source: Deliverables/D4.1/Matita/Vector.ma @ 320

Last change on this file since 320 was 320, checked in by mulligan, 9 years ago

Added fold_right_i, equivalent of O'Caml's fold_right2.

File size: 13.8 KB
Line 
1(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
2(* Vector.ma: Fixed length polymorphic vectors, and routine operations on     *)
3(*            them.                                                           *)
4(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
5
6include "Util.ma".
7
8include "Nat.ma".
9include "List.ma".
10include "Cartesian.ma".
11include "Maybe.ma".
12include "Plogic/equality.ma".
13
14(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
15(* The datatype.                                                              *)
16(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
17
18ninductive Vector (A: Type[0]): Nat → Type[0] ≝
19  Empty: Vector A Z
20| Cons: ∀n: Nat. A → Vector A n → Vector A (S n).
21
22(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
23(* Syntax.                                                                    *)
24(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
25
26notation "[[ list0 x sep ; ]]"
27  non associative with precedence 90
28  for ${fold right @'vnil rec acc @{'vcons $x $acc}}.
29
30interpretation "Vector vnil" 'vnil = (Empty ?).
31interpretation "Vector vcons" 'vcons hd tl = (Cons ? ? hd tl).
32interpretation "Vector cons" 'cons hd tl = (Cons ? ? hd tl).
33
34(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
35(* Lookup.                                                                    *)
36(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
37
38naxiom succ_less_than_injective:
39  ∀m, n: Nat.
40    less_than_p (S m) (S n) → m < n.
41   
42naxiom nothing_less_than_Z:
43  ∀m: Nat.
44    ¬(m < Z).
45
46nlet rec get_index (A: Type[0]) (n: Nat)
47                   (v: Vector A n) (m: Nat) (lt: m < n) on m: A ≝
48  (match m with
49    [ Z ⇒
50      match v return λx.λ_. Z < x → A with
51        [ Empty ⇒ λabsd1: Z < Z. ?
52        | Cons p hd tl ⇒ λprf1: Z < S p. hd
53        ]
54    | S o ⇒
55      (match v return λx.λ_. S o < x → A with
56        [ Empty ⇒ λprf: S o < Z. ?
57        | Cons p hd tl ⇒ λprf: S o < S p. get_index A p tl o ?
58        ])
59    ]) lt.
60    ##[ ncases (nothing_less_than_Z Z); #K; ncases (K absd1)
61    ##| ncases (nothing_less_than_Z (S o)); #K; ncases (K prf)
62    ##| napply succ_less_than_injective; nassumption
63    ##]
64nqed.
65
66nlet rec get_index_weak (A: Type[0]) (n: Nat)
67                   (v: Vector A n) (m: Nat) on m ≝
68  match m with
69    [ Z ⇒
70      match v with
71        [ Empty ⇒ Nothing A
72        | Cons p hd tl ⇒ Just A hd
73        ]
74    | S o ⇒
75      match v with
76        [ Empty ⇒ Nothing A
77        | Cons p hd tl ⇒ get_index_weak A p tl o
78        ]
79    ].
80   
81interpretation "Vector get_index" 'get_index v n = (get_index ? ? v n).
82
83nlet rec set_index (A: Type[0]) (n: Nat) (v: Vector A n) (m: Nat) (a: A) (lt: m < n) on m: Vector A n ≝
84  (match m with
85    [ Z ⇒
86      match v return λx.λ_. Z < x → Vector A x with
87        [ Empty ⇒ λabsd1: Z < Z. Empty A
88        | Cons p hd tl ⇒ λprf1: Z < S p. (a :: tl)
89        ]
90    | S o ⇒
91      (match v return λx.λ_. S o < x → Vector A x with
92        [ Empty ⇒ λprf: S o < Z. Empty A
93        | Cons p hd tl ⇒ λprf: S o < S p. hd :: (set_index A p tl o a ?)
94        ])
95    ]) lt.
96    napply succ_less_than_injective.
97    nassumption.
98nqed.
