source: Deliverables/D3.1/C-semantics/Cexec.ma @ 484

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Line 
1
2include "Csem.ma".
3
4include "extralib.ma".
5include "IOMonad.ma".
6
7include "Plogic/russell_support.ma".
8
9ndefinition P_to_P_option_res : ∀A:Type[0].∀P:A → CProp[0].option (res A) → CProp[0] ≝
10  λA,P,a.match a with [ None ⇒ False | Some y ⇒ match y return λ_.CProp[0] with [ Error ⇒ True | OK z ⇒ P z ]].
11
12ndefinition err_inject : ∀A.∀P:A → Prop.∀a:option (res A).∀p:P_to_P_option_res A P a.res (sigma A P) ≝
13  λA.λP:A → Prop.λa:option (res A).λp:P_to_P_option_res A P a.
14  (match a return λa'.a=a' → res (sigma A P) with
15   [ None ⇒ λe1.?
16   | Some b ⇒ λe1.(match b return λb'.b=b' → ? with
17     [ Error ⇒ λ_. Error ?
18     | OK c ⇒ λe2. OK ? (sig_intro A P c ?)
19     ]) (refl ? b)
20   ]) (refl ? a).
21##[ nrewrite > e1 in p; nnormalize; *;
22##| nrewrite > e1 in p; nrewrite > e2; nnormalize; //
23##] nqed.
24
25ndefinition err_eject : ∀A.∀P: A → Prop. res (sigma A P) → res A ≝
26  λA,P,a.match a with [ Error ⇒ Error ? | OK b ⇒
27    match b with [ sig_intro w p ⇒ OK ? w] ].
28
29ndefinition sig_eject : ∀A.∀P: A → Prop. sigma A P → A ≝
30  λA,P,a.match a with [ sig_intro w p ⇒ w].
31
32ncoercion err_inject :
33  ∀A.∀P:A → Prop.∀a.∀p:P_to_P_option_res ? P a.res (sigma A P) ≝ err_inject
34  on a:option (res ?) to res (sigma ? ?).
35ncoercion err_eject : ∀A.∀P:A → Prop.∀c:res (sigma A P).res A ≝ err_eject
36  on _c:res (sigma ? ?) to res ?.
37ncoercion sig_eject : ∀A.∀P:A → Prop.∀c:sigma A P.A ≝ sig_eject
38  on _c:sigma ? ? to ?.
39
40ndefinition P_res: ∀A.∀P:A → Prop.res A → Prop ≝
41  λA,P,a. match a with [ Error ⇒ True | OK v ⇒ P v ].
42
43ndefinition exec_bool_of_val : ∀v:val. ∀ty:type. res bool ≝
44  λv,ty. match v in val with
45  [ Vint i ⇒ match ty with
46    [ Tint _ _ ⇒ OK ? (¬eq i zero)
47    | _ ⇒ Error ?
48    ]
49  | Vfloat f ⇒ match ty with
50    [ Tfloat _ ⇒ OK ? (¬Fcmp Ceq f Fzero)
51    | _ ⇒ Error ?
52    ]
53  | Vptr _ _ _ ⇒ match ty with
54    [ Tpointer _ _ ⇒ OK ? true
55    | _ ⇒ Error ?
56    ]
57  | Vnull _ ⇒ match ty with
58    [ Tpointer _ _ ⇒ OK ? false
59    | _ ⇒ Error ?
60    ]
61  | _ ⇒ Error ?
62  ].
63
64nlemma bool_of_val_complete : ∀v,ty,r. bool_of_val v ty r → ∃b. r = of_bool b ∧ exec_bool_of_val v ty = OK ? b.
65#v ty r H; nelim H; #v t H'; nelim H';
66  ##[ #i is s ne; @ true; @; //; nwhd in ⊢ (??%?); nrewrite > (eq_false … ne); //;
67  ##| #p b i i0 s; @ true; @; //
68  ##| #f s ne; @ true; @; //; nwhd in ⊢ (??%?); nrewrite > (Feq_zero_false … ne); //;
69  ##| #i s; @ false; @; //;
70  ##| #r r' t; @ false; @; //;
71  ##| #s; @ false; @; //; nwhd in ⊢ (??%?); nrewrite > (Feq_zero_true …); //;
72  ##]
73nqed.
74
75(* Prove a few minor results to make proof obligations easy. *)
76
77nlemma bind_OK: ∀A,B,P,e,f.
78  (∀v. e = OK A v → match f v with [ Error ⇒ True | OK v' ⇒ P v' ]) →
79  match bind A B e f with [ Error ⇒ True | OK v ⇒ P v ].
80#A B P e f; nelim e; /2/; nqed.
81
82nlemma sig_bind_OK: ∀A,B. ∀P:A → Prop. ∀P':B → Prop. ∀e:res (sigma A P). ∀f:sigma A P → res B.
83  (∀v:A. ∀p:P v. match f (sig_intro A P v p) with [ Error ⇒ True | OK v' ⇒ P' v'] ) →
84  match bind (sigma A P) B e f with [ Error ⇒ True | OK v' ⇒ P' v' ].
85#A B P P' e f; nelim e;
86##[ #v0; nelim v0; #v Hv IH; napply IH;
87##| #_; napply I;
88##] nqed.
89
90nlemma bind2_OK: ∀A,B,C,P,e,f.
91  (∀v1,v2. e = OK ? 〈v1,v2〉 → match f v1 v2 with [ Error ⇒ True | OK v' ⇒ P v' ]) →
92  match bind2 A B C e f with [ Error ⇒ True | OK v ⇒ P v ].
93#A B C P e f; nelim e; //; #v; ncases v; /2/; nqed.
94
95nlemma sig_bind2_OK: ∀A,B,C. ∀P:A×B → Prop. ∀P':C → Prop. ∀e:res (sigma (A×B) P). ∀f:A → B → res C.
