr ?????); @orb_Prop_r
1599        >memb_append_l2 // >IH %
1600    ]
1601    >memb_append_l12 // inversion(memb ???) // #ABS @(memb_no_duplicates_append … (a_return_post x) … H)
1602    // @⊥
1603    (* subproof with no nice statement *)
1604    lapply ABS -ABS lapply H -H lapply Hhd_lab -Hhd_lab lapply EQtail -EQtail
1605    generalize in match fresh1; lapply env_tail -env_tail lapply fresh_tail
1606    -fresh_tail lapply m_tail -m_tail lapply keep_tail -keep_tail elim tail
1607    normalize nodelta
1608    [ #keep_tail #m_tail #fresh_tail #env_tail #n whd in ⊢ (??%? → ?);
1609      #EQ destruct(EQ) whd in match (foldr ?????);
1610      #H1 #H2 whd in ⊢ (??%? → ?); #EQ destruct ]
1611    #head #tail #IH #keep_tail #m_tail #fresh_tail #env_tail #n whd in ⊢ (??%? → ?);
1612    whd in match (foldr ?????);
1613    @pair_elim * #env_tail_res #fresh_tail_res * #lab_map_res #keep_res #EQres
1614    normalize nodelta #EQ destruct(EQ) whd in match (foldr ?????);
1615    #H1 #H2 #H3 cases(memb_append … H3) -H3
1616    [ #H3 change with ([?]@?) in match (?::?) in H2;
1617      lapply(no_duplicates_append_commute … H2) -H2 * #_ #H4 @(memb_no_duplicates_append … (a_return_post x) … H4)
1618      [ whd in match (append ???); >memb_append_l1 // >(lab_to_keep_in_domain … (eq_true_to_b … H3)) %
1619      | //
1620      ]
1621    | #H3 normalize nodelta @(IH … EQres)
1622      [3: //
1623      |  % #ABS elim H1 -H1 #H1 @H1 cases(memb_append … ABS)
1624        [ #H5 >memb_append_l1 //
1625        | #H5 >memb_append_l2 // @orb_Prop_r >memb_append_l2 //
1626        ]
1627      | lapply(no_duplicates_append_commute … H2) * #_ >associative_append
1628        #h @no_duplicates_append_commute @(no_duplicates_append_r … h)
1629      ]
1630    ]
1631  ]
1632| #Hf #Henv_it cases(IH … no_dup_tail … Henv_it)
1633  [9: >EQtail in ⊢ (??%?); %
1634  |13: %
1635  |6: assumption
1636  |10: %
1637  |*:
1638  ]
1639  #new_env_it * #new_fresh ** #is_fresh_newfresh #EQlook_new_env_it ***** #EQt_code #EQ_get_el
1640  #EQsign_env_it #EQ_f_lab #same_fresh_map #same_to_keep %{new_env_it} %{new_fresh}
1641  %
1642  [ %
1643     [ assumption
1644     | whd in ⊢ (??%?); @eq_function_name_elim [ #ABS >ABS in Hf; * #H @⊥ @H %]
1645        #_ normalize nodelta assumption ]]
1646   % [2: #x #Hx <same_to_keep // >associative_append @memb_append_l22
1647        inversion(memb ???) // #ABS lapply(lab_to_keep_in_domain … (eq_true_to_b … ABS))
1648        #ABS1 @(memb_no_duplicates_append … (a_return_post x) … H) //
1649        cases(lookup_ok_append … Henv_it) #l1 * #l2 * #EQ1 #EQ2 destruct(EQ1 EQ2)
1650        >foldr_map_append >memb_append_l2 // >foldr_map_append >memb_append_l1 //
1651        whd in match (foldr ?????); @orb_Prop_r >memb_append_l1 // >Hx % ]
1652   % [2: #x #Hx <same_fresh_map // >cons_append <associative_append
1653         <associative_append in ⊢ (??(???(??%?)?)?); >associative_append
1654         @(get_element_append_r1)
1655         % >domain_of_associative_list_append #ABS cases(memb_append … ABS)
1656         [ whd in match (memb ???); inversion(x==hd_lab) normalize nodelta
1657           [2: #_ whd in match (memb ???); #EQ destruct ] #EQx_hdlab #_
1658               <(\P EQx_hdlab) in Hhd_lab; cases(lookup_ok_append … Henv_it)
1659               #tail1 * #tail2 * #EQ1 #EQ2 destruct >foldr_map_append >foldr_map_append
1660               * #ABS1 @ABS1 >memb_append_l2 // >memb_append_l2 //
1661               >memb_append_l1 // whd in ⊢ (??%?); cases(x==?) //
1662               normalize nodelta >memb_append_l1 // >Hx %
1663         | #ABS1 @(memb_no_duplicates_append … x … H)
1664           [ @(lab_map_in_domain … (eq_true_to_b … ABS1))
1665           | cases(lookup_ok_append … Henv_it)
1666             #tail1 * #tail2 * #EQ1 #EQ2 destruct >foldr_map_append >foldr_map_append
1667             >memb_append_l2 // >memb_append_l1 //
1668             whd in ⊢ (??%?); cases(x==?) //
1669             normalize nodelta >memb_append_l1 // >Hx %
1670           ]
1671         ]
1672     ] 
1673   % // % // % // <EQ_get_el >cons_append <associative_append  <associative_append in ⊢ (??(???(??%?)?)?);
1674   >associative_append
1675   @get_element_append_r1 % >domain_of_associative_list_append #ABS cases(memb_append … ABS)
1676         [ whd in match (memb ???); inversion(a_call (f_lab … new_env_it)== a_call hd_lab)
1677           #EQ_hdlab normalize nodelta
1678           [2: whd in ⊢ (??%? → ?); #EQ destruct ] 
1679           #_ <(\P EQ_hdlab) in Hhd_lab; cases(lookup_ok_append … Henv_it)
1680           #tail1 * #tail2 * #EQ1 #EQ2 destruct >foldr_map_append >foldr_map_append
1681           * #ABS1 @ABS1 >memb_append_l2 // >memb_append_l2 //
1682           >memb_append_l1 // whd in ⊢ (??%?); >EQ_f_lab >(\b (refl …)) //
1683         | #ABS1 @(memb_no_duplicates_append … (a_call (f_lab … new_env_it)) … H)
1684           [ @(lab_map_in_domain … (eq_true_to_b … ABS1))
1685           | cases(lookup_ok_append … Henv_it)
1686             #tail1 * #tail2 * #EQ1 #EQ2 destruct >foldr_map_append >foldr_map_append
1687             >memb_append_l2 // >memb_append_l1 //
1688             whd in ⊢ (??%?); >EQ_f_lab >(\b (refl …)) //
1689           ]
1690         ]
1691]
1692qed.
1693
1694lemma len_append : ∀S : abstract_status.∀st1,st2,st3 : S.
1695∀t1 : raw_trace … st1 st2.∀t2 : raw_trace … st2 st3.
1696len … (t1 @ t2) = len … t1 + len …  t2.
1697#S #st1 #st2 #st3 #t1 elim t1 normalize //
1698qed.
1699
1700axiom permute_ok : ∀A.∀l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,l9,x,y.
1701  (is_permutation A ((l5 @l1) @l6@l7) ((l4 @[]) @l6@l7)
1702 →is_permutation A ((l6 @l2) @l7) ((l3 @l8) @l9)
1703 →is_permutation A
1704   (y ::((l6 @((x ::l5) @(l1 @l2))) @l7))
1705   (((x ::l4 @y ::l3) @l8) @l9)).
1706   
1707lemma append_premeasurable : ∀S : abstract_status.
1708∀st1,st2,st3 : S.∀t1 : raw_trace … st1 st2.∀t2: raw_trace … st2 st3.
1709pre_measurable_trace … t1 → pre_measurable_trace … t2 →
1710pre_measurable_trace … (t1 @ t2).
