source: Deliverables/D3.1/C-semantics/cerco/Vector.ma @ 535

Last change on this file since 535 was 535, checked in by campbell, 8 years ago

Minimal integration of bitvectors into Clight semantics

  • does a "round trip" through Z for most operations (slow)
  • a few extra bits for equality on vectors
  • version of reverse that doesn't make matita fall over on size 32 vectors during disambiguation and automation
File size: 15.8 KB
Line 
1(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
2(* Vector.ma: Fixed length polymorphic vectors, and routine operations on     *)
3(*            them.                                                           *)
4(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
5
6include "basics/list.ma".
7include "basics/bool.ma".
8include "basics/types.ma".
9
10include "cerco/Util.ma".
11
12include "arithmetics/nat.ma".
13
14include "oldlib/eq.ma".
15
16(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
17(* The datatype.                                                              *)
18(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
19
20inductive Vector (A: Type[0]): nat → Type[0] ≝
21  VEmpty: Vector A O
22| VCons: ∀n: nat. A → Vector A n → Vector A (S n).
23
24(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
25(* Syntax.                                                                    *)
26(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
27
28notation "hvbox(hd break ::: tl)"
29  right associative with precedence 52
30  for @{ 'vcons $hd $tl }.
31
32notation "[[ list0 x sep ; ]]"
33  non associative with precedence 90
34  for ${fold right @'vnil rec acc @{'vcons $x $acc}}.
35
36interpretation "Vector vnil" 'vnil = (VEmpty ?).
37interpretation "Vector vcons" 'vcons hd tl = (VCons ? ? hd tl).
38
39notation "hvbox(l break !!! break n)"
40  non associative with precedence 90
41  for @{ 'get_index_v $l $n }.
42
43(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
44(* Lookup.                                                                    *)
45(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
46
47let rec get_index_v (A: Type[0]) (n: nat)
48                   (v: Vector A n) (m: nat) (lt: m < n) on m: A ≝
49  (match m with
50    [ O ⇒
51      match v return λx.λ_. O < x → A with
52        [ VEmpty ⇒ λabsd1: O < O. ?
53        | VCons p hd tl ⇒ λprf1: O < S p. hd
54        ]
55    | S o ⇒
56      (match v return λx.λ_. S o < x → A with
57        [ VEmpty ⇒ λprf: S o < O. ?
58        | VCons p hd tl ⇒ λprf: S o < S p. get_index_v A p tl o ?
59        ])
60    ]) lt.
61    [ cases (not_le_Sn_O O)
62      normalize in absd1
63      # H
64      cases (H absd1)
65    | cases (not_le_Sn_O (S o))
66      normalize in prf
67      # H
68      cases (H prf)
69    | normalize
70      normalize in prf
71      @ le_S_S_to_le
72      assumption
73    ]
74qed.
75
76definition get_index' ≝
77  λA: Type[0].
78  λn, m: nat.
79  λb: Vector A (S (n + m)).
80    get_index_v A (S (n + m)) b n ?.
81  normalize
82  //
83qed.
84
85let rec get_index_weak_v (A: Type[0]) (n: nat)
86                         (v: Vector A n) (m: nat) on m ≝
87  match m with
88    [ O ⇒
89      match v with
90        [ VEmpty ⇒ None A
91        | VCons p hd tl ⇒ Some A hd
92        ]
93    | S o ⇒
94      match v with
95        [ VEmpty ⇒ None A
96        | VCons p hd tl ⇒ get_index_weak_v A p tl o
97        ]
98    ].
99   
100interpretation "Vector get_index" 'get_index_v v n = (get_index_v ? ? v n).