96  (∀v1:A.∀v2:B. P 〈v1,v2〉 → match f v1 v2 with [ Error ⇒ True | OK v' ⇒ P' v'] ) →
97  match bind2 A B C e f with [ Error ⇒ True | OK v' ⇒ P' v' ].
98#A B C P P' e f; nelim e; //;
99#v0; nelim v0; #v; nelim v; #v1 v2 Hv IH; napply IH; //; nqed.
100
101ndefinition opt_to_res ≝ λA.λv:option A. match v with [ None ⇒ Error A | Some v ⇒ OK A v ].
102nlemma opt_OK: ∀A,P,e.
103  (∀v. e = Some ? v → P v) →
104  match opt_to_res A e with [ Error ⇒ True | OK v ⇒ P v ].
105#A P e; nelim e; /2/;
106nqed.
107
108nlemma opt_bind_OK: ∀A,B,P,e,f.
109  (∀v. e = Some A v → match f v with [ Error ⇒ True | OK v' ⇒ P v' ]) →
110  match bind A B (opt_to_res A e) f with [ Error ⇒ True | OK v ⇒ P v ].
111#A B P e f; nelim e; nnormalize; /2/; nqed.
112
113nlemma extract_subset_pair: ∀A,B,C,P. ∀e:{e:A×B | P e}. ∀Q:A→B→res C. ∀R:C→Prop.
114  (∀a,b. eject ?? e = 〈a,b〉 → P 〈a,b〉 → match Q a b with [ OK v ⇒ R v | Error ⇒ True]) →
115  match match eject ?? e with [ mk_pair a b ⇒ Q a b ] with [ OK v ⇒ R v | Error ⇒ True ].
116#A B C P e Q R; ncases e; #e'; ncases e'; nnormalize;
117##[ #H; napply (False_ind … H);
118##| #e''; ncases e''; #a b Pab H; nnormalize; /2/;
119##] nqed.
120
121(*
122nremark err_later: ∀A,B. ∀e:res A. match e with [ Error ⇒ Error B | OK v ⇒ Error B ] = Error B.
123#A B e; ncases e; //; nqed.
124*)
125
126ndefinition try_cast_null : ∀m:mem. ∀i:int. ∀ty:type. ∀ty':type. res val  ≝
127λm:mem. λi:int. λty:type. λty':type.
128match eq i zero with
129[ true ⇒
130  match ty with
131  [ Tint _ _ ⇒
132    match ty' with
133    [ Tpointer r _ ⇒ OK ? (Vnull r)
134    | Tarray r _ _ ⇒ OK ? (Vnull r)
135    | Tfunction _ _ ⇒ OK ? (Vnull Code)
136    | _ ⇒ Error ?
137    ]
138  | _ ⇒ Error ?
139  ]
140| false ⇒ Error ?
141].
142
143ndefinition exec_cast : ∀m:mem. ∀v:val. ∀ty:type. ∀ty':type. res val ≝
144λm:mem. λv:val. λty:type. λty':type.
145match v with
146[ Vint i ⇒
147  match ty with
148  [ Tint sz1 si1 ⇒
149    match ty' with
150    [ Tint sz2 si2 ⇒ OK ? (Vint (cast_int_int sz2 si2 i))
151    | Tfloat sz2 ⇒ OK ? (Vfloat (cast_float_float sz2 (cast_int_float si1 i)))
152    | Tpointer _ _ ⇒ do r ← try_cast_null m i ty ty'; OK val r
153    | Tarray _ _ _ ⇒ do r ← try_cast_null m i ty ty'; OK val r
154    | Tfunction _ _ ⇒ do r ← try_cast_null m i ty ty'; OK val r
155    | _ ⇒ Error ?
156    ]
157  | Tpointer _ _ ⇒ do r ← try_cast_null m i ty ty'; OK val r
158  | Tarray _ _ _ ⇒ do r ← try_cast_null m i ty ty'; OK val r
159  | Tfunction _ _ ⇒ do r ← try_cast_null m i ty ty'; OK val r
160  | _ ⇒ Error ?
161  ]
162| Vfloat f ⇒
163  match ty with
164  [ Tfloat sz ⇒
165    match ty' with
166    [ Tint sz' si' ⇒ OK ? (Vint (cast_int_int sz' si' (cast_float_int si' f)))
167    | Tfloat sz' ⇒ OK ? (Vfloat (cast_float_float sz' f))
168    | _ ⇒ Error ?
169    ]
170  | _ ⇒ Error ?
171  ]
172| Vptr p b ofs ⇒
173    do s ← match ty with [ Tpointer s _ ⇒ OK ? s | Tarray s _ _ ⇒ OK ? s | Tfunction _ _ ⇒ OK ? Code | _ ⇒ Error ? ];
174    do u ← match eq_region_dec p s with [ inl _ ⇒ OK ? something | inr _ ⇒ Error ? ];
175    do s' ← match ty' with
176         [ Tpointer s _ ⇒ OK ? s | Tarray s _ _ ⇒ OK ? s | Tfunction _ _ ⇒ OK ? Code
177         | _ ⇒ Error ? ];
178    if is_pointer_compat (block_space m b) s'
179    then OK ? (Vptr s' b ofs)
180    else Error ?
181| Vnull r ⇒
182    do s ← match ty with [ Tpointer s _ ⇒ OK ? s | Tarray s _ _ ⇒ OK ? s | Tfunction _ _ ⇒ OK ? Code | _ ⇒ Error ? ];
183    do u ← match eq_region_dec r s with [ inl _ ⇒ OK ? something | inr _ ⇒ Error ? ];
184    do s' ← match ty' with
185         [ Tpointer s _ ⇒ OK ? s | Tarray s _ _ ⇒ OK ? s | Tfunction _ _ ⇒ OK ? Code
186         | _ ⇒ Error ? ];
187    OK ? (Vnull s')
188| _ ⇒ Error ?
189].