1711#S #st1 #st2 #st3 #t1 #t2 #Hpre lapply t2 -t2 elim Hpre -Hpre //
1712[ #s1 #s2 #s3 #l #prf #tl #Hclass #Hcost #pre_tl #IH #t2 #pr3_t2
1713  %2 // @IH //
1714| #s1 #s2 #s3 #l #Hclass #prf #tl #ret_l #pre_tl #IH #t2 #pre_t2 %3 // @IH //
1715| #s1 #s2 #s3 #l #prf #tl #Hclass #call #callp #pre_tl #IH #t2 #pre_t2 %4 // @IH //
1716| #s1 #s2 #s3 #s4 #s5 #l1 #l2 #prf1 #tl1 #tl2 #prf2 #Hclass1 #Hclass3 #call_l1
1717  #nopost #pre_tl1 #pre_tl2 #succ #unlab #IH1 #IH2 #t2 #pre_t2
1718  normalize >append_associative in ⊢ (????(???????%)); %5 // @IH2 //
1719]
1720qed.
1721   
1722
1723lemma correctness_lemma : ∀p,p',prog.
1724no_duplicates_labels … prog →
1725let 〈t_prog,m,keep〉 ≝ trans_prog … prog in
1726∀s1,s2,s1' : state p.∀abs_top,abs_tail.
1727∀t : raw_trace (operational_semantics … p' prog) s1 s2.
1728pre_measurable_trace … t →
1729state_rel … m keep abs_top abs_tail s1 s1' →
1730∃abs_top',abs_tail'.∃s2'.∃t' : raw_trace (operational_semantics … p' t_prog) s1' s2'.
1731state_rel  … m keep abs_top' abs_tail' s2 s2' ∧
1732is_permutation ? ((abs_top @ (map_labels_on_trace m (get_costlabels_of_trace … t))) @ abs_tail) 
1733                 (((get_costlabels_of_trace … t') @ abs_top' ) @ abs_tail') ∧
1734 len … t = len … t' ∧
1735 (∀k.∀i.option_hd … (cont … s2) = Some ? 〈ret_act (None ?),i〉 →
1736 cont … s1 = k @ cont … s2 →
1737∃k'.cont … s1' = k' @ cont … s2' ∧ |k| = |k'|)
1738∧ pre_measurable_trace … t'.
1739#p #p' #prog #no_dup @pair_elim * #t_prog #m #keep #EQtrans
1740#s1 #s2 #s1' #abs_top #abs_tail #t #Hpre lapply abs_top -abs_top lapply abs_tail
1741-abs_tail lapply s1' -s1' elim Hpre
1742[ #st #Hst #s1' #abs_tail #abs_top #H %{abs_top} %{abs_tail} %{s1'} %{(t_base …)}
1743  %
1744  [ %
1745    [ % [2: %] %{H} whd in match (get_costlabels_of_trace ????); >append_nil
1746      @is_permutation_eq
1747    | #k #i #_ #EQcont_st %{[ ]} % // @sym_eq @eq_f @append_l1_injective_r //
1748    ]
1749  | %1 whd in H; cases(check_continuations ?????) in H; [*] ** #H1 #abs_top_cont
1750    #abs_tail_cont normalize nodelta **** #_ #rel #_ #H2 #_ normalize
1751    inversion(code ??) normalize nodelta
1752    [|#r_t| #seq #lbl #i #_ | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_
1753     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ | #f #act_p #rlbl #i #_
1754     | #lin #io #lout #i #_ ]
1755    #EQcode_s1' normalize nodelta [|*: % #EQ destruct] <H2
1756    >EQcode_s1' in rel; whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ)
1757    normalize in Hst; <e1 in Hst; normalize nodelta //
1758  ]   
1759| #st1 #st2 #st3 #lab whd in ⊢ (% → ?); #H inversion H in ⊢ ?; #st11 #st12
1760  [ * #lab1 #new_code #new_cont #EQcode11 #EQcont11 #EQcode12 #EQcont12 #EQstore
1761    #Hio11 #EQio12 #Hl1 #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 destruct #tl #class_st11 * #opt_l #EQ destruct(EQ)
1762    #pre_tl #IH #s1' #abs_tail #abs_top whd in match state_rel in ⊢ (% → ?); normalize nodelta >EQcont11 in ⊢ (% → ?);
1763    whd in match check_continuations; normalize nodelta whd in match (foldr2 ???????);
1764    inversion (cont ? s1') [ #_ *] * #l1' #new_code' #new_cont' #_ #EQconts1'
1765    normalize nodelta change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
1766    inversion(check_continuations ?????) [ #_ *] ** #H1 #l2 #ll2 #EQHl2
1767    >m_return_bind normalize nodelta inversion (call_post_clean ?????) [ #_ ***** ]
1768    * #l3 #code_c_st12 #EQcode_c_st12 normalize nodelta
1769    cases l1' in EQconts1'; (*in Hio11 Hl1 EQcont11 H;*) normalize nodelta
1770    [1,4: [ #x #y ] #_ (*#_ #_ #_ #H*) *****
1771    | #x #_ cases (ret_costed_abs ??) normalize nodelta [|#c] ******[|*] #EQ @⊥ >EQ in Hl1;
1772      normalize * /2/ ] *
1773    [ #EQconts1' normalize nodelta ****** #EQ destruct(EQ)
1774      #HH1 #EQ destruct(EQ) >EQcode11 in ⊢ (% → ?); inversion(code … s1')
1775      [
1776      | #x
1777      | #seq #lbl #i #_
1778      | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_
1779      | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_
1780      | #f #act_p #ret_post #i #_
1781      | #l_in #io #l_out #i #_
1782      ]
1783      [|*: #_ whd in ⊢ (??%% → ?); [ #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)]
1784           cases(call_post_clean ?????) normalize nodelta
1785           [1,3,5,7,9: #EQ destruct(EQ)]
1786        [ * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta [|#z3 cases(?==?) normalize nodelta]
1787          whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1788        | * #z1 #z2 cases(call_post_clean ?????) [| * #z3 #z4 ] whd in ⊢ (??%% → ?);
1789          [2: cases(call_post_clean ?????) normalize nodelta
1790          [| * #z5 #z6 cases(?∧?) normalize nodelta]] whd in ⊢ (??%% → ?);
1791          #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1792        | * #z1 #z2 cases(call_post_clean ?????)
1793          [| * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta]
1794          whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1795        | * #z1 #z2 cases ret_post normalize nodelta
1796          [| #z3 cases(memb ???) normalize nodelta [ cases(?==?) normalize nodelta] ]
1797          whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1798        | * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta
1799          whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1800        ]
1801      ]
1802      #EQcodes1' whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ) #EQstore11 #EQio11 #EQ destruct(EQ)
1803      cases(IH (mk_state ? new_code' new_cont' (store … s1') false) ll2 abs_top …)
1804      [2: whd whd in match check_continuations; normalize nodelta
1805         change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????); >EQHl2
1806         normalize nodelta % // % // % // % // @EQcode_c_st12 ]
1807      #abs_top' * #abs_tail' * #st3' * #t' ****
1808      #Hst3st3' #EQcosts #EQlen #stack_safety #pre_t'
1809      %{abs_top'} %{abs_tail'} %{st3'} %{(t_ind … (cost_act (None ?)) …  t')}
1810      [ @hide_prf whd @(empty ????? 〈(cost_act (None ?)),?〉)
1811        [3: assumption |4: assumption |*:] /3 by nmk/ ]
1812      %
1813      [ % [%   [2: whd in ⊢ (??%%); >EQlen % ] %{Hst3st3'} @EQcosts]
1814      * [| #hd #tl] #i #EQcont_st3 >EQcont11 #EQ whd in EQ : (???%);
1815      [ <EQ in EQcont_st3; whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ1 destruct ]
1816      destruct cases(stack_safety … EQcont_st3 … e0) #k1 *
1817      #EQk1 #EQlength %{(〈cost_act (None ?),new_code'〉::k1)}
1818      % [ >EQk1 % | whd in ⊢ (??%%); @eq_f // ] ]
1819      %2 // [2: % //] normalize >EQcodes1' normalize nodelta <EQio11
1820      normalize in class_st11; >EQcode11 in class_st11; //
1821    | #lbl #EQconts1' normalize nodelta ******* #EQ destruct(EQ)
1822      #HH1 #EQ destruct(EQ) #EQget_el >EQcode11 in ⊢ (% → ?);
1823      inversion(code … s1')
1824      [
1825      | #x
1826      | #seq #lbl #i #_
1827      | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_
1828      | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_
1829      | #f #act_p #ret_post #i #_
1830      | #l_in #io #l_out #i #_
1831      ]
1832      [|*: #_ whd in ⊢ (??%% → ?);
1833           [ #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1834           | cases(call_post_clean ?????) normalize nodelta
1835             [| * #z2 #z3 cases lbl normalize nodelta
1836                [| #z4 cases(?==?) normalize nodelta] ]
1837             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1838           | cases(call_post_clean ?????) normalize nodelta
1839             [| * #z2 #z3 cases(call_post_clean ?????)