101
102let rec set_index (A: Type[0]) (n: nat) (v: Vector A n) (m: nat) (a: A) (lt: m < n) on m: Vector A n ≝
103  (match m with
104    [ O ⇒
105      match v return λx.λ_. O < x → Vector A x with
106        [ VEmpty ⇒ λabsd1: O < O. [[ ]]
107        | VCons p hd tl ⇒ λprf1: O < S p. (a ::: tl)
108        ]
109    | S o ⇒
110      (match v return λx.λ_. S o < x → Vector A x with
111        [ VEmpty ⇒ λprf: S o < O. [[ ]]
112        | VCons p hd tl ⇒ λprf: S o < S p. hd ::: (set_index A p tl o a ?)
113        ])
114    ]) lt.
115    normalize in prf ⊢ %;
116    /2/;
117qed.
118   
119let rec set_index_weak (A: Type[0]) (n: nat)
120                       (v: Vector A n) (m: nat) (a: A) on m ≝
121  match m with
122    [ O ⇒
123      match v with
124        [ VEmpty ⇒ None (Vector A n)
125        | VCons o hd tl ⇒ Some (Vector A n) (? (VCons A o a tl))
126        ]
127    | S o ⇒
128      match v with
129        [ VEmpty ⇒ None (Vector A n)
130        | VCons p hd tl ⇒
131            let settail ≝ set_index_weak A p tl o a in
132              match settail with
133                [ None ⇒ None (Vector A n)
134                | Some j ⇒ Some (Vector A n) (? (VCons A p hd j))
135                ]
136        ]
137    ].
138    //.
139qed.
140
141let rec drop (A: Type[0]) (n: nat)
142             (v: Vector A n) (m: nat) on m ≝
143  match m with
144    [ O ⇒ Some (Vector A n) v
145    | S o ⇒
146      match v with
147        [ VEmpty ⇒ None (Vector A n)
148        | VCons p hd tl ⇒ ? (drop A p tl o)
149        ]
150    ].
151    //.
152qed.
153
154let rec split (A: Type[0]) (m, n: nat) on m: Vector A (plus m n) → (Vector A m) × (Vector A n) ≝
155 match m return λm. Vector A (plus m n) → (Vector A m) × (Vector A n) with
156  [ O ⇒ λv. 〈[[ ]], v〉
157  | S m' ⇒ λv.
158    match v return λl. λ_: Vector A l. l = S (plus m' n) → (Vector A (S m')) × (Vector A n) with
159      [ VEmpty ⇒ λK. ⊥
160      | VCons o he tl ⇒ λK.
161        match split A m' n (tl⌈Vector A o ↦ Vector A (m' + n)⌉) with
162        [ pair v1 v2 ⇒ 〈he:::v1, v2〉
163        ]
164      ] (?: (S (m' + n)) = S (m' + n))].
165      //
166      [ destruct
167      | lapply (injective_S … K)
168        //
169      ]
170qed.
171
172definition head: ∀A: Type[0]. ∀n: nat. Vector A (S n) → A × (Vector A n) ≝
173  λA: Type[0].
174  λn: nat.
175  λv: Vector A (S n).
176  match v return λl. λ_: Vector A l. l = S n → A × (Vector A n) with
177  [ VEmpty ⇒ λK. ⊥
178  | VCons o he tl ⇒ λK. 〈he, (tl⌈Vector A o ↦ Vector A n⌉)〉
179  ] (? : S ? = S ?).
180  //
181  [ destruct
182  | lapply (injective_S … K)
183    //
184  ]
185qed.
186
187definition from_singl: ∀A:Type[0]. Vector A (S O) → A ≝
188 λA: Type[0].
189 λv: Vector A (S 0).
190   fst … (head … v).
191   
192(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
193(* Folds and builds.                                                          *)
194(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
195   
196let rec fold_right (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
197                    (f: A → B → B) (x: B) (v: Vector A n) on v ≝
198  match v with
199    [ VEmpty ⇒ x
200    | VCons n hd tl ⇒ f hd (fold_right A B n f x tl)
201    ].