190
191ndefinition load_value_of_type' ≝
192λty,m,l. match l with [ mk_pair pl ofs ⇒ match pl with [ mk_pair psp loc ⇒
193  load_value_of_type ty m psp loc ofs ] ].
194
195(* To make the evaluation of bare lvalue expressions invoke exec_lvalue with
196   a structurally smaller value, we break out the surrounding Expr constructor
197   and use exec_lvalue'. *)
198
199nlet rec exec_expr (ge:genv) (en:env) (m:mem) (e:expr) on e : res (val×trace) ≝
200match e with
201[ Expr e' ty ⇒
202  match e' with
203  [ Econst_int i ⇒ OK ? 〈Vint i, E0〉
204  | Econst_float f ⇒ OK ? 〈Vfloat f, E0〉
205  | Evar _ ⇒
206      do 〈l,tr〉 ← exec_lvalue' ge en m e' ty;
207      do v ← opt_to_res ? (load_value_of_type' ty m l);
208      OK ? 〈v,tr〉
209  | Ederef _ ⇒
210      do 〈l,tr〉 ← exec_lvalue' ge en m e' ty;
211      do v ← opt_to_res ? (load_value_of_type' ty m l);
212      OK ? 〈v,tr〉
213  | Efield _ _ ⇒
214      do 〈l,tr〉 ← exec_lvalue' ge en m e' ty;
215      do v ← opt_to_res ? (load_value_of_type' ty m l);
216      OK ? 〈v,tr〉
217  | Eaddrof a ⇒
218      do 〈plo,tr〉 ← exec_lvalue ge en m a;
219      OK ? 〈match plo with [ mk_pair pl ofs ⇒ match pl with [ mk_pair pcl loc ⇒ Vptr pcl loc ofs ] ], tr〉
220  | Esizeof ty' ⇒ OK ? 〈Vint (repr (sizeof ty')), E0〉
221  | Eunop op a ⇒
222      do 〈v1,tr〉 ← exec_expr ge en m a;
223      do v ← opt_to_res ? (sem_unary_operation op v1 (typeof a));
224      OK ? 〈v,tr〉
225  | Ebinop op a1 a2 ⇒
226      do 〈v1,tr1〉 ← exec_expr ge en m a1;
227      do 〈v2,tr2〉 ← exec_expr ge en m a2;
228      do v ← opt_to_res ? (sem_binary_operation op v1 (typeof a1) v2 (typeof a2) m);
229      OK ? 〈v,tr1⧺tr2〉
230  | Econdition a1 a2 a3 ⇒
231      do 〈v,tr1〉 ← exec_expr ge en m a1;
232      do b ← exec_bool_of_val v (typeof a1);
233      do 〈v',tr2〉 ← match b return λ_.res (val×trace) with
234                 [ true ⇒ (exec_expr ge en m a2)
235                 | false ⇒ (exec_expr ge en m a3) ];
236      OK ? 〈v',tr1⧺tr2〉
237(*      if b then exec_expr ge en m a2 else exec_expr ge en m a3)*)
238  | Eorbool a1 a2 ⇒
239      do 〈v1,tr1〉 ← exec_expr ge en m a1;
240      do b1 ← exec_bool_of_val v1 (typeof a1);
241      match b1 return λ_.res (val×trace) with [ true ⇒ OK ? 〈Vtrue,tr1〉 | false ⇒
242        do 〈v2,tr2〉 ← exec_expr ge en m a2;
243        do b2 ← exec_bool_of_val v2 (typeof a2);
244        OK ? 〈of_bool b2, tr1⧺tr2〉 ]
245  | Eandbool a1 a2 ⇒
246      do 〈v1,tr1〉 ← exec_expr ge en m a1;
247      do b1 ← exec_bool_of_val v1 (typeof a1);
248      match b1 return λ_.res (val×trace) with [ true ⇒
249        do 〈v2,tr2〉 ← exec_expr ge en m a2;
250        do b2 ← exec_bool_of_val v2 (typeof a2);
251        OK ? 〈of_bool b2, tr1⧺tr2〉
252      | false ⇒ OK ? 〈Vfalse,tr1〉 ]
253  | Ecast ty' a ⇒
254      do 〈v,tr〉 ← exec_expr ge en m a;
255      do v' ← exec_cast m v (typeof a) ty';
256      OK ? 〈v',tr〉
257  | Ecost l a ⇒
258      do 〈v,tr〉 ← exec_expr ge en m a;
259      OK ? 〈v,tr⧺(Echarge l)〉
260  ]
261]
262and exec_lvalue' (ge:genv) (en:env) (m:mem) (e':expr_descr) (ty:type) on e' : res (region × block × int × trace) ≝
263  match e' with
264  [ Evar id ⇒
265      match (get … id en) with
266      [ None ⇒ do 〈sp,l〉 ← opt_to_res ? (find_symbol ? ? ge id); OK ? 〈〈〈sp,l〉,zero〉,E0〉 (* global *)
267      | Some loc ⇒ OK ? 〈〈〈Any,loc〉,zero〉,E0〉 (* local *)
268      ]
269  | Ederef a ⇒
270      do 〈v,tr〉 ← exec_expr ge en m a;
271      match v with
272      [ Vptr sp l ofs ⇒ OK ? 〈〈〈sp,l〉,ofs〉,tr〉
273      | _ ⇒ Error ?
274      ]
275  | Efield a i ⇒
276      match (typeof a) with
277      [ Tstruct id fList ⇒
278          do 〈plofs,tr〉 ← exec_lvalue ge en m a;
279          do delta ← field_offset i fList;
280          OK ? 〈〈\fst plofs,add (\snd plofs) (repr delta)〉,tr〉
281      | Tunion id fList ⇒
282          do 〈plofs,tr〉 ← exec_lvalue ge en m a;
283          OK ? 〈plofs,tr〉
284      | _ ⇒ Error ?
285      ]
286  | _ ⇒ Error ?