1840               [| * #z4 #z5 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
1841                  [| * #z6 #z7 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
1842             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1843           |  cases(call_post_clean ?????) normalize nodelta
1844             [| * #z2 #z3 cases(call_post_clean ?????)
1845                [| * #z4 #z5 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
1846             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1847           | cases(call_post_clean ?????) normalize nodelta
1848             [| * #z1 #z2 cases ret_post normalize nodelta
1849                [| #z3 cases(memb ???) normalize nodelta
1850                   [ cases (?==?) normalize nodelta]]]
1851             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1852           | cases(call_post_clean ?????) normalize nodelta
1853             [| * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta ]
1854             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1855           ]
1856      ]
1857      #EQcodes1' whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ) #EQstore #EQio #EQ destruct(EQ)
1858      cases(IH (mk_state ? new_code' new_cont' (store … s1') false) ll2 l3 …)
1859      [2: whd whd in match check_continuations; normalize nodelta
1860         change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
1861         >EQHl2 in ⊢ (match % with [ _⇒ ? | _ ⇒ ?]);
1862         normalize nodelta % // % // % // % // @EQcode_c_st12 ]
1863      #abs_top' * #abs_tail' * #st3' * #t' **** #Hst3st3' #EQcost #EQlen #stack_safety
1864      #pre_t'
1865      %{abs_top'} %{abs_tail'} %{st3'}
1866      %{(t_ind … (cost_act (Some ? lbl)) … t')}
1867      [ @hide_prf whd @(empty ????? 〈(cost_act (Some ? lbl)),?〉)
1868        [3: assumption |4: assumption |*:] /3 by nmk/ ]
1869      %
1870      [ % [% [2: whd in ⊢ (??%%); >EQlen % ] %{Hst3st3'} >map_labels_on_trace_append
1871          whd in match (map_labels_on_trace ? [lbl]); >append_nil >EQget_el
1872          @is_permutation_cons assumption
1873        | * [| #hd #tl] #i #EQcont_st3 >EQcont11 #EQ whd in EQ : (???%);
1874          [ <EQ in EQcont_st3; whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ1 destruct ]
1875          destruct cases(stack_safety … EQcont_st3 … e0) #k1 *
1876          #EQk1 #EQlength %{(〈cost_act (Some ? lbl),new_code'〉::k1)}
1877          % [ >EQk1 % | whd in ⊢ (??%%); @eq_f // ]
1878        ]]
1879      %2 // [2: % //] normalize >EQcodes1' normalize nodelta <EQio
1880      normalize in class_st11; >EQcode11 in class_st11; //
1881    ]
1882  | #seq #i #mem * [|#lbl] #EQcode_st11 #EQeval_seq #EQ destruct(EQ) #EQcont
1883    #EQ destruct(EQ) #EQio11 #EQio12 #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 destruct #t #Hst11
1884    #_ #Hpre_t #IH #s1' #abs_tail #abs_top whd in ⊢ (% → ?);
1885    inversion(check_continuations ?????) normalize nodelta [1,3: #_ *]
1886    ** #H1 #abs_top_cont #abs_tail_cont #EQcheck normalize nodelta ****
1887    #HH1 [ >EQcode_st11 in ⊢ (% → ?); | >EQcode_st11 in ⊢ (% → ?); ]
1888    inversion(code ??)
1889    [1,2,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14:
1890      [1,7: #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1891      |2,8: #r_t #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1892      |3,9: #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_ #_
1893            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
1894            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
1895                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
1896                     [2,4: * #z5 #z6 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
1897            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1898      |4,10:  #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ #_
1899            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
1900            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
1901                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
1902            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1903      |5,11: #f #act_p #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
1904             normalize nodelta
1905             [2,4: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
1906               [2,4: #l1 cases(memb ???) normalize nodelta
1907                 [1,3: cases(?==?) normalize nodelta ]]]
1908            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1909      |6,12: #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
1910             normalize nodelta
1911             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
1912             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1913      ]
1914    ]
1915    #seq1 #opt_l #i' #_ #EQcode_s1' change with (m_bind ?????) in ⊢ (??%? → ?);
1916    inversion(call_post_clean ????) [1,3: #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct]
1917    * #gen_labs #i'' #EQclean >m_return_bind inversion(opt_l) normalize nodelta
1918    [2,4: #lab1 ] #EQ destruct(EQ)
1919    [1,2: inversion(?==?) normalize nodelta #EQget_el ]
1920    whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1921    #EQstore #EQinfo #EQ destruct(EQ)
1922    cases(IH … (mk_state ? i' (cont … s1') (store … st12) (io_info … s1')) abs_tail_cont ?)
1923    [3,6: whd
1924       [ <EQcont in ⊢ (match % with [_ ⇒ ? | _⇒ ?]); >EQcheck in ⊢ (match % with [_ ⇒ ? | _⇒ ?]);
1925       | <EQcont in ⊢ (match % with [_ ⇒ ? | _⇒ ?]); >EQcheck in ⊢ (match % with [_ ⇒ ? | _⇒ ?]);
1926       ]
1927       normalize nodelta % // % // % // % // assumption
1928    |2,5:
1929    ]
1930    #abs_top1 * #abs_tail1 * #s2' * #t' **** #Hst3_s2' #EQcosts #EQlen #stack_safety
1931    #pre_t' %{abs_top1}
1932    %{abs_tail1} %{s2'} %{(t_ind … t')}
1933    [1,4: @hide_prf @(seq_sil … EQcode_s1') //
1934    |2,5:
1935    ]
1936    % [1,3: % [1,3: % [2,4: whd in ⊢ (??%%); @eq_f // ] %{Hst3_s2'} [2: assumption]
1937        whd in ⊢ (??%%); whd in match (get_costlabels_of_trace ????);
1938        whd in match (map_labels_on_trace ??); >(\P EQget_el) @is_permutation_cons
1939        assumption
1940      |*: #k #i #EQcont_st3 >EQcont #EQ
1941          cases(stack_safety … EQcont_st3 … EQ) #k1 * #EQk1 #EQlength %{k1} % //
1942      ]]
1943    %2 // [2,4: % //] normalize >EQcode_s1' normalize nodelta % #EQ destruct
1944  | #cond #ltrue #i_true #lfalse #i_false #i #mem #EQcode_st11 #EQcond #EQcont_st12
1945    #EQ1 #EQ2 destruct(EQ1 EQ2) #EQio_st11 #EQio_st12 #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 destruct #t
1946    #Hclass #_ #Hpre #IH #s1' #abs_tail #abs_top whd in ⊢ (% → ?); inversion(check_continuations ?????)
1947    [ #_ *] ** #H1 #abs_top_cont #abs_tail_cont #EQcheck normalize nodelta **** #HH1
1948    >EQcode_st11 in ⊢ (% → ?); inversion(code ??)
1949    [1,2,3,5,6,7:
1950     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1951     | #r_t #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1952     | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
1953       normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
1954       [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
1955       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1956     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ #_
1957       whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
1958       [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
1959       [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
1960       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1961     | #f #act_p #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
1962             normalize nodelta
1963             [2,4: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
1964               [2,4: #l1 cases(memb ???) normalize nodelta
1965                 [1,3: cases(?==?) normalize nodelta ]]]
1966            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1967     | #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
1968             normalize nodelta
1969             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
1970             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
1971      ]
1972    ]
1973    #cond1 #ltrue1 #i_true1 #lfalse1 #ifalse1 #i' #_ #_ #_
1974    #EQcode_s1' whd in ⊢ (??%% → ?); inversion(call_post_clean ?????) normalize nodelta
1975    [ #_ #EQ destruct ] * #gen_lab_i' #i'' #EQi'' inversion(call_post_clean ????)
