[475] | 1 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 2 | (* Vector.ma: Fixed length polymorphic vectors, and routine operations on *) |
---|
| 3 | (* them. *) |
---|
| 4 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 5 | |
---|
| 6 | include "basics/list.ma". |
---|
| 7 | include "basics/bool.ma". |
---|
| 8 | include "basics/sums.ma". |
---|
| 9 | |
---|
| 10 | include "cerco/Util.ma". |
---|
| 11 | |
---|
| 12 | include "arithmetics/nat.ma". |
---|
| 13 | |
---|
| 14 | |
---|
| 15 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 16 | (* The datatype. *) |
---|
| 17 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 18 | |
---|
| 19 | inductive Vector (A: Type[0]): nat → Type[0] ≝ |
---|
| 20 | VEmpty: Vector A O |
---|
| 21 | | VCons: ∀n: nat. A → Vector A n → Vector A (S n). |
---|
| 22 | |
---|
| 23 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 24 | (* Syntax. *) |
---|
| 25 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 26 | |
---|
| 27 | notation "hvbox(hd break ::: tl)" |
---|
| 28 | right associative with precedence 52 |
---|
| 29 | for @{ 'vcons $hd $tl }. |
---|
| 30 | |
---|
| 31 | notation "[[ list0 x sep ; ]]" |
---|
| 32 | non associative with precedence 90 |
---|
| 33 | for ${fold right @'vnil rec acc @{'vcons $x $acc}}. |
---|
| 34 | |
---|
| 35 | interpretation "Vector vnil" 'vnil = (VEmpty ?). |
---|
| 36 | interpretation "Vector vcons" 'vcons hd tl = (VCons ? ? hd tl). |
---|
| 37 | |
---|
| 38 | notation "hvbox(l break !!! break n)" |
---|
| 39 | non associative with precedence 90 |
---|
| 40 | for @{ 'get_index_v $l $n }. |
---|
| 41 | |
---|
| 42 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 43 | (* Lookup. *) |
---|
| 44 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 45 | |
---|
| 46 | let rec get_index_v (A: Type[0]) (n: nat) |
---|
| 47 | (v: Vector A n) (m: nat) (lt: m < n) on m: A ≝ |
---|
| 48 | (match m with |
---|
| 49 | [ O ⇒ |
---|
| 50 | match v return λx.λ_. O < x → A with |
---|
| 51 | [ VEmpty ⇒ λabsd1: O < O. ? |
---|
| 52 | | VCons p hd tl ⇒ λprf1: O < S p. hd |
---|
| 53 | ] |
---|
| 54 | | S o ⇒ |
---|
| 55 | (match v return λx.λ_. S o < x → A with |
---|
| 56 | [ VEmpty ⇒ λprf: S o < O. ? |
---|
| 57 | | VCons p hd tl ⇒ λprf: S o < S p. get_index_v A p tl o ? |
---|
| 58 | ]) |
---|
| 59 | ]) lt. |
---|
| 60 | [ cases (not_le_Sn_O O) |
---|
| 61 | normalize in absd1 |
---|
| 62 | # H |
---|
| 63 | cases (H absd1) |
---|
| 64 | | cases (not_le_Sn_O (S o)) |
---|
| 65 | normalize in prf |
---|
| 66 | # H |
---|
| 67 | cases (H prf) |
---|
| 68 | | normalize |
---|
| 69 | normalize in prf |
---|
| 70 | @ le_S_S_to_le |
---|
| 71 | assumption |
---|
| 72 | ] |
---|
| 73 | qed. |
---|
| 74 | |
---|
| 75 | definition get_index' ≝ |
---|
| 76 | λA: Type[0]. |
---|
| 77 | λn, m: nat. |
---|
| 78 | λb: Vector A (S (n + m)). |
---|
| 79 | get_index_v A (S (n + m)) b n ?. |
---|