287  ]
288and exec_lvalue (ge:genv) (en:env) (m:mem) (e:expr) on e : res (region × block × int × trace) ≝
289match e with [ Expr e' ty ⇒ exec_lvalue' ge en m e' ty ].
290
291nlemma P_res_to_P: ∀A,P,e,v.  P_res A P e → e = OK A v → P v.
292#A P e v H1 H2; nrewrite > H2 in H1; nwhd in ⊢ (% → ?); //; nqed.
293
294(* We define a special induction principle tailored to the recursive definition
295   above. *)
296
297ndefinition is_not_lvalue: expr_descr → Prop ≝
298λe. match e with [ Evar _ ⇒ False | Ederef _ ⇒ False | Efield _ _ ⇒ False | _ ⇒ True ].
299
300ndefinition Plvalue ≝ λP:(expr → Prop).λe,ty.
301match e return λ_.Prop with [ Evar _ ⇒ P (Expr e ty) | Ederef _ ⇒ P (Expr e ty) | Efield _ _ ⇒ P (Expr e ty) | _ ⇒ True ].
302
303(* TODO: Can we do this sensibly with a map combinator? *)
304nlet rec exec_exprlist (ge:genv) (e:env) (m:mem) (l:list expr) on l : res (list val×trace) ≝
305match l with
306[ nil ⇒ OK ? 〈nil val, E0〉
307| cons e1 es ⇒
308  do 〈v,tr1〉 ← exec_expr ge e m e1;
309  do 〈vs,tr2〉 ← exec_exprlist ge e m es;
310  OK ? 〈cons val v vs, tr1⧺tr2〉
311].
312
313(* Don't really want to use subset rather than sigma here, but can't be bothered
314   with *another* set of coercions. XXX: why do I have to get the recursive
315   call's property manually? *)
316
317nlet rec exec_alloc_variables (en:env) (m:mem) (l:list (ident × type)) on l : { r:env × mem | alloc_variables en m l (\fst r) (\snd r) } ≝
318match l with
319[ nil ⇒ Some ? 〈en, m〉
320| cons h vars ⇒
321  match h with [ mk_pair id ty ⇒
322    match alloc m 0 (sizeof ty) Any with [ mk_pair m1 b1 ⇒
323      match exec_alloc_variables (set … id b1 en) m1 vars with
324      [ sig_intro r p ⇒ r ]
325]]]. nwhd;
326##[ //;
327##| nelim (exec_alloc_variables (set ident ? ? c3 c7 en) c6 c1);
328    #H; nelim H; //; #H0; nelim H0; nnormalize; #en' m' IH;
329napply (alloc_variables_cons … IH); /2/;
330nqed.
331
332(* TODO: can we establish that length params = length vs in advance? *)
333nlet rec exec_bind_parameters (e:env) (m:mem) (params:list (ident × type)) (vs:list val) on params : res (Σm2:mem. bind_parameters e m params vs m2) ≝
334  match params with
335  [ nil ⇒ match vs with [ nil ⇒ Some ? (OK ? m) | cons _ _ ⇒ Some ? (Error ?) ]
336  | cons idty params' ⇒ match idty with [ mk_pair id ty ⇒
337      match vs with
338      [ nil ⇒ Some ? (Error ?)
339      | cons v1 vl ⇒ Some ? (
340          do b ← opt_to_res ? (get … id e);
341          do m1 ← opt_to_res ? (store_value_of_type ty m Any b zero v1);
342          err_eject ?? (exec_bind_parameters e m1 params' vl)) (* FIXME: don't want to have to eject here *)
343      ]
344  ] ].
345nwhd; //;
346napply opt_bind_OK; #b eb;
347napply opt_bind_OK; #m1 em1;
348napply sig_bind_OK; #m2 Hm2;
349napply (bind_parameters_cons … eb em1 Hm2);
350nqed.
351
352alias id "Tint" = "cic:/matita/c-semantics/Csyntax/type.con(0,2,0)".
353alias id "Tfloat" = "cic:/matita/c-semantics/Csyntax/type.con(0,3,0)".
354ndefinition sz_eq_dec : ∀s1,s2:intsize. (s1 = s2) + (s1 ≠ s2).
355#s1; ncases s1; #s2; ncases s2; /2/; @2; @; #H; ndestruct; nqed.
356ndefinition sg_eq_dec : ∀s1,s2:signedness. (s1 = s2) + (s1 ≠ s2).
357#s1; ncases s1; #s2; ncases s2; /2/; @2; @; #H; ndestruct; nqed.
358ndefinition fs_eq_dec : ∀s1,s2:floatsize. (s1 = s2) + (s1 ≠ s2).
359#s1; ncases s1; #s2; ncases s2; /2/; @2; @; #H; ndestruct; nqed.
360
361nlet rec type_eq_dec (t1,t2:type) : (t1 = t2) + (t1 ≠ t2) ≝
362match t1 return λt'. (t' = t2) + (t' ≠ t2) with
363[ Tvoid ⇒ match t2 return λt'. (Tvoid = t') + (Tvoid ≠ t') with [ Tvoid ⇒ inl ?? (refl ??) | _ ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.?)) ]
364| Tint sz sg ⇒ match t2 return λt'. (Tint ?? = t') + (Tint ?? ≠ t')  with [ Tint sz' sg' ⇒
365    match sz_eq_dec sz sz' with [ inl e1 ⇒
366    match sg_eq_dec sg sg' with [ inl e2 ⇒ inl ???
367    | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
368    | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
369    | _ ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.?)) ]
370| Tfloat f ⇒ match t2 return λt'. (Tfloat ? = t') + (Tfloat ? ≠ t')  with [ Tfloat f' ⇒
371    match fs_eq_dec f f' with [ inl e1 ⇒ inl ???