1976    [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct] * #gen_lab_ifalse1 #i_false' #EQi_false'
1977    >m_return_bind inversion(call_post_clean ????) [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct]
1978    * #gen_lab_i_true' #i_true' #EQi_true' >m_return_bind inversion(?==?) normalize nodelta
1979    [2: #_ #EQ destruct] #EQget_ltrue1 inversion(?==?) normalize nodelta #EQget_lfalse1
1980    whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ) #EQstore11 #EQio11
1981    #EQ destruct(EQ)
1982    cases(IH …
1983     (mk_state ? i_true1 (〈cost_act (None ?),i'〉 :: cont … s1') (store … st12) (io_info … st12))
1984     abs_tail_cont gen_lab_i_true')
1985    [2: whd whd in match (check_continuations ?????);
1986        >EQcont_st12 in ⊢ (match % with [_ ⇒ ? | _ ⇒ ?]); whd in match (foldr2 ???????);
1987        change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
1988        >EQcheck in ⊢ (match % with [_ ⇒ ? | _ ⇒ ?]); normalize nodelta
1989        >EQi'' normalize nodelta % // % // % // % [2: assumption ] % // % //
1990    ] #abs_top1 * #abs_tail1 * #s2' * #t' **** #Hst3_s2' #EQcost #EQlen
1991      #stack_safety #pre_t' %{abs_top1} %{abs_tail1}
1992    %{s2'} %{(t_ind … t')}
1993    [ @hide_prf @(cond_true … EQcode_s1') //
1994    |
1995    ]
1996    % [ %
1997    [ % [2: whd in ⊢ (??%%); @eq_f // ] %{Hst3_s2'}
1998      whd in match (get_costlabels_of_trace ????); whd in match(map_labels_on_trace ??);
1999      >(\P EQget_ltrue1) whd in match (get_costlabels_of_trace ????) in ⊢ (???%); @is_permutation_cons
2000      assumption
2001    |  #k #i1 #EQcont_st3 #EQcont_st11
2002       cases(stack_safety … (〈cost_act (None NonFunctionalLabel),i〉::k) … EQcont_st3 …)
2003       [2: >EQcont_st12 >EQcont_st11 % ]
2004       * [|#hd1 #tl1] * #EQk1 whd in ⊢ (??%% → ?); #EQlength destruct
2005       %{tl1} % // whd in EQk1 : (??%%); destruct //
2006    ]]
2007    %2 // [2: % //] normalize >EQcode_s1' normalize nodelta % #EQ destruct
2008  | #cond #ltrue #i_true #lfalse #i_false #i #mem #EQcode_st11 #EQcond #EQcont_st12
2009    #EQ1 #EQ2 destruct(EQ1 EQ2) #EQio_st11 #EQio_st12 #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 destruct #t
2010    #Hclass #_ #Hpre #IH #s1' #abs_tail #abs_top whd in ⊢ (% → ?); inversion(check_continuations ?????)
2011    [ #_ *] ** #H1 #abs_top_cont #abs_tail_cont #EQcheck normalize nodelta **** #HH1
2012    >EQcode_st11 in ⊢ (% → ?); inversion(code ??)
2013    [1,2,3,5,6,7:
2014     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2015     | #r_t #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2016     | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2017       normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2018       [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
2019       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2020     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ #_
2021       whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2022       [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2023       [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
2024       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2025     | #f #act_p #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2026             normalize nodelta
2027             [2,4: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2028               [2,4: #l1 cases(memb ???) normalize nodelta
2029                 [1,3: cases(?==?) normalize nodelta ]]]
2030            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2031     | #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2032             normalize nodelta
2033             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
2034             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2035      ]
2036    ] #cond1 #ltrue1 #i_true1 #lfalse1 #ifalse1 #i' #_ #_ #_
2037    #EQcode_s1' whd in ⊢ (??%% → ?); inversion(call_post_clean ?????) normalize nodelta
2038    [ #_ #EQ destruct ] * #gen_lab_i' #i'' #EQi'' inversion(call_post_clean ????)
2039    [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct] * #gen_lab_ifalse1 #i_false' #EQi_false'
2040    >m_return_bind inversion(call_post_clean ????) [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct]
2041    * #gen_lab_i_true' #i_true' #EQi_true' >m_return_bind inversion(?==?) normalize nodelta
2042    [2: #_ #EQ destruct] #EQget_ltrue1 inversion(?==?) normalize nodelta #EQget_lfalse1
2043    whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ) #EQstore11 #EQio11
2044    #EQ destruct(EQ)
2045    cases(IH …
2046     (mk_state ? ifalse1 (〈cost_act (None ?),i'〉 :: cont … s1') (store … st12) (io_info … st12))
2047     abs_tail_cont gen_lab_ifalse1)
2048    [2: whd whd in match (check_continuations ?????);
2049        >EQcont_st12 in ⊢ (match % with [_ ⇒ ? | _ ⇒ ?]); whd in match (foldr2 ???????);
2050        change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
2051        >EQcheck in ⊢ (match % with [_ ⇒ ? | _ ⇒ ?]); normalize nodelta
2052        >EQi'' normalize nodelta % // % // % // % [2: assumption ] % // % //
2053    ] #abs_top1 * #abs_tail1 * #s2' * #t' **** #Hst3_s2' #EQcost #EQlen #stack_safety
2054    #pre_t'
2055    %{abs_top1} %{abs_tail1} %{s2'} %{(t_ind … t')}
2056    [ @hide_prf @(cond_false … EQcode_s1') //
2057    |
2058    ]
2059    % [ %
2060    [ % [2: whd in ⊢ (??%%); @eq_f // ] %{Hst3_s2'}
2061      whd in match (get_costlabels_of_trace ????); whd in match(map_labels_on_trace ??);
2062      >(\P EQget_lfalse1) whd in match (get_costlabels_of_trace ????) in ⊢ (???%); @is_permutation_cons
2063      assumption
2064    | #k #i1 #EQcont_st3 #EQcont_st11
2065      cases(stack_safety … (〈cost_act (None NonFunctionalLabel),i〉::k) … EQcont_st3 …)
2066      [2: >EQcont_st12 >EQcont_st11 % ]
2067      * [|#hd1 #tl1] * #EQk1 whd in ⊢ (??%% → ?); #EQlength destruct
2068      %{tl1} % // whd in EQk1 : (??%%); destruct //
2069    ] ]
2070    %2 // [2,4: % //] normalize >EQcode_s1' normalize nodelta % #EQ destruct
2071 | #cond #ltrue #i_true #lfalse #i_false #store #EQcode_st11 #EQev_loop #EQcont_st12 #EQ1 #EQ2 destruct
2072   #EQio_11 #EQio_12 #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 destruct #t #Hclass11 #_ #Hpre #IH #s1' #abs_top #abs_tail
2073   whd in ⊢ (% → ?); inversion(check_continuations ?????) [ #_ * ] ** #H1 #abs_top_cont #abs_tail_cont
2074   #EQcheck normalize nodelta **** #HH1 >EQcode_st11 in ⊢ (% → ?); inversion(code ??)
2075   [1,2,3,4,6,7:
2076     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2077     | #r_t #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2078     | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2079       normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2080       [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
2081       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2082     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_ #_
2083            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2084            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2085                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
2086                     [2,4: * #z5 #z6 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
2087            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2088     | #f #act_p #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2089             normalize nodelta
2090             [2,4: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2091               [2,4: #l1 cases(memb ???) normalize nodelta
2092                 [1,3: cases(?==?) normalize nodelta ]]]
2093            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2094     | #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2095             normalize nodelta
2096             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
2097             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2098      ]
2099   ] #cond1 #ltrue1 #i_true1 #lfalse1 #i_false1 #_ #_
2100   #EQcode_s1' whd in ⊢ (??%% → ?); inversion(call_post_clean ?????) normalize nodelta
2101   [ #_ #EQ destruct] * #gen_ifalse1 #i_false2 #EQi_false2 inversion(call_post_clean ?????)