202
203let rec fold_right2_i (A: Type[0]) (B: Type[0]) (C: nat → Type[0])
204                      (f: ∀N. A → B → C N → C (S N)) (c: C O) (n: nat)
205                      (v: Vector A n) (q: Vector B n) on v : C n ≝
206  (match v return λx.λ_. x = n → C n with
207    [ VEmpty ⇒
208      match q return λx.λ_. O = x → C x with
209        [ VEmpty ⇒ λprf: O = O. c
210        | VCons o hd tl ⇒ λabsd. ⊥
211        ]
212    | VCons o hd tl ⇒
213      match q return λx.λ_. S o = x → C x with
214        [ VEmpty ⇒ λabsd: S o = O. ⊥
215        | VCons p hd' tl' ⇒ λprf: S o = S p.
216           (f ? hd hd' (fold_right2_i A B C f c ? tl (tl'⌈Vector B p ↦ Vector B o⌉)))⌈C (S o) ↦ C (S p)⌉
217        ]
218    ]) (refl ? n).
219  [1,2:
220    destruct
221  |3,4:
222    lapply (injective_S … prf)
223    //
224  ]
225qed.
226 
227let rec fold_left (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
228                    (f: A → B → A) (x: A) (v: Vector B n) on v ≝
229  match v with
230    [ VEmpty ⇒ x
231    | VCons n hd tl ⇒ fold_left A B n f (f x hd) tl
232    ].
233   
234(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
235(* Maps and zips.                                                             *)
236(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
237
238let rec map (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
239             (f: A → B) (v: Vector A n) on v ≝
240  match v with
241    [ VEmpty ⇒ [[ ]]
242    | VCons n hd tl ⇒ (f hd) ::: (map A B n f tl)
243    ].
244
245let rec zip_with (A: Type[0]) (B: Type[0]) (C: Type[0]) (n: nat)
246             (f: A → B → C) (v: Vector A n) (q: Vector B n) on v ≝
247  (match v return (λx.λr. x = n → Vector C x) with
248    [ VEmpty ⇒ λ_. [[ ]]
249    | VCons n hd tl ⇒
250      match q return (λy.λr. S n = y → Vector C (S n)) with
251        [ VEmpty ⇒ ?
252        | VCons m hd' tl' ⇒
253            λe: S n = S m.
254              (f hd hd') ::: (zip_with A B C n f tl ?)
255        ]
256    ])
257    (refl ? n).
258  [ #e
259    destruct(e);
260  | lapply (injective_S … e)
261    # H
262    > H
263    @ tl'
264  ]
265qed.
266
267definition zip ≝
268  λA, B: Type[0].
269  λn: nat.
270  λv: Vector A n.
271  λq: Vector B n.
272    zip_with A B (A × B) n (pair A B) v q.
273
274(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
275(* Building vectors from scratch                                              *)
276(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
277
278let rec replicate (A: Type[0]) (n: nat) (h: A) on n ≝
279  match n return λn. Vector A n with
280    [ O ⇒ [[ ]]
281    | S m ⇒ h ::: (replicate A m h)
282    ].
283
284(* DPM: fixme.  Weird matita bug in base case. *)
285let rec append (A: Type[0]) (n: nat) (m: nat)
286                (v: Vector A n) (q: Vector A m) on v ≝
287  match v return (λn.λv. Vector A (n + m)) with
288    [ VEmpty ⇒ (? q)
289    | VCons o hd tl ⇒ hd ::: (append A o m tl q)
290    ].
291    # H
292    assumption
293qed.
294   
295notation "hvbox(l break @@ r)"
296  right associative with precedence 47
297  for @{ 'vappend $l $r }.
298   
299interpretation "Vector append" 'vappend v1 v2 = (append ??? v1 v2).
300   
301let rec scan_left (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
302                   (f: A → B → A) (a: A) (v: Vector B n) on v ≝
303  a :::
304    (match v with
305       [ VEmpty ⇒ VEmpty A
306       | VCons o hd tl ⇒ scan_left A B o f (f a hd) tl
307       ]).
308
309let rec scan_right (A: Type[0]) (B: Type[0]) (n: nat)
310                    (f: A → B → A) (b: B) (v: Vector A n) on v ≝
311  match v with
312    [ VEmpty ⇒ ?