372    | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
373    | _ ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.?)) ]
374| Tpointer s t ⇒ match t2 return λt'. (Tpointer ?? = t') + (Tpointer ?? ≠ t')  with [ Tpointer s' t' ⇒
375    match eq_region_dec s s' with [ inl e1 ⇒
376      match type_eq_dec t t' with [ inl e2 ⇒ inl ???
377      | inr e2 ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e2 with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
378    | inr e1 ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e1 with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ] | _ ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.?)) ]
379| Tarray s t n ⇒ match t2 return λt'. (Tarray ??? = t') + (Tarray ??? ≠ t')  with [ Tarray s' t' n' ⇒
380    match eq_region_dec s s' with [ inl e1 ⇒
381      match type_eq_dec t t' with [ inl e2 ⇒
382        match decidable_eq_Z_Type n n' with [ inl e3 ⇒ inl ???
383        | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
384        | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
385        | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
386        | _ ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.?)) ]
387| Tfunction tl t ⇒ match t2 return λt'. (Tfunction ?? = t') + (Tfunction ?? ≠ t')  with [ Tfunction tl' t' ⇒
388    match typelist_eq_dec tl tl' with [ inl e1 ⇒
389    match type_eq_dec t t' with [ inl e2 ⇒ inl ???
390    | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
391    | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
392  | _ ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.?)) ]
393| Tstruct i fl ⇒
394    match t2 return λt'. (Tstruct ?? = t') + (Tstruct ?? ≠ t')  with [ Tstruct i' fl' ⇒
395    match ident_eq i i' with [ inl e1 ⇒
396    match fieldlist_eq_dec fl fl' with [ inl e2 ⇒ inl ???
397    | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
398    | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
399    | _ ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.?)) ]
400| Tunion i fl ⇒
401    match t2 return λt'. (Tunion ?? = t') + (Tunion ?? ≠ t')  with [ Tunion i' fl' ⇒
402    match ident_eq i i' with [ inl e1 ⇒
403    match fieldlist_eq_dec fl fl' with [ inl e2 ⇒ inl ???
404    | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
405    | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
406    |  _ ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.?)) ]
407| Tcomp_ptr r i ⇒ match t2 return λt'. (Tcomp_ptr ? ? = t') + (Tcomp_ptr ? ? ≠ t')  with [ Tcomp_ptr r' i' ⇒
408    match eq_region_dec r r' with [ inl e1 ⇒
409      match ident_eq i i' with [ inl e2 ⇒ inl ???
410      | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
411    | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
412    | _ ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.?)) ]
413]
414and typelist_eq_dec (tl1,tl2:typelist) : (tl1 = tl2) + (tl1 ≠ tl2) ≝
415match tl1 return λtl'. (tl' = tl2) + (tl' ≠ tl2) with
416[ Tnil ⇒ match tl2 return λtl'. (Tnil = tl') + (Tnil ≠ tl') with [ Tnil ⇒ inl ?? (refl ??) | _ ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.?)) ]
417| Tcons t1 ts1 ⇒ match tl2 return λtl'. (Tcons ?? = tl') + (Tcons ?? ≠ tl') with [ Tnil ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.?)) | Tcons t2 ts2 ⇒
418    match type_eq_dec t1 t2 with [ inl e1 ⇒
419    match typelist_eq_dec ts1 ts2 with [ inl e2 ⇒ inl ???
420    | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
421    | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ] ]
422]
423and fieldlist_eq_dec (fl1,fl2:fieldlist) : (fl1 = fl2) + (fl1 ≠ fl2) ≝
424match fl1 return λfl'. (fl' = fl2) + (fl' ≠ fl2) with
425[ Fnil ⇒ match fl2 return λfl'. (Fnil = fl') + (Fnil ≠ fl') with [ Fnil ⇒ inl ?? (refl ??) | _ ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.?)) ]
426| Fcons i1 t1 fs1 ⇒ match fl2 return λfl'. (Fcons ??? = fl') + (Fcons ??? ≠ fl') with [ Fnil ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.?)) | Fcons i2 t2 fs2 ⇒
427    match ident_eq i1 i2 with [ inl e1 ⇒
428      match type_eq_dec t1 t2 with [ inl e2 ⇒
429        match fieldlist_eq_dec fs1 fs2 with [ inl e3 ⇒ inl ???
430        | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
431        | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ]
432        | inr e ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.match e with [ nmk e' ⇒ e' ? ])) ] ]
433]. ndestruct; //; nqed.
434
435ndefinition assert_type_eq : ∀t1,t2:type. res (t1 = t2) ≝
436λt1,t2. match type_eq_dec t1 t2 with [ inl p ⇒ OK ? p | inr _ ⇒ Error ? ].
437
438nlet rec is_is_call_cont (k:cont) : (is_call_cont k) + (¬is_call_cont k) ≝
439match k return λk'.(is_call_cont k') + (¬is_call_cont k') with
440[ Kstop ⇒ ?
441| Kcall _ _ _ _ ⇒ ?
442| _ ⇒ ?
443].
444##[ ##1,8: @1; //
445##| ##*: @2; /2/
446##] nqed.
447
448ndefinition is_Sskip : ∀s:statement. (s = Sskip) + (s ≠ Sskip) ≝
449λs.match s return λs'.(s' = Sskip) + (s' ≠ Sskip) with
450[ Sskip ⇒ inl ?? (refl ??)
451| _ ⇒ inr ?? (nmk ? (λH.?))
452]. ndestruct;
453nqed.
454
455(* Checking types of values given to / received from an external function call. *)
456
457ndefinition eventval_type : ∀ty:typ. Type ≝
458λty. match ty with [ ASTint ⇒ int | ASTfloat ⇒ float ].
459
460ndefinition mk_eventval: ∀ty:typ. eventval_type ty → eventval ≝
461λty:typ. match ty return λty'.eventval_type ty' → eventval with [ ASTint ⇒ λv.EVint v | ASTfloat ⇒ λv.EVfloat v ].