2102   [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct ] * #gen_itrue1 #i_true2 #EQi_true2 >m_return_bind
2103   inversion (?==?) normalize nodelta [2: #_ #EQ destruct] #EQget_ltrue1
2104   inversion(?==?) #EQget_lfalse1 whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ)
2105   -EQ #EQ destruct(EQ) #EQstore_11 #EQ_info11 #EQ destruct
2106   cases(IH …
2107    (mk_state ? i_true1
2108     (〈cost_act (None ?),LOOP … cond ltrue i_true1 lfalse i_false1〉 ::
2109        cont … s1') (store … st12) (io_info … st12)) abs_tail_cont gen_itrue1)
2110   [2: whd >EQcont_st12 whd in match (check_continuations ?????);
2111       whd in match (foldr2 ???????);
2112       change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
2113       >EQcheck normalize nodelta whd in match (call_post_clean ?????);
2114       >EQi_false2 normalize nodelta >EQi_true2 >m_return_bind >EQget_ltrue1
2115       >EQget_lfalse1 normalize nodelta % // % // % // % [2: assumption] % //
2116       % //
2117   ]
2118   #abs_cont1 * #abs_tail1 * #s2' * #t' **** #Hst3_s2' #EQcosts #EQlen #stack_safety
2119   #pre_t' %{abs_cont1} %{abs_tail1} %{s2'} %{(t_ind … t')}
2120   [ @hide_prf @(loop_true … EQcode_s1') // |]
2121   % [ %
2122   [ % [2: whd in ⊢ (??%%); @eq_f //] %{Hst3_s2'}
2123     whd in match (get_costlabels_of_trace ????); whd in match(map_labels_on_trace ??);
2124      >(\P EQget_ltrue1) whd in match (get_costlabels_of_trace ????) in ⊢ (???%);
2125     @is_permutation_cons assumption
2126   | #k #i1 #EQcont_st3 #EQcont_st11
2127      cases(stack_safety … (〈cost_act (None NonFunctionalLabel), LOOP p cond ltrue (code p st12) lfalse i_false〉::k) … EQcont_st3 …)
2128      [2: >EQcont_st12 >EQcont_st11 % ]
2129      * [|#hd1 #tl1] * #EQk1 whd in ⊢ (??%% → ?); #EQlength destruct
2130      %{tl1} % // whd in EQk1 : (??%%); destruct //
2131   ] ]
2132   %2 // [2,4: % //] normalize >EQcode_s1' normalize nodelta % #EQ destruct
2133 | #cond #ltrue #i_true #lfalse #i_false #mem #EQcode_st11 #EQev_loop #EQcont_st12 #EQ1 #EQstore11 destruct
2134   #EQio_11 #EQio_12 #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 destruct #t #Hclass11 #_ #Hpre #IH #s1' #abs_top #abs_tail
2135   whd in ⊢ (% → ?); inversion(check_continuations ?????) [ #_ * ] ** #H1 #abs_top_cont #abs_tail_cont
2136   #EQcheck normalize nodelta **** #HH1 >EQcode_st11 in ⊢ (% → ?); inversion(code ??)
2137   [1,2,3,4,6,7:
2138     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2139     | #r_t #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2140     | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2141       normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2142       [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
2143       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2144     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_ #_
2145            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2146            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2147                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
2148                     [2,4: * #z5 #z6 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
2149            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2150     | #f #act_p #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2151             normalize nodelta
2152             [2,4: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2153               [2,4: #l1 cases(memb ???) normalize nodelta
2154                 [1,3: cases(?==?) normalize nodelta ]]]
2155            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2156     | #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2157             normalize nodelta
2158             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
2159             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2160      ]
2161   ] #cond1 #ltrue1 #i_true1 #lfalse1 #i_false1 #_ #_
2162   #EQcode_s1' whd in ⊢ (??%% → ?); inversion(call_post_clean ?????) normalize nodelta
2163   [ #_ #EQ destruct] * #gen_ifalse1 #i_false2 #EQi_false2 inversion(call_post_clean ?????)
2164   [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct ] * #gen_itrue1 #i_true2 #EQi_true2 >m_return_bind
2165   inversion (?==?) normalize nodelta [2: #_ #EQ destruct] #EQget_ltrue1
2166   inversion(?==?) #EQget_lfalse1 whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ)
2167   -EQ #EQ destruct(EQ) #EQstore_11 #EQ_info11 #EQ destruct
2168   cases(IH …
2169    (mk_state ? i_false1
2170     (cont … s1') (store … st12) (io_info … st12)) abs_tail_cont gen_ifalse1)
2171   [2: whd >EQcont_st12 whd in match (check_continuations ?????);
2172       whd in match (foldr2 ???????);
2173       change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
2174       >EQcheck normalize nodelta whd in match (call_post_clean ?????);
2175       >EQi_false2 normalize nodelta >EQi_true2
2176        % // % // % // % [2: %] //
2177   ]
2178   #abs_cont1 * #abs_tail1 * #s2' * #t' **** #Hst3_s2' #EQcosts #EQlen #stack_safety
2179   #pre_t' %{abs_cont1} %{abs_tail1} %{s2'} %{(t_ind … t')}
2180   [ @hide_prf @(loop_false … EQcode_s1') // |]
2181   % [ %
2182   [ % [2: whd in ⊢ (??%%); @eq_f //] %{Hst3_s2'}
2183     whd in match (get_costlabels_of_trace ????); whd in match(map_labels_on_trace ??);
2184     >(\P EQget_lfalse1) whd in match (get_costlabels_of_trace ????) in ⊢ (???%);
2185     @is_permutation_cons assumption
2186   | #k #i #EQcont_st3 <EQcont_st12 #EQ
2187     cases(stack_safety … EQcont_st3 … EQ) #k1 * #EQk1 #EQlength %{k1} % //
2188   ]]
2189   %2 // [2,4: % //] normalize >EQcode_s1' normalize nodelta % #EQ destruct
2190 | #lin #io #lout #i #mem #EQcode_st11 #EQev_io #EQcost_st12 #EQcont_st12
2191   #EQ destruct #EQio_12 #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 destruct #t #Hclass_11 #_ #Hpre
2192   #IH #s1' #abs_top #abs_tail whd in ⊢ (% → ?); inversion(check_continuations ?????)
2193   [#_ *] ** #H1 #abs_top_cont #abs_tail_cont #EQcheck normalize nodelta ****
2194   #HH1 >EQcode_st11 in ⊢ (% → ?); inversion(code ??)