99   
100nlet rec set_index_weak (A: Type[0]) (n: Nat)
101                        (v: Vector A n) (m: Nat) (a: A) on m ≝
102  match m with
103    [ Z ⇒
104      match v with
105        [ Empty ⇒ Nothing (Vector A n)
106        | Cons o hd tl ⇒ Just (Vector A n) (? (Cons A o a tl))
107        ]
108    | S o ⇒
109      match v with
110        [ Empty ⇒ Nothing (Vector A n)
111        | Cons p hd tl ⇒
112            let settail ≝ set_index_weak A p tl o a in
113              match settail with
114                [ Nothing ⇒ Nothing (Vector A n)
115                | Just j ⇒ Just (Vector A n) (? (Cons A p hd j))
116                ]
117        ]
118    ].
119    //.
120nqed.
121
122nlet rec drop (A: Type[0]) (n: Nat)
123              (v: Vector A n) (m: Nat) on m ≝
124  match m with
125    [ Z ⇒ Just (Vector A n) v
126    | S o ⇒
127      match v with
128        [ Empty ⇒ Nothing (Vector A n)
129        | Cons p hd tl ⇒ ? (drop A p tl o)
130        ]
131    ].
132    //.
133nqed.
134
135nlet rec split (A: Type[0]) (m,n: Nat) on m
136             : Vector A (m+n) → (Vector A m) × (Vector A n)
137
138 match m return λm. Vector A (m+n) → (Vector A m) × (Vector A n) with
139  [ Z ⇒ λv.〈[[ ]], v〉
140  | S m' ⇒ λv.
141     match v return λl.λ_:Vector A l.l = S (m' + n) → (Vector A (S m')) × (Vector A n) with
142      [ Empty ⇒ λK.⊥
143      | Cons o he tl ⇒ λK.
144         match split A m' n (tl⌈Vector A (m'+n)↦Vector A o⌉) with
145          [ mk_Cartesian v1 v2 ⇒ 〈he::v1, v2〉 ]] (?: (S (m' + n)) = S (m' + n))].
146//; ndestruct; //.
147nqed.
148
149ndefinition head8 ≝ λA. split A (S Z) (S (S (S (S (S (S (S Z))))))).
150   
151(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
152(* Folds and builds.                                                          *)
153(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
154   
155nlet rec fold_right (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: Nat)
156                    (f: A → B → B) (x: B) (v: Vector A n) on v ≝
157  match v with
158    [ Empty ⇒ x
159    | Cons n hd tl ⇒ f hd (fold_right A B n f x tl)
160    ].
161   
162nlet rec fold_right_i (A: Type[0]) (B: Type[0]) (C: Type[0])
163                      (n: Nat) (m: Nat)
164                      (f: A → B → C → C) (c: C)
165                      (v: Vector A n) (q: Vector B m) on v ≝
166  (match v return λx.λ_. x = m → C with
167    [ Empty ⇒
168      match q return λx.λ_. Z = x → C with
169        [ Empty ⇒ λ_.c
170        | Cons o hd tl ⇒ λabsd. ?
171        ]
172    | Cons o hd tl ⇒
173      match q return λx.λ_. S o = x → C with
174        [ Empty ⇒ λabsd. ?
175        | Cons p hd' tl' ⇒ λprf: S o = S p.
176            fold_right_i A B C o p f (f hd hd') tl tl'
177        ]
178    ]) ?.
179   
180nlet rec fold_left (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: Nat)
181                    (f: A → B → A) (x: A) (v: Vector B n) on v ≝
182  match v with
183    [ Empty ⇒ x
184    | Cons n hd tl ⇒ f (fold_left A B n f x tl) hd
185    ].
186   
187(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
188(* Maps and zips.                                                             *)
189(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
190
191nlet rec map (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: Nat)
192             (f: A → B) (v: Vector A n) on v ≝
193  match v with
194    [ Empty ⇒ Empty B
195    | Cons n hd tl ⇒ (f hd) :: (map A B n f tl)
196    ].
197
198(* Should be moved into Plogic/equality.ma at some point.  Only Type[2] version
199   currently in there.
200*)
201nlemma eq_rect_Type0_r :
202  ∀A: Type[0].
203  ∀a:A.
204  ∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (refl A a) → ∀x: A.∀p:eq ? x a. P x p.
205  #A a P H x p.
206  ngeneralize in match H.
207  ngeneralize in match P.
208  ncases p.
209  //.
210nqed.