313    | VCons o hd tl ⇒ f hd b :: (scan_right A B o f b tl)
314    ].
315    //
316qed.
317   
318(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
319(* Other manipulations.                                                       *)
320(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
321
322(* At some points matita will attempt to reduce reverse with a known vector,
323   which reduces the equality proof for the cast.  Normalising this proof needs
324   to be fast enough to keep matita usable. *)
325let rec plus_n_Sm_fast (n:nat) on n : ∀m:nat. S (n+m) = n+S m ≝
326match n return λn'.∀m.S(n'+m) = n'+S m with
327[ O ⇒ λm.refl ??
328| S n' ⇒ λm. ?
329]. normalize @(match plus_n_Sm_fast n' m with [ refl ⇒ ? ]) @refl qed.
330
331let rec revapp (A: Type[0]) (n: nat) (m:nat)
332                (v: Vector A n) (acc: Vector A m) on v : Vector A (n + m) ≝
333  match v return λn'.λ_. Vector A (n' + m) with
334    [ VEmpty ⇒ acc
335    | VCons o hd tl ⇒ (revapp ??? tl (hd:::acc))⌈Vector A (o+S m) ↦ Vector A (S o + m)⌉
336    ].
337> plus_n_Sm_fast @refl qed.
338
339let rec reverse (A: Type[0]) (n: nat) (v: Vector A n) on v : Vector A n ≝
340  (revapp A n 0 v [[ ]])⌈Vector A (n+0) ↦ Vector A n⌉.
341< plus_n_O @refl qed.
342
343(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
344(* Conversions to and from lists.                                             *)
345(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
346
347let rec list_of_vector (A: Type[0]) (n: nat)
348                        (v: Vector A n) on v ≝
349  match v return λn.λv. list A with
350    [ VEmpty ⇒ []
351    | VCons o hd tl ⇒ hd :: (list_of_vector A o tl)
352    ].
353
354let rec vector_of_list (A: Type[0]) (l: list A) on l ≝
355  match l return λl. Vector A (length A l) with
356    [ nil ⇒ ?
357    | cons hd tl ⇒ hd ::: (vector_of_list A tl)
358    ].
359    normalize
360    @ VEmpty
361qed.
362
363(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)   
364(* Rotates and shifts.                                                        *)
365(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
366   
367let rec rotate_left (A: Type[0]) (n: nat)
368                     (m: nat) (v: Vector A n) on m: Vector A n ≝
369  match m with
370    [ O ⇒ v
371    | S o ⇒
372        match v with
373          [ VEmpty ⇒ [[ ]]
374          | VCons p hd tl ⇒
375             rotate_left A (S p) o ((append A p ? tl [[hd]])⌈Vector A (p + S O) ↦ Vector A (S p)⌉)
376          ]
377    ].
378  //
379qed.
380
381definition rotate_right ≝
382  λA: Type[0].
383  λn, m: nat.
384  λv: Vector A n.
385    reverse A n (rotate_left A n m (reverse A n v)).
386
387definition shift_left_1 ≝
388  λA: Type[0].
389  λn: nat.
390  λv: Vector A (S n).
391  λa: A.
392   match v return λy.λ_. y = S n → Vector A y with
393     [ VEmpty ⇒ λH.⊥
394     | VCons o hd tl ⇒ λH.reverse … (a::: reverse … tl)
395     ] (refl ? (S n)).
396 destruct.
397qed.
398
399definition shift_right_1 ≝
400  λA: Type[0].
401  λn: nat.
402  λv: Vector A (S n).
403  λa: A.
404    reverse … (shift_left_1 … (reverse … v) a).
405   
406definition shift_left ≝
407  λA: Type[0].
408  λn, m: nat.
409  λv: Vector A (S n).
410  λa: A.
411    iterate … (λx. shift_left_1 … x a) v m.
412   
413definition shift_right ≝
414  λA: Type[0].