462
463ndefinition mk_val: ∀ty:typ. eventval_type ty → val ≝
464λty:typ. match ty return λty'.eventval_type ty' → val with [ ASTint ⇒ λv.Vint v | ASTfloat ⇒ λv.Vfloat v ].
465
466nlemma mk_val_correct: ∀ty:typ. ∀v:eventval_type ty.
467  eventval_match (mk_eventval ty v) ty (mk_val ty v).
468#ty; ncases ty; nnormalize; //; nqed.
469
470ndefinition convert_eventval : ∀ev:eventval. ∀ty:typ. res (Σv:val. eventval_match ev ty v) ≝
471λev,ty.
472match ty with
473[ ASTint ⇒ match ev with [ EVint i ⇒ Some ? (OK ? (Vint i)) | _ ⇒ Some ? (Error ?) ]
474| ASTfloat ⇒ match ev with [ EVfloat f ⇒ Some ? (OK ? (Vfloat f)) | _ ⇒ Some ? (Error ?) ]
475| _ ⇒ Some ? (Error ?)
476]. nwhd; //; nqed.
477
478ndefinition check_eventval' : ∀v:val. ∀ty:typ. res (Σev:eventval. eventval_match ev ty v) ≝
479λv,ty.
480match ty with
481[ ASTint ⇒ match v with [ Vint i ⇒ Some ? (OK ? (EVint i)) | _ ⇒ Some ? (Error ?) ]
482| ASTfloat ⇒ match v with [ Vfloat f ⇒ Some ? (OK ? (EVfloat f)) | _ ⇒ Some ? (Error ?) ]
483| _ ⇒ Some ? (Error ?)
484]. nwhd; //; nqed.
485
486nlet rec check_eventval_list (vs: list val) (tys: list typ) : res (Σevs:list eventval. eventval_list_match evs tys vs) ≝
487match vs with
488[ nil ⇒ match tys with [ nil ⇒ Some ? (OK ? (nil ?)) | _ ⇒ Some ? (Error ?) ]
489| cons v vt ⇒
490  match tys with
491  [ nil ⇒ Some ? (Error ?)
492  | cons ty tyt ⇒ Some ? (
493    do ev ← check_eventval' v ty;
494    do evt ← check_eventval_list vt tyt;
495    OK ? ((sig_eject ?? ev)::evt))
496  ]
497]. nwhd; //;
498napply sig_bind_OK; #ev Hev;
499napply sig_bind_OK; #evt Hevt;
500nnormalize; /2/;
501nqed.
502
503(* IO monad *)
504
505(* Interactions are function calls that return a value and do not change
506   the rest of the Clight program's state. *)
507nrecord io_out : Type ≝
508{ io_function: ident
509; io_args: list eventval
510; io_in_typ: typ
511}.
512
513ndefinition io_in ≝ λo. eventval_type (io_in_typ o).
514
515ndefinition do_io : ident → list eventval → ∀t:typ. IO io_out io_in (eventval_type t) ≝
516λfn,args,t. Interact ??? (mk_io_out fn args t) (λres. Value ??? res).
517
518ndefinition ret: ∀T. T → (IO io_out io_in T) ≝
519λT,x.(Value ?? T x).
520
521(* execution *)
522
523ndefinition store_value_of_type' ≝
524λty,m,l,v.
525match l with [ mk_pair pl ofs ⇒
526  match pl with [ mk_pair pcl loc ⇒
527    store_value_of_type ty m pcl loc ofs v ] ].
528
529nlet rec exec_step (ge:genv) (st:state) on st : (IO io_out io_in (trace × state)) ≝
530match st with
531[ State f s k e m ⇒
532  match s with
533  [ Sassign a1 a2 ⇒
534    ! 〈l,tr1〉 ← exec_lvalue ge e m a1;
535    ! 〈v2,tr2〉 ← exec_expr ge e m a2;
536    ! m' ← store_value_of_type' (typeof a1) m l v2;
537    ret ? 〈tr1⧺tr2, State f Sskip k e m'〉
538  | Scall lhs a al ⇒
539    ! 〈vf,tr2〉 ← exec_expr ge e m a;
540    ! 〈vargs,tr3〉 ← exec_exprlist ge e m al;
541    ! fd ← find_funct ? ? ge vf;
542    ! p ← err_to_io … (assert_type_eq (type_of_fundef fd) (fun_typeof a));
543(* requires associativity of IOMonad, so rearrange it below
544    ! k' ← match lhs with
545         [ None ⇒ ret ? (Kcall (None ?) f e k)
546         | Some lhs' ⇒
547           ! locofs ← exec_lvalue ge e m lhs';
548           ret ? (Kcall (Some ? 〈sig_eject ?? locofs, typeof lhs'〉) f e k)
549         ];
550    ret ? 〈E0, Callstate fd vargs k' m〉)
551*)
552    match lhs with
553         [ None ⇒ ret ? 〈tr2⧺tr3, Callstate fd vargs (Kcall (None ?) f e k) m〉
554         | Some lhs' ⇒
555           ! 〈locofs,tr1〉 ← exec_lvalue ge e m lhs';
556           ret ? 〈tr1⧺tr2⧺tr3, Callstate fd vargs (Kcall (Some ? 〈locofs, typeof lhs'〉) f e k) m〉
557         ]
558  | Ssequence s1 s2 ⇒ ret ? 〈E0, State f s1 (Kseq s2 k) e m〉
559  | Sskip ⇒
560      match k with
561      [ Kseq s k' ⇒ ret ? 〈E0, State  f s k' e m〉
562      | Kstop ⇒
563          match fn_return f with
564          [ Tvoid ⇒ ret ? 〈E0, Returnstate Vundef k (free_list m (blocks_of_env e))〉
565          | _ ⇒ Wrong ???
566          ]
567      | Kcall _ _ _ _ ⇒
568          match fn_return f with
569          [ Tvoid ⇒ ret ? 〈E0, Returnstate Vundef k (free_list m (blocks_of_env e))〉
570          | _ ⇒ Wrong ???