211
212nlet rec zip_with (A: Type[0]) (B: Type[0]) (C: Type[0]) (n: Nat)
213             (f: A → B → C) (v: Vector A n) (q: Vector B n) on v ≝
214  (match v return (λx.λr. x = n → Vector C x) with
215    [ Empty ⇒ λ_. Empty C
216    | Cons n hd tl ⇒
217      match q return (λy.λr. S n = y → Vector C (S n)) with
218        [ Empty ⇒ ?
219        | Cons m hd' tl' ⇒
220            λe: S n = S m.
221              (f hd hd') :: (zip_with A B C n f tl ?)
222        ]
223    ])
224    (refl ? n).
225      ##
226        [ #e;
227          ndestruct(e);
228          ##
229        | ndestruct(e);
230          napply tl'
231          ##
232        ]
233nqed.
234
235ndefinition zip ≝
236  λA, B: Type[0].
237  λn: Nat.
238  λv: Vector A n.
239  λq: Vector B n.
240    zip_with A B (Cartesian A B) n (mk_Cartesian A B) v q.
241
242(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
243(* Building vectors from scratch                                              *)
244(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
245
246nlet rec replicate (A: Type[0]) (n: Nat) (h: A) on n ≝
247  match n return λn. Vector A n with
248    [ Z ⇒ Empty A
249    | S m ⇒ h :: (replicate A m h)
250    ].
251
252nlet rec append (A: Type[0]) (n: Nat) (m: Nat)
253                (v: Vector A n) (q: Vector A m) on v ≝
254  match v return (λn.λv. Vector A (n + m)) with
255    [ Empty ⇒ q
256    | Cons o hd tl ⇒ hd :: (append A o m tl q)
257    ].
258   
259notation "hvbox(l break @@ r)"
260  right associative with precedence 47
261  for @{ 'vappend $l $r }.
262   
263interpretation "Vector append" 'vappend v1 v2 = (append ??? v1 v2).
264   
265nlet rec scan_left (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: Nat)
266                   (f: A → B → A) (a: A) (v: Vector B n) on v ≝
267  a ::
268    (match v with
269       [ Empty ⇒ Empty A
270       | Cons o hd tl ⇒ scan_left A B o f (f a hd) tl
271       ]).
272
273nlet rec scan_right (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: Nat)
274                    (f: A → B → A) (b: B) (v: Vector A n) on v ≝
275  match v with
276    [ Empty ⇒ ?
277    | Cons o hd tl ⇒ f hd b :: (scan_right A B o f b tl)
278    ].
279    //.
280nqed.
281   
282(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
283(* Other manipulations.                                                       *)
284(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
285   
286nlet rec length (A: Type[0]) (n: Nat) (v: Vector A n) on v ≝
287  match v with
288    [ Empty ⇒ Z
289    | Cons n hd tl ⇒ S $ length A n tl
290    ].
291
292nlet rec reverse (A: Type[0]) (n: Nat)
293                 (v: Vector A n) on v ≝
294  match v return (λm.λv. Vector A m) with
295    [ Empty ⇒ Empty A
296    | Cons o hd tl ⇒ ? (append A o ? (reverse A o tl) (Cons A Z hd (Empty A)))
297    ].
298    nrewrite < (succ_plus ? ?).
299    nrewrite > (plus_zero ?).
300    //.
301nqed.
302
303(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
304(* Conversions to and from lists.                                             *)
305(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
306
307nlet rec list_of_vector (A: Type[0]) (n: Nat)
308                        (v: Vector A n) on v ≝
309  match v return λn.λv. List A with
310    [ Empty ⇒ ? (cic:/matita/ng/List/List.con(0,1,1) A)
311    | Cons o hd tl ⇒ hd :: (list_of_vector A o tl)
312    ].
313    //.
314nqed.
315
316nlet rec vector_of_list (A: Type[0]) (l: List A) on l ≝
317  match l return λl. Vector A (length A l) with
318    [ Empty ⇒ ? (cic:/matita/ng/Vector/Vector.con(0,1,1) A)
319    | Cons hd tl ⇒ ? (hd :: (vector_of_list A tl))
320    ].
321    nnormalize.
322    //.
323    //.
324nqed.