415  λn, m: nat.
416  λv: Vector A (S n).
417  λa: A.
418    iterate … (λx. shift_right_1 … x a) v m.
419
420(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
421(* Decidable equality.                                                        *)
422(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
423
424let rec eq_v (A: Type[0]) (n: nat) (f: A → A → bool) (b: Vector A n) (c: Vector A n) on b : bool ≝
425  (match b return λx.λ_. n = x → bool with
426    [ VEmpty ⇒
427      match c return λx.λ_. x = O → bool with
428        [ VEmpty ⇒ λ_. true
429        | VCons p hd tl ⇒ λabsd.⊥
430        ]
431    | VCons o hd tl ⇒
432        match c return λx.λ_. x = S o → bool with
433          [ VEmpty ⇒ λabsd.⊥
434          | VCons p hd' tl' ⇒
435            λprf.
436              if (f hd hd') then
437                (eq_v A o f tl (tl'⌈Vector A p ↦ Vector A o⌉))
438              else
439                false
440          ]
441    ]) (refl ? n).
442    [1,2:
443      destruct
444    | lapply (injective_S … prf);
445      # X
446      < X
447      %
448    ]
449qed.
450
451lemma vector_inv_n: ∀A,n. ∀P:Vector A n → Prop. ∀v:Vector A n.
452  match n return λn'. (Vector A n' → Prop) → Vector A n' → Prop with
453  [ O ⇒ λP.λv.P [[ ]] → P v
454  | S m ⇒ λP.λv.(∀h,t. P (VCons A m h t)) → P v
455  ] P v.
456@(λA,n. λP:Vector A n → Prop. λv. match v return
457?
458with [ VEmpty ⇒ ? | VCons m h t ⇒ ? ] P)
459[ // | // ] qed.
460(* XXX Proof below fails at qed.
461#A #n #P * [ #H @H | #m #h #t #H @H ] qed.
462*)
463
464lemma eq_v_elim: ∀P:bool → Prop. ∀A,f.
465  (∀Q:bool → Prop. ∀a,b. (a = b → Q true) → (a ≠ b → Q false) → Q (f a b)) →
466  ∀n,x,y.
467  (x = y → P true) →
468  (x ≠ y → P false) →
469  P (eq_v A n f x y).
470#P #A #f #f_elim #n #x elim x
471[ #y @(vector_inv_n … y)
472  normalize /2/
473| #m #h #t #IH #y @(vector_inv_n … y)
474  #h' #t' #Ht #Hf whd in ⊢ (?%)
475  @(f_elim ? h h') #Eh
476  [ @IH [ #Et @Ht >Eh >Et @refl | #NEt @Hf % #E' destruct (E') elim NEt /2/ ]
477  | @Hf % #E' destruct (E') elim Eh /2/
478  ]
479] qed.
480
481(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
482(* Subvectors.                                                                *)
483(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
484
485definition mem ≝
486 λA: Type[0].
487 λeq_a : A → A → bool.
488 λn: nat.
489 λl: Vector A n.
490 λx: A.
491  fold_right … (λy,v. (eq_a x y) ∨ v) false l.
492
493definition subvector_with ≝
494  λA: Type[0].
495  λn: nat.
496  λm: nat.
497  λf: A → A → bool.
498  λv: Vector A n.
499  λq: Vector A m.
500    fold_right ? ? ? (λx, v. (mem ? f ? q x) ∧ v) true v.
501   
502(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)
503(* Lemmas.                                                                    *)
504(* -=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= *)   
505   
506lemma map_fusion:
507  ∀A, B, C: Type[0].
508  ∀n: nat.
509  ∀v: Vector A n.
510  ∀f: A → B.
511  ∀g: B → C.
512    map B C n g (map A B n f v) = map A C n (λx. g (f x)) v.
513  #A #B #C #n #v #f #g
514  elim v
515  [ normalize
516    %
517  | #N #H #V #H2
518    normalize
519    > H2
520    %
521  ]
522qed.
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.