| 80 | normalize |
---|
| 81 | // |
---|
| 82 | qed. |
---|
| 83 | |
---|
| 84 | let rec get_index_weak_v (A: Type[0]) (n: nat) |
---|
| 85 | (v: Vector A n) (m: nat) on m ≝ |
---|
| 86 | match m with |
---|
| 87 | [ O ⇒ |
---|
| 88 | match v with |
---|
| 89 | [ VEmpty ⇒ None A |
---|
| 90 | | VCons p hd tl ⇒ Some A hd |
---|
| 91 | ] |
---|
| 92 | | S o ⇒ |
---|
| 93 | match v with |
---|
| 94 | [ VEmpty ⇒ None A |
---|
| 95 | | VCons p hd tl ⇒ get_index_weak_v A p tl o |
---|
| 96 | ] |
---|
| 97 | ]. |
---|
| 98 | |
---|
| 99 | interpretation "Vector get_index" 'get_index_v v n = (get_index_v ? ? v n). |
---|
| 100 | |
---|
| 101 | let rec set_index (A: Type[0]) (n: nat) (v: Vector A n) (m: nat) (a: A) (lt: m < n) on m: Vector A n ≝ |
---|
| 102 | (match m with |
---|
| 103 | [ O ⇒ |
---|
| 104 | match v return λx.λ_. O < x → Vector A x with |
---|
| 105 | [ VEmpty ⇒ λabsd1: O < O. [[ ]] |
---|
| 106 | | VCons p hd tl ⇒ λprf1: O < S p. (a ::: tl) |
---|
| 107 | ] |
---|
| 108 | | S o ⇒ |
---|
| 109 | (match v return λx.λ_. S o < x → Vector A x with |
---|
| 110 | [ VEmpty ⇒ λprf: S o < O. [[ ]] |
---|
| 111 | | VCons p hd tl ⇒ λprf: S o < S p. hd ::: (set_index A p tl o a ?) |
---|
| 112 | ]) |
---|
| 113 | ]) lt. |
---|
| 114 | normalize in prf ⊢ %; |
---|
| 115 | /2/; |
---|
| 116 | qed. |
---|
| 117 | |
---|
| 118 | let rec set_index_weak (A: Type[0]) (n: nat) |
---|
| 119 | (v: Vector A n) (m: nat) (a: A) on m ≝ |
---|
| 120 | match m with |
---|
| 121 | [ O ⇒ |
---|
| 122 | match v with |
---|
| 123 | [ VEmpty ⇒ None (Vector A n) |
---|
| 124 | | VCons o hd tl ⇒ Some (Vector A n) (? (VCons A o a tl)) |
---|
| 125 | ] |
---|
| 126 | | S o ⇒ |
---|
| 127 | match v with |
---|
| 128 | [ VEmpty ⇒ None (Vector A n) |
---|
| 129 | | VCons p hd tl ⇒ |
---|
| 130 | let settail ≝ set_index_weak A p tl o a in |
---|
| 131 | match settail with |
---|
| 132 | [ None ⇒ None (Vector A n) |
---|
| 133 | | Some j ⇒ Some (Vector A n) (? (VCons A p hd j)) |
---|
| 134 | ] |
---|
| 135 | ] |
---|
| 136 | ]. |
---|
| 137 | //. |
---|
| 138 | qed. |
---|
| 139 | |
---|
| 140 | let rec drop (A: Type[0]) (n: nat) |
---|
| 141 | (v: Vector A n) (m: nat) on m ≝ |
---|
| 142 | match m with |
---|
| 143 | [ O ⇒ Some (Vector A n) v |
---|
| 144 | | S o ⇒ |
---|
| 145 | match v with |
---|
| 146 | [ VEmpty ⇒ None (Vector A n) |
---|
| 147 | | VCons p hd tl ⇒ ? (drop A p tl o) |
---|
| 148 | ] |
---|
| 149 | ]. |
---|
| 150 | //. |
---|
| 151 | qed. |
---|
| 152 | |
---|
| 153 | let rec split (A: Type[0]) (m, n: nat) on m: Vector A (plus m n) → (Vector A m) × (Vector A n) ≝ |
---|
| 154 | match m return λm. Vector A (plus m n) → (Vector A m) × (Vector A n) with |
---|
| 155 | [ O ⇒ λv. 〈[[ ]], v〉 |
---|
| 156 | | S m' ⇒ λv. |
---|
| 157 | match v return λl. λ_: Vector A l. l = S (plus m' n) → (Vector A (S m')) × (Vector A n) with |
---|
| 158 | [ VEmpty ⇒ λK. ⊥ |
---|
| 159 | | VCons o he tl ⇒ λK. |