2195   [1,2,3,4,5,6:
2196     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2197     | #r_t #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2198     | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2199       normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2200       [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
2201       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2202     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_ #_
2203            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2204            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2205                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
2206                     [2,4: * #z5 #z6 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
2207            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2208     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ #_
2209       whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2210       [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2211       [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
2212       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2213     | #f #act_p #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2214             normalize nodelta
2215             [2,4: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2216               [2,4: #l1 cases(memb ???) normalize nodelta
2217                 [1,3: cases(?==?) normalize nodelta ]]]
2218            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2219      ]
2220   ] #lin1 #io1 #lout1 #i1 #_ #EQcode_s1'
2221   whd in ⊢ (??%% → ?); inversion(call_post_clean ?????) normalize nodelta
2222   [ #_ #EQ destruct] * #gen_lab #i2 #EQ_i2 inversion(?==?) normalize nodelta
2223   [2: #_ #EQ destruct] #EQget_lout1 inversion(?==?) #EQget_lin1 normalize nodelta
2224   whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2225   #EQstore11 #EQinfo11 #EQ destruct
2226   cases(IH …
2227    (mk_state ? (EMPTY p) (〈cost_act (Some ? lout),i1〉::cont … s1') (store … st12) true)
2228    abs_tail_cont [ ])
2229   [2: whd >EQcont_st12 whd in match (check_continuations ?????);
2230       whd in match (foldr2 ???????);
2231       change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
2232       >EQcheck normalize nodelta >EQ_i2 normalize nodelta % // % // % // %
2233       [2: >EQcost_st12 % ] % [ % // % //] >(\P EQget_lout1) %
2234   ]
2235   #abs_cont1 * #abs_tail1 * #s2' * #t' **** #Hst3_s2' #EQcosts #EQlen #stack_safety
2236   #pre_t' %{abs_cont1} %{abs_tail1} %{s2'} %{(t_ind … t')}
2237   [ @hide_prf @(io_in … EQcode_s1') // |]
2238   % [ %
2239   [ % [2: whd in ⊢ (??%%); @eq_f //] %{Hst3_s2'}
2240     whd in match (get_costlabels_of_trace ????); whd in match(map_labels_on_trace ??);
2241     >(\P EQget_lin1) whd in match (get_costlabels_of_trace ????) in ⊢ (???%);
2242     @is_permutation_cons assumption
2243   | #k #i1 #EQcont_st3 #EQcont_st11
2244      cases(stack_safety … (〈cost_act (Some ? lout),i〉::k) … EQcont_st3 …)
2245      [2: >EQcont_st12 >EQcont_st11 %]
2246      * [|#hd1 #tl1] * #EQk1 whd in ⊢ (??%% → ?); #EQlength destruct
2247      %{tl1} % // whd in EQk1 : (??%%); destruct //
2248   ]]
2249   %2 // [2,4: % //] normalize >EQcode_s1' normalize nodelta % #EQ destruct
2250  | #f #act_p #r_lb #cd #mem #env_it #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9 #EQ10
2251    #EQ11 #EQ12 destruct #tl #_ * #x #EQ destruct(EQ)
2252  | #r_t #mem #con #rb #i #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 #EQ7 #EQ8 #EQ9 #EQ10 #EQ11 #EQ12
2253    destruct #t #_ * #nf #EQ destruct
2254  ]
2255| #st1 #st2 #st3 #lab #st1_noio #H inversion H in ⊢ ?;
2256  [1,2,3,4,5,6,7,8:
2257    [ #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16
2258    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17
2259    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19 #x20
2260    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19 #x20   
2261    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19
2262    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19
2263    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x18
2264    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x18 #x19 #x20 #x21
2265    ]
2266    destruct #tl * #y #EQ destruct(EQ) @⊥ >EQ in x12; * #ABS @ABS %
2267  ]
2268  #st11 #st12 #r_t #mem #cont * [|#x] #i #EQcode_st11 #EQcont_st11 #EQ destruct(EQ)
2269  #EQio_11 #EQio_12 #EQev_ret #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 destruct(EQ1 EQ2 EQ3 EQ4 EQ5 EQ6)
2270  #t * #lbl #EQ destruct(EQ) #pre_t #IH #s1' #abs_tail #abs_top whd in ⊢ (% → ?);
2271  inversion(check_continuations …) [#_ *] ** #H1 #abs_top_cont #abs_tail_cont
2272  >EQcont_st11 in ⊢ (% → ?); inversion(cont … s1') [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ)]
2273  * #act_lab #i #cont_s1'' #_ #EQcont_s1' whd in ⊢ (??%% → ?);
2274  change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
2275  inversion(check_continuations ?????) normalize nodelta [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct]
2276  ** #H2 #abs_top_cont' #abs_tail_cont' #EQcheck normalize nodelta
2277  inversion(call_post_clean ?????) normalize nodelta [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct *****]
2278  * #gen_labs #i' #EQi' inversion act_lab normalize nodelta
2279  [ #f #lab | * [| #lbl1 ]| * [| #nf_l] |] #EQ destruct(EQ)
2280  [1,6: whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct *****
2281  |4,5: normalize nodelta whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ) ****** [2: *] #EQ destruct
2282  ]
2283  whd in match ret_costed_abs; normalize nodelta
2284  [ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ) ****** #EQ destruct(EQ) ]
2285  inversion (memb ???) normalize nodelta #Hlbl1 whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ)
2286  ****** [ * ] #EQ destruct(EQ) #HH2 #EQ destruct #EQget_el >EQcode_st11 in ⊢ (% → ?);
2287  inversion(code … s1')
2288  [1,3,4,5,6,7:
2289     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2290     | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2291       normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2292       [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
2293       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2294     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_ #_
2295            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2296            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2297                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
2298                     [2,4: * #z5 #z6 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
2299            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2300     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ #_
2301       whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2302       [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2303       [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
2304       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2305     | #f #act_p #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2306             normalize nodelta
2307             [2,4: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2308               [2,4: #l1 cases(memb ???) normalize nodelta
2309                 [1,3: cases(?==?) normalize nodelta ]]]
2310            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2311     | #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2312             normalize nodelta
2313             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
2314             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2315      ]
2316  ]
2317   #r_t' #EQcode_s1'
2318  whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2319  #EQstore11 #EQio_11 #EQ destruct
2320  cases(IH … (mk_state ? i cont_s1'' (store … st12) (io_info … st12)) abs_tail_cont gen_labs)
2321  [2: whd >EQcheck normalize nodelta % // % // % // % // @EQi' ]
2322  #abs_top1 * #abs_tail1 * #s2' * #t' **** #Hst3_s2' #EQcosts #EQlen #stack_safety
2323  #pre_t' %{abs_top1} %{abs_tail1} %{s2'} %{(t_ind … t')}
2324  [ @hide_prf @(ret_instr … EQcode_s1' … EQcont_s1') //
2325  | ]
2326  % [ %
2327  [ % [2: whd in ⊢ (??%%); @eq_f // ] %{Hst3_s2'}
2328    whd in match (get_costlabels_of_trace ????);
2329    whd in match (get_costlabels_of_trace ????) in ⊢ (???%);
2330    whd in match (map_labels_on_trace ??); >EQget_el @is_permutation_cons
2331    assumption
2332  | * [| #hd #tl] #i1 #EQcont_st3 >EQcont_st11 #EQ whd in EQ : (???%);
2333    [ <EQ in EQcont_st3; whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ1 destruct ]
2334    destruct cases(stack_safety … EQcont_st3 … e0) #k1 *
2335    #EQk1 #EQlength %{(〈ret_act (Some ? lbl1),i〉::k1)}
2336    % [ >EQk1 % | whd in ⊢ (??%%); @eq_f // ]
2337  ]]
2338  %3 // [2,4: % //] normalize >EQcode_s1' normalize nodelta % #EQ destruct
2339| #st1 #st2 #st3 #lab #H inversion H in ⊢ ?; #st11 #st12
2340  [1,2,3,4,5,6,7,9:
2341    [ #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16
2342    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17
2343    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19 #x20
2344    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19 #x20   
2345    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19
2346    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19
2347    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x18
2348    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x18 #x19 #x20
2349    ]
2350    destruct * #z1 * #z2 #EQ destruct(EQ) whd in ⊢ (?% → ?); >x3 in ⊢ (% → ?); *
2351  | #f #act_p #opt_l #i #mem #env_it #EQcode11 #EQenv_it #EQmem
2352    #EQ destruct(EQ) #EQcode12 #EQcont12 #EQio11 #EQio12 #EQ1 #EQ2 #EQ3
2353    destruct(EQ1 EQ2 EQ3) #EQ destruct(EQ) #tl #_ #_ whd in ⊢ (?% → ?); >EQcode11 in ⊢ (% → ?);
2354    normalize nodelta cases opt_l in EQcode11 EQcont12; normalize nodelta [ #x #y *]
2355    #lbl #EQcode11 #EQcont12 * #pre_tl #IH #st1' #abs_top #abs_tail
2356    whd in ⊢ (% → ?); inversion(check_continuations ????) [ #_ *] ** #H1
2357    #abs_top_cont #abs_tail_cont #EQcheck
2358    normalize nodelta **** #HH1 >EQcode11 in ⊢ (% → ?); inversion(code … st1')
2359    [1,2,3,4,5,7:
2360     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2361     | #r_t #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2362     | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2363       normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2364       [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
2365       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2366     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_ #_
2367            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2368            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2369                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
2370                     [2,4: * #z5 #z6 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
2371            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2372     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ #_
2373       whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2374       [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2375       [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
2376       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2377     | #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2378             normalize nodelta
2379             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
2380             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2381     ]
2382    ] #f' #act_p' #opt_l' #i' #_
2383    #EQcode_st1' #EQclean #EQstore #EQio #EQ destruct(EQ)
2384    lapply(trans_env_ok … no_dup) >EQtrans normalize nodelta #H
2385    cases(H … EQenv_it) -H #env_it' * #fresh' ** #is_fresh_fresh'
2386    #EQenv_it' ***** #EQtrans
2387    #EQgen_labels #EQsignature #EQlab_env_it #same_map #same_keep
2388    change with (m_bind ?????) in EQclean : (??%?); inversion(call_post_clean ?????) in EQclean;
2389    [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct] * #abs_top'' #i'' #EQi' >m_return_bind
2390    inversion opt_l' in EQcode_st1'; [| #lbl'] #EQopt_l' #EQcode_st1' normalize nodelta
2391    [2: inversion(memb ???) normalize nodelta #Hlbl_keep
2392        [  inversion (get_element ????) normalize nodelta [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct]
2393           #lbl'' #l3' #_ #EQget_el whd in match (eqb ???); inversion (eqb ???) normalize nodelta
2394          [2: #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct] #H cases(eqb_true ? lbl'' lbl') #H1 #_
2395          lapply(H1 H) -H -H1 #EQ destruct(EQ) inversion(eqb_list ???) normalize nodelta
2396          [2: #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct] #H cases(eqb_true (DeqSet_List ?) l3' abs_top'')
2397          #H1 #_ lapply(H1 H) -H -H1 #EQ destruct(EQ) whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ
2398          #EQ destruct(EQ)
2399          cases(IH (mk_state ? (f_body … env_it') (〈ret_act opt_l',i'〉 :: (cont … st1')) (store ? st12) false) (abs_tail_cont) (gen_labels … (call_post_trans … (f_body … env_it) fresh' (nil ?))))