325
326(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)   
327(* Rotates and shifts.                                                        *)
328(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
329   
330nlet rec rotate_left (A: Type[0]) (n: Nat)
331                     (m: Nat) (v: Vector A n) on m: Vector A n ≝
332  match m with
333    [ Z ⇒ v
334    | S o ⇒
335        match v with
336          [ Empty ⇒ Empty A
337          | Cons p hd tl ⇒
338             rotate_left A (S p) o (? (append A p ? tl (Cons A ? hd (Empty A))))
339          ]
340    ].
341    nrewrite < (succ_plus ? ?).
342    nrewrite > (plus_zero ?).
343    //.
344nqed.
345
346ndefinition rotate_right ≝
347  λA: Type[0].
348  λn, m: Nat.
349  λv: Vector A n.
350    reverse A n (rotate_left A n m (reverse A n v)).
351   
352ndefinition shift_left_1 ≝
353  λA: Type[0].
354  λn: Nat.
355  λv: Vector A n.
356  λa: A.
357    match v with
358      [ Empty ⇒ ?
359      | Cons o hd tl ⇒ reverse A n (? (Cons A o a (reverse A o tl)))
360      ].
361      //.
362nqed.
363
364ndefinition shift_right_1 ≝
365  λA: Type[0].
366  λn: Nat.
367  λv: Vector A n.
368  λa: A.
369    reverse A n (shift_left_1 A n (reverse A n v) a).
370   
371ndefinition shift_left ≝
372  λA: Type[0].
373  λn, m: Nat.
374  λv: Vector A n.
375  λa: A.
376    iterate (Vector A n) (λx. shift_left_1 A n x a) v m.
377   
378ndefinition shift_right ≝
379  λA: Type[0].
380  λn, m: Nat.
381  λv: Vector A n.
382  λa: A.
383    iterate (Vector A n) (λx. shift_right_1 A n x a) v m.
384
385(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
386(* Decidable equality.                                                        *)
387(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
388
389nlet rec eq_v (A: Type[0]) (n: Nat) (f: A → A → Bool) (b: Vector A n) (c: Vector A n) on b ≝
390  (match b return λx.λ_. n = x → Bool with
391    [ Empty ⇒
392      match c return λx.λ_. x = Z → Bool with
393        [ Empty ⇒ λ_. true
394        | Cons p hd tl ⇒ λabsd.?
395        ]
396    | Cons o hd tl ⇒
397        match c return λx.λ_. x = S o → Bool with
398          [ Empty ⇒ λabsd. ?
399          | Cons p hd' tl' ⇒
400            λprf.
401              if (f hd hd') then
402                (eq_v A o f tl ?)
403              else
404                false
405          ]
406    ]) (refl ? n).
407    ##[##1, 3:
408        ndestruct (absd);
409        ndestruct (prf);
410        napply tl';
411    ##|##2:
412        ndestruct (absd);
413    ##]
414nqed.
415   
416(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
417(* Lemmas.                                                                    *)
418(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)   
419   
420nlemma map_fusion:
421  ∀A, B, C: Type[0].
422  ∀n: Nat.
423  ∀v: Vector A n.
424  ∀f: A → B.
425  ∀g: B → C.
426    map B C n g (map A B n f v) = map A C n (λx. g (f x)) v.
427  #A B C n v f g.
428  nelim v.
429  nnormalize.
430  @.
431  #N H V H2.
432  nnormalize.
433  nrewrite > H2.
434  @.
435nqed.
436
437nlemma length_correct:
438  ∀A: Type[0].
439  ∀n: Nat.
440  ∀v: Vector A n.
441    length A n v = n.
442  #A n v.
443  nelim v.
444  nnormalize.
445  @.
446  #N H V H2.
447  nnormalize.
448  nrewrite > H2.
449  @.
450nqed.
451
452nlemma map_length:
453  ∀A, B: Type[0].
454  ∀n: Nat.
455  ∀v: Vector A n.
456  ∀f: A → B.
457    length A n v = length B n (map A B n f v).
458  #A B n v f.
459  nelim v.
460  nnormalize.
461  @.
462  #N H V H2.
463  nnormalize.
464  nrewrite > H2.
465  @.
466nqed.
467
468naxiom eqv: ∀A,n. Vector A n → Vector A n → Bool.
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.