---|
| 160 | match split A m' n (tl⌈Vector A o ↦ Vector A (m' + n)⌉) with |
---|
| 161 | [ mk_pair v1 v2 ⇒ 〈he:::v1, v2〉 |
---|
| 162 | ] |
---|
| 163 | ] (?: (S (m' + n)) = S (m' + n))]. |
---|
| 164 | // |
---|
| 165 | [ destruct |
---|
| 166 | | lapply (injective_S … K) |
---|
| 167 | // |
---|
| 168 | ] |
---|
| 169 | qed. |
---|
| 170 | |
---|
| 171 | definition head: ∀A: Type[0]. ∀n: nat. Vector A (S n) → A × (Vector A n) ≝ |
---|
| 172 | λA: Type[0]. |
---|
| 173 | λn: nat. |
---|
| 174 | λv: Vector A (S n). |
---|
| 175 | match v return λl. λ_: Vector A l. l = S n → A × (Vector A n) with |
---|
| 176 | [ VEmpty ⇒ λK. ⊥ |
---|
| 177 | | VCons o he tl ⇒ λK. 〈he, (tl⌈Vector A o ↦ Vector A n⌉)〉 |
---|
| 178 | ] (? : S ? = S ?). |
---|
| 179 | // |
---|
| 180 | [ destruct |
---|
| 181 | | lapply (injective_S … K) |
---|
| 182 | // |
---|
| 183 | ] |
---|
| 184 | qed. |
---|
| 185 | |
---|
| 186 | definition from_singl: ∀A:Type[0]. Vector A (S O) → A ≝ |
---|
| 187 | λA: Type[0]. |
---|
| 188 | λv: Vector A (S 0). |
---|
| 189 | fst … (head … v). |
---|
| 190 | |
---|
| 191 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 192 | (* Folds and builds. *) |
---|
| 193 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 194 | |
---|
| 195 | let rec fold_right (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat) |
---|
| 196 | (f: A → B → B) (x: B) (v: Vector A n) on v ≝ |
---|
| 197 | match v with |
---|
| 198 | [ VEmpty ⇒ x |
---|
| 199 | | VCons n hd tl ⇒ f hd (fold_right A B n f x tl) |
---|
| 200 | ]. |
---|
| 201 | |
---|
| 202 | let rec fold_right2_i (A: Type[0]) (B: Type[0]) (C: nat → Type[0]) |
---|
| 203 | (f: ∀N. A → B → C N → C (S N)) (c: C O) (n: nat) |
---|
| 204 | (v: Vector A n) (q: Vector B n) on v : C n ≝ |
---|
| 205 | (match v return λx.λ_. x = n → C n with |
---|
| 206 | [ VEmpty ⇒ |
---|
| 207 | match q return λx.λ_. O = x → C x with |
---|
| 208 | [ VEmpty ⇒ λprf: O = O. c |
---|
| 209 | | VCons o hd tl ⇒ λabsd. ⊥ |
---|
| 210 | ] |
---|
| 211 | | VCons o hd tl ⇒ |
---|
| 212 | match q return λx.λ_. S o = x → C x with |
---|
| 213 | [ VEmpty ⇒ λabsd: S o = O. ⊥ |
---|
| 214 | | VCons p hd' tl' ⇒ λprf: S o = S p. |
---|
| 215 | (f ? hd hd' (fold_right2_i A B C f c ? tl (tl'⌈Vector B p ↦ Vector B o⌉)))⌈C (S o) ↦ C (S p)⌉ |
---|
| 216 | ] |
---|
| 217 | ]) (refl ? n). |
---|
| 218 | [1,2: |
---|
| 219 | destruct |
---|
| 220 | |3,4: |
---|
| 221 | lapply (injective_S … prf) |
---|
| 222 | // |
---|
| 223 | ] |
---|
| 224 | qed. |
---|
| 225 | |
---|
| 226 | let rec fold_left (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat) |
---|
| 227 | (f: A → B → A) (x: A) (v: Vector B n) on v ≝ |
---|
| 228 | match v with |
---|
| 229 | [ VEmpty ⇒ x |
---|
| 230 | | VCons n hd tl ⇒ f (fold_left A B n f x tl) hd |
---|
| 231 | ]. |
---|
| 232 | |
---|
| 233 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 234 | (* Maps and zips. *) |