571          ]
572      | Kwhile a s' k' ⇒ ret ? 〈E0, State f (Swhile a s') k' e m〉
573      | Kdowhile a s' k' ⇒
574          ! 〈v,tr〉 ← exec_expr ge e m a;
575          ! b ← err_to_io … (exec_bool_of_val v (typeof a));
576          match b with
577          [ true ⇒ ret ? 〈tr, State f (Sdowhile a s') k' e m〉
578          | false ⇒ ret ? 〈tr, State f Sskip k' e m〉
579          ]
580      | Kfor2 a2 a3 s' k' ⇒ ret ? 〈E0, State f a3 (Kfor3 a2 a3 s' k') e m〉
581      | Kfor3 a2 a3 s' k' ⇒ ret ? 〈E0, State f (Sfor Sskip a2 a3 s') k' e m〉
582      | Kswitch k' ⇒ ret ? 〈E0, State f Sskip k' e m〉
583      | _ ⇒ Wrong ???
584      ]
585  | Scontinue ⇒
586      match k with
587      [ Kseq s' k' ⇒ ret ? 〈E0, State f Scontinue k' e m〉
588      | Kwhile a s' k' ⇒ ret ? 〈E0, State f (Swhile a s') k' e m〉
589      | Kdowhile a s' k' ⇒
590          ! 〈v,tr〉 ← exec_expr ge e m a;
591          ! b ← err_to_io … (exec_bool_of_val v (typeof a));
592          match b with
593          [ true ⇒ ret ? 〈tr, State f (Sdowhile a s') k' e m〉
594          | false ⇒ ret ? 〈tr, State f Sskip k' e m〉
595          ]
596      | Kfor2 a2 a3 s' k' ⇒ ret ? 〈E0, State f a3 (Kfor3 a2 a3 s' k') e m〉
597      | Kswitch k' ⇒ ret ? 〈E0, State f Scontinue k' e m〉
598      | _ ⇒ Wrong ???
599      ]
600  | Sbreak ⇒
601      match k with
602      [ Kseq s' k' ⇒ ret ? 〈E0, State f Sbreak k' e m〉
603      | Kwhile a s' k' ⇒ ret ? 〈E0, State f Sskip k' e m〉
604      | Kdowhile a s' k' ⇒ ret ? 〈E0, State f Sskip k' e m〉
605      | Kfor2 a2 a3 s' k' ⇒ ret ? 〈E0, State f Sskip k' e m〉
606      | Kswitch k' ⇒ ret ? 〈E0, State f Sskip k' e m〉
607      | _ ⇒ Wrong ???
608      ]
609  | Sifthenelse a s1 s2 ⇒
610      ! 〈v,tr〉 ← exec_expr ge e m a;
611      ! b ← err_to_io … (exec_bool_of_val v (typeof a));
612      ret ? 〈tr, State f (if b then s1 else s2) k e m〉
613  | Swhile a s' ⇒
614      ! 〈v,tr〉 ← exec_expr ge e m a;
615      ! b ← err_to_io … (exec_bool_of_val v (typeof a));
616      ret ? 〈tr, if b then State f s' (Kwhile a s' k) e m
617                      else State f Sskip k e m〉
618  | Sdowhile a s' ⇒ ret ? 〈E0, State f s' (Kdowhile a s' k) e m〉
619  | Sfor a1 a2 a3 s' ⇒
620      match is_Sskip a1 with
621      [ inl _ ⇒
622          ! 〈v,tr〉 ← exec_expr ge e m a2;
623          ! b ← err_to_io … (exec_bool_of_val v (typeof a2));
624          ret ? 〈tr, State f (if b then s' else Sskip) (if b then (Kfor2 a2 a3 s' k) else k) e m〉
625      | inr _ ⇒ ret ? 〈E0, State f a1 (Kseq (Sfor Sskip a2 a3 s') k) e m〉
626      ]
627  | Sreturn a_opt ⇒
628    match a_opt with
629    [ None ⇒ match fn_return f with
630      [ Tvoid ⇒ ret ? 〈E0, Returnstate Vundef (call_cont k) (free_list m (blocks_of_env e))〉
631      | _ ⇒ Wrong ???
632      ]
633    | Some a ⇒
634        match type_eq_dec (fn_return f) Tvoid with
635        [ inl _ ⇒ Wrong ???
636        | inr _ ⇒
637          ! 〈v,tr〉 ← exec_expr ge e m a;
638          ret ? 〈tr, Returnstate v (call_cont k) (free_list m (blocks_of_env e))〉
639        ]
640    ]
641  | Sswitch a sl ⇒
642      ! 〈v,tr〉 ← exec_expr ge e m a;
643      match v with [ Vint n ⇒ ret ? 〈tr, State f (seq_of_labeled_statement (select_switch n sl)) (Kswitch k) e m〉
644                   | _ ⇒ Wrong ??? ]
645  | Slabel lbl s' ⇒ ret ? 〈E0, State f s' k e m〉
646  | Sgoto lbl ⇒
647      match find_label lbl (fn_body f) (call_cont k) with
648      [ Some sk' ⇒ match sk' with [ mk_pair s' k' ⇒ ret ? 〈E0, State f s' k' e m〉 ]
649      | None ⇒ Wrong ???