2400          [2: whd >EQcont12
2401            change with (m_bind ??? (check_continuations ?????) ?) in match (check_continuations ?????);
2402            >EQcheck >m_return_bind normalize nodelta >EQi' normalize nodelta >EQopt_l'
2403            whd in match ret_costed_abs; normalize nodelta >Hlbl_keep normalize nodelta
2404            % // % // % // % [/5 by conj/] >EQgen_labels >EQcode12 <EQtrans
2405            @(inverse_call_post_trans … is_fresh_fresh')
2406            [2: % |*: [2,3: /2 by / ]
2407                cases(lookup_ok_append … EQenv_it) #env1 * #env2 * #EQ1 #EQ2
2408                whd in no_dup; destruct >EQ1 in no_dup; >foldr_map_append >foldr_map_append
2409                #no_dup lapply(no_duplicates_append_r … no_dup) #H1
2410                lapply(no_duplicates_append_l … H1) whd in match (foldr ?????); -H1
2411                change with ([?]@?) in match (?::?); #H1
2412                lapply(no_duplicates_append_r … H1) >append_nil //
2413            ]
2414          ]
2415          #abs_top''' * #abs_tail''' * #st3' * #t' **** #Hst3st3' #EQcosts #EQlen #stack_safety
2416          #pre_t' %{abs_top'''}
2417          %{abs_tail'''} %{st3'} %{(t_ind … (call_act f (f_lab … env_it')) …  t')}
2418          [ @hide_prf @call /2 width=10 by jmeq_to_eq/ ]
2419          % [ %
2420          [ % [2: whd in ⊢ (??%%); >EQlen %]
2421            %{Hst3st3'} >map_labels_on_trace_append whd in match (get_costlabels_of_trace ????) in ⊢ (???%);
2422            >EQlab_env_it >associative_append whd in match (append ???); >associative_append
2423            >associative_append in ⊢ (???%); >(associative_append … [?]) in ⊢ (???%);
2424            whd in match (map_labels_on_trace ??); >EQgen_labels @is_permutation_cons
2425            >append_nil whd in match (append ???) in ⊢ (???%); //
2426          | #k #i1 #EQcont_st3 #EQcont_st11
2427            cases(stack_safety … (〈ret_act (Some ? lbl),i〉::k) … EQcont_st3 …)
2428            [2: >EQcont12 >EQcont_st11 % ]
2429            * [|#hd1 #tl1] * #EQk1 whd in ⊢ (??%% → ?); #EQlength destruct
2430            %{tl1} % // whd in EQk1 : (??%%); destruct //
2431          ]]
2432          %4 // [2,4: % [2: % // |]] normalize >EQcode_st1' normalize nodelta % #EQ destruct
2433        | whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2434        ]
2435    | whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ)
2436    ]
2437  ]
2438| #st1 #st2 #st3 #st4 #st5 #l1 #l2 #H inversion H in ⊢ ?;
2439  [1,2,3,4,5,6,7,9:
2440    [ #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16
2441    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17
2442    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19 #x20
2443    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19 #x20   
2444    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19
2445    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19
2446    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x18
2447    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x18 #x19 #x20
2448    ]
2449    destruct #t1 #t2 #prf #_ #_ * #y1 * #y2 #EQ destruct(EQ) @⊥ >EQ in x12; * #H @H %
2450  ]
2451  #st11 #st12 #f #act_p #opt_l #i #mem #env_it #EQcode11 #EQenv_it #EQmem
2452  #EQ destruct(EQ) #EQcode12 #EQcont12 #EQio11 #EQio12 #EQ1 #EQ2 #EQ3
2453  destruct(EQ1 EQ2 EQ3) #EQ destruct(EQ) #t1 #t2 #H inversion H in ⊢ ?;
2454  [1,2,3,4,5,6,7,8:
2455    [ #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16
2456    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17
2457    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19 #x20
2458    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19 #x20   
2459    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19
2460    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x17 #x18 #x19
2461    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x18
2462    | #x1 #x2 #x3 #x4 #x5 #x6 #x7 #x8 #x9 #x10 #x11 #x12 #x13 #x14 #x15 #x16 #x18 #x19 #x20 #x21
2463    ]
2464    destruct #_ #_ #_ #_ #_ #_ #_ whd in ⊢ (% → ?); #EQ destruct(EQ)
2465    @⊥ >EQ in x12; * #H @H %
2466  ]
2467   #st41 #st42 #r_t #mem1 #new_cont #opt_l1 #cd #EQcode41 #EQcont41 #EQ destruct(EQ)
2468   #EQio41 #EQio42 #EQmem1 #EQ1 #EQ2 #EQ3 #EQ4 #EQ5 #EQ6 destruct #st11_noio
2469   #st41_noio #_ whd in ⊢ (?(?%) → ?); >EQcode11 in ⊢ (% → ?); normalize nodelta
2470   inversion(opt_l) in ⊢(% → ?); normalize nodelta [2: #lbl #_ * ] #EQopt_l destruct(EQopt_l)
2471   #_ #Hpre_t1 #Hpre_t2 whd in ⊢ (% → ?); * #EQcont11_42 >EQcode11 in ⊢ (% → ?);
2472   normalize nodelta #EQ destruct(EQ) whd in ⊢ (% → ?);
2473   #EQ destruct #IH1 #IH2 #st1' #abs_top #abs_tail
2474    whd in ⊢ (% → ?); inversion(check_continuations ????) [ #_ *] ** #H1
2475    #abs_top_cont #abs_tail_cont #EQcheck
2476    normalize nodelta **** #HH1 >EQcode11 in ⊢ (% → ?); inversion(code … st1')
2477    [1,2,3,4,5,7:
2478     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2479     | #r_t #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2480     | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2481       normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2482       [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
2483       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2484     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_ #_
2485            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2486            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2487                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
2488                     [2,4: * #z5 #z6 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
2489            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2490     | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ #_
2491       whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2492       [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2493       [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
2494       whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2495     | #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2496             normalize nodelta
2497             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
2498             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2499     ]
2500    ] #f' #act_p' #opt_l' #i' #_
2501    #EQcode_st1' #EQclean #EQstore #EQio #EQ destruct(EQ)
2502    lapply(trans_env_ok … no_dup) >EQtrans normalize nodelta #H
2503    cases(H … EQenv_it) -H #env_it' * #fresh' ** #is_fresh_fresh' #EQenv_it' ***** #EQtrans
2504    #EQgen_labels #EQsignature #EQlab_env_it #same_map #same_keep
2505    change with (m_bind ?????) in EQclean : (??%?); inversion(call_post_clean ?????) in EQclean;
2506    [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct] * #abs_top'' #i'' #EQi' >m_return_bind
2507    inversion opt_l' in EQcode_st1'; [| #lbl'] #EQopt_l' #EQcode_st1' normalize nodelta
2508    [ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct(EQ) ] destruct(EQopt_l')
2509    inversion(memb ???) normalize nodelta #Hlbl_keep'
2510    [ cases(?==?) normalize nodelta ]
2511     whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct
2512     cases(IH1
2513            (mk_state ?