---|
| 235 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 236 | |
---|
| 237 | let rec map (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat) |
---|
| 238 | (f: A → B) (v: Vector A n) on v ≝ |
---|
| 239 | match v with |
---|
| 240 | [ VEmpty ⇒ [[ ]] |
---|
| 241 | | VCons n hd tl ⇒ (f hd) ::: (map A B n f tl) |
---|
| 242 | ]. |
---|
| 243 | |
---|
| 244 | let rec zip_with (A: Type[0]) (B: Type[0]) (C: Type[0]) (n: nat) |
---|
| 245 | (f: A → B → C) (v: Vector A n) (q: Vector B n) on v ≝ |
---|
| 246 | (match v return (λx.λr. x = n → Vector C x) with |
---|
| 247 | [ VEmpty ⇒ λ_. [[ ]] |
---|
| 248 | | VCons n hd tl ⇒ |
---|
| 249 | match q return (λy.λr. S n = y → Vector C (S n)) with |
---|
| 250 | [ VEmpty ⇒ ? |
---|
| 251 | | VCons m hd' tl' ⇒ |
---|
| 252 | λe: S n = S m. |
---|
| 253 | (f hd hd') ::: (zip_with A B C n f tl ?) |
---|
| 254 | ] |
---|
| 255 | ]) |
---|
| 256 | (refl ? n). |
---|
| 257 | [ #e |
---|
| 258 | destruct(e); |
---|
| 259 | | lapply (injective_S … e) |
---|
| 260 | # H |
---|
| 261 | > H |
---|
| 262 | @ tl' |
---|
| 263 | ] |
---|
| 264 | qed. |
---|
| 265 | |
---|
| 266 | definition zip ≝ |
---|
| 267 | λA, B: Type[0]. |
---|
| 268 | λn: nat. |
---|
| 269 | λv: Vector A n. |
---|
| 270 | λq: Vector B n. |
---|
| 271 | zip_with A B (A × B) n (mk_pair A B) v q. |
---|
| 272 | |
---|
| 273 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 274 | (* Building vectors from scratch *) |
---|
| 275 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 276 | |
---|
| 277 | let rec replicate (A: Type[0]) (n: nat) (h: A) on n ≝ |
---|
| 278 | match n return λn. Vector A n with |
---|
| 279 | [ O ⇒ [[ ]] |
---|
| 280 | | S m ⇒ h ::: (replicate A m h) |
---|
| 281 | ]. |
---|
| 282 | |
---|
| 283 | (* DPM: fixme. Weird matita bug in base case. *) |
---|
| 284 | let rec append (A: Type[0]) (n: nat) (m: nat) |
---|
| 285 | (v: Vector A n) (q: Vector A m) on v ≝ |
---|
| 286 | match v return (λn.λv. Vector A (n + m)) with |
---|
| 287 | [ VEmpty ⇒ (? q) |
---|
| 288 | | VCons o hd tl ⇒ hd ::: (append A o m tl q) |
---|
| 289 | ]. |
---|
| 290 | # H |
---|
| 291 | assumption |
---|
| 292 | qed. |
---|
| 293 | |
---|
| 294 | notation "hvbox(l break @@ r)" |
---|
| 295 | right associative with precedence 47 |
---|
| 296 | for @{ 'vappend $l $r }. |
---|
| 297 | |
---|
| 298 | interpretation "Vector append" 'vappend v1 v2 = (append ??? v1 v2). |
---|
| 299 | |
---|
| 300 | let rec scan_left (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat) |
---|
| 301 | (f: A → B → A) (a: A) (v: Vector B n) on v ≝ |
---|
| 302 | a ::: |
---|
| 303 | (match v with |
---|
| 304 | [ VEmpty ⇒ VEmpty A |
---|
| 305 | | VCons o hd tl ⇒ scan_left A B o f (f a hd) tl |
---|
| 306 | ]). |
---|
| 307 | |
---|
| 308 | let rec scan_right (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat) |
---|
| 309 | (f: A → B → A) (b: B) (v: Vector A n) on v ≝ |
---|
| 310 | match v with |
---|
| 311 | [ VEmpty ⇒ ? |
---|
| 312 | | VCons o hd tl ⇒ f hd b :: (scan_right A B o f b tl) |
---|
| 313 | ]. |
---|
| 314 | // |
---|
| 315 | qed. |
---|
| 316 | |
---|
| 317 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 318 | (* Other manipulations. *) |
---|
| 319 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 320 | |
---|
| 321 | let rec reverse (A: Type[0]) (n: nat) |
---|
| 322 | (v: Vector A n) on v ≝ |
---|
| 323 | match v return (λm.λv. Vector A m) with |
---|
| 324 | [ VEmpty ⇒ [[ ]] |
---|
| 325 | | VCons o hd tl ⇒ ? (append A o ? (reverse A o tl) [[hd]]) |
---|
| 326 | ]. |
---|
| 327 | // |
---|
| 328 | qed. |
---|
| 329 | |
---|
| 330 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 331 | (* Conversions to and from lists. *) |
---|
| 332 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 333 | |
---|
| 334 | let rec list_of_vector (A: Type[0]) (n: nat) |
---|
| 335 | (v: Vector A n) on v ≝ |
---|
| 336 | match v return λn.λv. list A with |
---|
| 337 | [ VEmpty ⇒ [] |
---|
| 338 | | VCons o hd tl ⇒ hd :: (list_of_vector A o tl) |
---|
| 339 | ]. |
---|
| 340 | |
---|
| 341 | let rec vector_of_list (A: Type[0]) (l: list A) on l ≝ |
---|
| 342 | match l return λl. Vector A (length A l) with |
---|
| 343 | [ nil ⇒ ? |
---|
| 344 | | cons hd tl ⇒ hd ::: (vector_of_list A tl) |
---|
| 345 | ]. |
---|
| 346 | normalize |
---|
| 347 | @ VEmpty |
---|
| 348 | qed. |
---|
| 349 | |
---|
| 350 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 351 | (* Rotates and shifts. *) |
---|
| 352 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 353 | |
---|
| 354 | let rec rotate_left (A: Type[0]) (n: nat) |
---|
| 355 | (m: nat) (v: Vector A n) on m: Vector A n ≝ |
---|
| 356 | match m with |
---|
| 357 | [ O ⇒ v |
---|
| 358 | | S o ⇒ |
---|
| 359 | match v with |
---|
| 360 | [ VEmpty ⇒ [[ ]] |
---|
| 361 | | VCons p hd tl ⇒ |
---|
| 362 | rotate_left A (S p) o ((append A p ? tl [[hd]])⌈Vector A (p + S O) ↦ Vector A (S p)⌉) |
---|
| 363 | ] |
---|
| 364 | ]. |
---|
| 365 | // |
---|
| 366 | qed. |
---|
| 367 | |
---|
| 368 | definition rotate_right ≝ |
---|
| 369 | λA: Type[0]. |
---|
| 370 | λn, m: nat. |
---|
| 371 | λv: Vector A n. |
---|
| 372 | reverse A n (rotate_left A n m (reverse A n v)). |
---|
| 373 | |
---|
| 374 | definition shift_left_1 ≝ |
---|
| 375 | λA: Type[0]. |
---|
| 376 | λn: nat. |
---|
| 377 | λv: Vector A (S n). |
---|
| 378 | λa: A. |
---|
| 379 | match v return λy.λ_. y = S n → Vector A y with |
---|
| 380 | [ VEmpty ⇒ λH.⊥ |
---|
| 381 | | VCons o hd tl ⇒ λH.reverse … (a::: reverse … tl) |
---|
| 382 | ] (refl ? (S n)). |
---|
| 383 | destruct. |
---|
| 384 | qed. |
---|
| 385 | |
---|
| 386 | definition shift_right_1 ≝ |
---|
| 387 | λA: Type[0]. |
---|
| 388 | λn: nat. |
---|
| 389 | λv: Vector A (S n). |
---|
| 390 | λa: A. |
---|
| 391 | reverse … (shift_left_1 … (reverse … v) a). |