2514              (f_body … env_it')
2515              (〈ret_act (Some ? lbl'),i'〉 :: (cont … st1'))
2516              (store ? st12) false)
2517            (abs_top''@abs_tail_cont)
2518            (gen_labels … (call_post_trans … (f_body … env_it) fresh' (nil ?))))
2519     [2: whd >EQcont12
2520         change with (m_bind ??? (check_continuations ?????) ?) in match (check_continuations ?????);
2521          >EQcheck >m_return_bind normalize nodelta >EQi' normalize nodelta
2522          whd in match ret_costed_abs; normalize nodelta >Hlbl_keep' normalize nodelta
2523          % // % // % // % [/5 by conj/] >EQcode12 <EQtrans
2524          @(inverse_call_post_trans … fresh')
2525          [2: % |*: [2,3: /2 by / ]
2526              cases(lookup_ok_append … EQenv_it) #env1 * #env2 * #EQ1 #EQ2
2527              whd in no_dup; destruct >EQ1 in no_dup; >foldr_map_append >foldr_map_append
2528              #no_dup lapply(no_duplicates_append_r … no_dup) #H1
2529              lapply(no_duplicates_append_l … H1) whd in match (foldr ?????); -H1
2530              change with ([?]@?) in match (?::?); #H1
2531              lapply(no_duplicates_append_r … H1) >append_nil //
2532          ]
2533     ]
2534     #abs_top''' * #abs_tail''' * #st41' * #t1' **** #Hst41st41' #EQcosts #EQlen #stack_safety1
2535     #pre_t1'
2536     whd in Hst41st41'; inversion(check_continuations …) in Hst41st41'; [ #_ * ]
2537     ** #H2 #abs_top_cont' #abs_tail_cont' >EQcont41 in ⊢ (% → ?);
2538     whd in ⊢ (??%? → ?); inversion(cont … st41') normalize nodelta
2539     [ #_ #EQ destruct(EQ) ] * #act_lbl #i'' #cont_st42' #_ #EQcont_st41'
2540     change with (check_continuations ?????) in match (foldr2 ???????);
2541     inversion(check_continuations ?????) [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct]
2542     ** #H3 #abs_top_cont'' #abs_tail_cont'' #EQ_contst42 >m_return_bind
2543     normalize nodelta inversion(call_post_clean ?????) normalize nodelta
2544     [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct ***** ] * #abs_top'''' #i'''
2545     #EQ_clean_i'' inversion(act_lbl) normalize nodelta
2546     [1,3,4:
2547       [ #x1 #x2 #EQ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ1 destruct *****
2548       | * [|#x1] #EQ destruct normalize nodelta whd in ⊢ (??%% → ?);
2549         #EQ destruct ****** [2: *] #EQ destruct
2550       | #EQ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ1 destruct *****
2551       ]
2552     ]
2553     cut(act_lbl = ret_act (Some ? lbl') ∧ cont_st42' = cont … st1' ∧ i'' = i')
2554     [ cases(stack_safety1 [ ] …)
2555       [3: >EQcont41 in ⊢ (??%?); % |4: normalize // |5: % |2:] * [|#x #xs] *
2556       whd in ⊢ (??%% → ??%% → ?); #EQ1 #EQ2 destruct > EQcont_st41' in EQ1;
2557       #EQ destruct(EQ) /3 by conj/
2558     ]
2559     ** #EQ1 #EQ2 #EQ3 destruct #x #EQ destruct whd in match ret_costed_abs; normalize nodelta
2560     >Hlbl_keep' normalize nodelta
2561     whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ destruct ****** #_ #HH3 #EQ destruct(EQ)
2562     >EQcode41 in ⊢ (% → ?); inversion(code … st41')
2563     [1,3,4,5,6,7:
2564       [ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2565       | #seq #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2566         normalize nodelta [2: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2567         [2: #l1 cases(?==?) normalize nodelta]]
2568         whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2569       | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #i3 #_ #_ #_ #_
2570            whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2571            [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2572                [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(call_post_clean ?????)
2573                     [2,4: * #z5 #z6 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]]
2574            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2575       | #cond #ltrue #i1 #lfalse #i2 #_ #_ #_
2576         whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2577         [2,4: * #z1 #z2 normalize nodelta cases (call_post_clean ?????)
2578         [2,4: * #z3 #z4 >m_return_bind cases(?∧?) normalize nodelta ]]
2579         whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2580       | #f #act_p #lbl #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2581             normalize nodelta
2582             [2,4: * #z1 #z2 cases lbl normalize nodelta
2583               [2,4: #l1 cases(memb ???) normalize nodelta
2584                 [1,3: cases(?==?) normalize nodelta ]]]
2585            whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2586       | #lin #io #lout #i #_ #_ whd in ⊢ (??%% → ?); cases(call_post_clean ?????)
2587             normalize nodelta
2588             [2,4: * #z1 #z2 cases(?∧?) normalize nodelta]
2589             whd in ⊢ (??%% → ?); #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ)
2590       ]   
2591     ] #r_t' #EQcode_st41' whd in ⊢ (??%% → ?);
2592     #EQ lapply(eq_to_jmeq ??? EQ) -EQ #EQ destruct(EQ) #EQstore_st41' #EQinfo_st41'
2593     #EQ destruct(EQ) >EQcont11_42 in EQcheck; >EQ_contst42 in ⊢ (% → ?);
2594     #EQ destruct(EQ) >EQi' in EQ_clean_i''; #EQ destruct(EQ)
2595     cases(IH2
2596             (mk_state ? i' (cont … st1') (store … st42) (io_info … st42))
2597             abs_tail_cont abs_top'''')
2598     [2: whd >EQ_contst42 normalize nodelta % // % // % // % // @EQi' ]
2599     #abs_top_1 * #abs_tail_1 * #st5' * #t2' **** #Hst5_st5' #EQcosts'
2600     #EQlen'  #stack_safety2 #pre_t2' %{abs_top_1} %{abs_tail_1} %{st5'} %{(t_ind … (t1' @ (t_ind … t2')))}
2601     [3: @hide_prf @(call …  EQcode_st1' …  EQenv_it') //
2602     |1: @hide_prf @(ret_instr … EQcode_st41' … EQcont_st41') //
2603     |2,4: skip
2604     ]
2605     % [ %
2606     [ % [2: whd in ⊢ (??%%); @eq_f >len_append >len_append @eq_f2 //
2607           whd in ⊢ (??%%); @eq_f // ]
2608       %{Hst5_st5'} whd in match (map_labels_on_trace ??);
2609       change with (map_labels_on_trace ??) in match (foldr ?????);
2610       >map_labels_on_trace_append >get_cost_label_append
2611       whd in match (get_costlabels_of_trace ??? (t_ind …));
2612       whd in match (get_costlabels_of_trace ??? (t_ind …));
2613       >get_cost_label_append
2614       whd in match (get_costlabels_of_trace ??? (t_ind …));
2615       >map_labels_on_trace_append >EQlab_env_it >EQgen_labels
2616       whd in match (map_labels_on_trace ? [ ]);
2617       whd in match (append ? (nil ?) ?);
2618       cut (∀A.∀l: list A. [ ] @ l = l) [//] #nil_append
2619       >nil_append >nil_append >nil_append @(permute_ok … EQcosts EQcosts')
2620     | #k #i #EQcont_st3 #EQ
2621       cases(stack_safety2 … EQcont_st3 … EQ) #k1 * #EQk1 #EQlength %{k1} % //
2622     ]]
2623     %4
2624     [ normalize >EQcode_st1' normalize nodelta % #EQ destruct
2625     | %{f} % //
2626     | whd in ⊢ (?%); >EQcode_st1' normalize nodelta @I
2627     | @append_premeasurable // %3 //
2628       [ whd in match (as_classify ??); >EQcode_st41' normalize nodelta % #EQ destruct
2629       | whd %{lbl'} %
2630       ]
2631     ]
2632]
2633qed.
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.