---|
| 392 | |
---|
| 393 | definition shift_left ≝ |
---|
| 394 | λA: Type[0]. |
---|
| 395 | λn, m: nat. |
---|
| 396 | λv: Vector A (S n). |
---|
| 397 | λa: A. |
---|
| 398 | iterate … (λx. shift_left_1 … x a) v m. |
---|
| 399 | |
---|
| 400 | definition shift_right ≝ |
---|
| 401 | λA: Type[0]. |
---|
| 402 | λn, m: nat. |
---|
| 403 | λv: Vector A (S n). |
---|
| 404 | λa: A. |
---|
| 405 | iterate … (λx. shift_right_1 … x a) v m. |
---|
| 406 | |
---|
| 407 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 408 | (* Decidable equality. *) |
---|
| 409 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 410 | |
---|
| 411 | let rec eq_v (A: Type[0]) (n: nat) (f: A → A → bool) (b: Vector A n) (c: Vector A n) on b : bool ≝ |
---|
| 412 | (match b return λx.λ_. n = x → bool with |
---|
| 413 | [ VEmpty ⇒ |
---|
| 414 | match c return λx.λ_. x = O → bool with |
---|
| 415 | [ VEmpty ⇒ λ_. true |
---|
| 416 | | VCons p hd tl ⇒ λabsd.⊥ |
---|
| 417 | ] |
---|
| 418 | | VCons o hd tl ⇒ |
---|
| 419 | match c return λx.λ_. x = S o → bool with |
---|
| 420 | [ VEmpty ⇒ λabsd.⊥ |
---|
| 421 | | VCons p hd' tl' ⇒ |
---|
| 422 | λprf. |
---|
| 423 | if (f hd hd') then |
---|
| 424 | (eq_v A o f tl (tl'⌈Vector A p ↦ Vector A o⌉)) |
---|
| 425 | else |
---|
| 426 | false |
---|
| 427 | ] |
---|
| 428 | ]) (refl ? n). |
---|
| 429 | [1,2: |
---|
| 430 | destruct |
---|
| 431 | | lapply (injective_S … prf); |
---|
| 432 | # X |
---|
| 433 | < X |
---|
| 434 | % |
---|
| 435 | ] |
---|
| 436 | qed. |
---|
| 437 | |
---|
| 438 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 439 | (* Subvectors. *) |
---|
| 440 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 441 | |
---|
| 442 | definition mem ≝ |
---|
| 443 | λA: Type[0]. |
---|
| 444 | λeq_a : A → A → bool. |
---|
| 445 | λn: nat. |
---|
| 446 | λl: Vector A n. |
---|
| 447 | λx: A. |
---|
| 448 | fold_right … (λy,v. (eq_a x y) ∨ v) false l. |
---|
| 449 | |
---|
| 450 | definition subvector_with ≝ |
---|
| 451 | λA: Type[0]. |
---|
| 452 | λn: nat. |
---|
| 453 | λm: nat. |
---|
| 454 | λf: A → A → bool. |
---|
| 455 | λv: Vector A n. |
---|
| 456 | λq: Vector A m. |
---|
| 457 | fold_right ? ? ? (λx, v. (mem ? f ? q x) ∧ v) true v. |
---|
| 458 | |
---|
| 459 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 460 | (* Lemmas. *) |
---|
| 461 | (* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *) |
---|
| 462 | |
---|
| 463 | lemma map_fusion: |
---|
| 464 | ∀A, B, C: Type[0]. |
---|
| 465 | ∀n: nat. |
---|
| 466 | ∀v: Vector A n. |
---|
| 467 | ∀f: A → B. |
---|
| 468 | ∀g: B → C. |
---|
| 469 | map B C n g (map A B n f v) = map A C n (λx. g (f x)) v. |
---|
| 470 | #A #B #C #n #v #f #g |
---|
| 471 | elim v |
---|
| 472 | [ normalize |
---|
| 473 | % |
---|
| 474 | | #N #H #V #H2 |
---|
| 475 | normalize |
---|
| 476 | > H2 |
---|
| 477 | % |
---|
| 478 | ] |
---|
| 479 | qed. |
---|