650      ]
651  | Scost lbl s' ⇒ ret ? 〈Echarge lbl, State f s' k e m〉
652  ]
653| Callstate f0 vargs k m ⇒
654  match f0 with
655  [ Internal f ⇒
656    match exec_alloc_variables empty_env m ((fn_params f) @ (fn_vars f)) with [ mk_pair e m1 ⇒
657      ! m2 ← err_to_io_sig … (exec_bind_parameters e m1 (fn_params f) vargs);
658      ret ? 〈E0, State f (fn_body f) k e m2〉
659    ]
660  | External f argtys retty ⇒
661      ! evargs ← err_to_io_sig … (check_eventval_list vargs (typlist_of_typelist argtys));
662      ! evres ← do_io f evargs (proj_sig_res (signature_of_type argtys retty));
663      ret ? 〈Eextcall f evargs (mk_eventval ? evres), Returnstate (mk_val ? evres) k m〉
664  ]
665| Returnstate res k m ⇒
666  match k with
667  [ Kcall r f e k' ⇒
668    match r with
669    [ None ⇒ ret ? 〈E0, (State f Sskip k' e m)〉
670    | Some r' ⇒
671      match r' with [ mk_pair l ty ⇒
672       
673          ! m' ← store_value_of_type' ty m l res;
674          ret ? 〈E0, (State f Sskip k' e m')〉
675      ]
676    ]
677  | _ ⇒ Wrong ???
678  ]
679].
680
681nlet rec make_initial_state (p:clight_program) : res state ≝
682  let ge ≝ globalenv Genv ?? p in
683  let m0 ≝ init_mem Genv ?? p in
684    do 〈sp,b〉 ← opt_to_res ? (find_symbol ? ? ge (prog_main ?? p));
685    do u ← opt_to_res ? (match eq_region_dec sp Code with [ inl _ ⇒ Some ? something | inr _ ⇒ None ? ]);
686    do f ← opt_to_res ? (find_funct_ptr ? ? ge b);
687    OK ? (Callstate f (nil ?) Kstop m0).
688
689ndefinition is_final_state : ∀st:state. (Σr. final_state st r) + (¬∃r. final_state st r).
690#st; nelim st;
691##[ #f s k e m; @2; @;*; #r H; ninversion H; #i m e; ndestruct;
692##| #f l k m; @2; @;*; #r H; ninversion H; #i m e; ndestruct;
693##| #v k m; ncases k;
694  ##[ ncases v;
695    ##[ ##2: #i; @1; @ i; //;
696    ##| ##1: @2; @; *;   #r H; ninversion H; #i m e; ndestruct;
697    ##| #f; @2; @; *;   #r H; ninversion H; #i m e; ndestruct;
698    ##| #r; @2; @; *;   #r H; ninversion H; #i m e; ndestruct;
699    ##| #r b of; @2; @; *;   #r H; ninversion H; #i m e; ndestruct;
700    ##]
701  ##| #a b; @2; @; *; #r H; ninversion H; #i m e; ndestruct;
702  ##| ##3,4: #a b c; @2; @; *; #r H; ninversion H; #i m e; ndestruct;
703  ##| ##5,6,8: #a b c d; @2; @; *; #r H; ninversion H; #i m e; ndestruct;
704  ##| #a; @2; @; *; #r H; ninversion H; #i m e; ndestruct;
705  ##]
706##] nqed.
707
708nlet rec exec_steps (n:nat) (ge:genv) (s:state) :
709 IO io_out io_in (trace×state) ≝
710match is_final_state s with
711[ inl _ ⇒ ret ? 〈E0, s〉
712| inr _ ⇒
713  match n with
714  [ O ⇒ ret ? 〈E0, s〉
715  | S n' ⇒
716      ! 〈t,s'〉 ← exec_step ge s;
717(*      ! 〈t,s'〉 ← match s with
718                 [ State f s k e m ⇒ match m with [ mk_mem c n p ⇒ exec_step ge (State f s k e (mk_mem c n p)) ]
719                 | Callstate fd args k m ⇒ match m with [ mk_mem c n p ⇒ exec_step ge (Callstate fd args k (mk_mem c n p)) ]
720                 | Returnstate r k m ⇒ match m with [ mk_mem c n p ⇒ exec_step ge (Returnstate r k (mk_mem c n p)) ]
721                 ] ;*)
722      ! 〈t',s''〉 ← match s' with
723                 [ State f s k e m ⇒ match m with [ mk_mem c n p ⇒ exec_steps n' ge (State f s k e (mk_mem c n p)) ]
724                 | Callstate fd args k m ⇒ match m with [ mk_mem c n p ⇒ exec_steps n' ge (Callstate fd args k (mk_mem c n p)) ]
725                 | Returnstate r k m ⇒ match m with [ mk_mem c n p ⇒ exec_steps n' ge (Returnstate r k (mk_mem c n p)) ]
726                 ] ;
727(*      ! 〈t',s''〉 ← exec_steps n' ge s';*)
728      ret ? 〈t ⧺ t',s''〉
729  ]
730].
731
732(* A (possibly non-terminating) execution.   *)
733ncoinductive execution : Type ≝
734| e_stop : trace → int → mem → execution
735| e_step : trace → state → execution → execution
736| e_wrong : execution
737| e_interact : ∀o:io_out. (io_in o → execution) → execution.
738
739ndefinition mem_of_state : state → mem ≝
740λs.match s with [ State f s k e m ⇒ m | Callstate f a k m ⇒ m | Returnstate r k m ⇒ m ].
741
742(* This definition is slightly awkward because of the need to provide resumptions.
743   It records the last trace/state passed in, then recursively processes the next
744   state. *)
745
746nlet corec exec_inf_aux (ge:genv) (s:IO io_out io_in (trace×state)) : execution ≝
747match s with
748[ Wrong ⇒ e_wrong
749| Value v ⇒ match v with [ mk_pair t s' ⇒
750    match is_final_state s' with
751    [ inl r ⇒ e_stop t (sig_eject … r) (mem_of_state s')
752    | inr _ ⇒ e_step t s' (exec_inf_aux ge (exec_step ge s')) ] ]
753| Interact out k' ⇒ e_interact out (λv. exec_inf_aux ge (k' v))
754].
755
756
757ndefinition exec_inf : clight_program → execution ≝
758λp. exec_inf_aux (globalenv Genv ?? p) (! s ← make_initial_state p; ret ? 〈E0,s〉).
759
760nremark execution_cases: ∀e.
761 e = match e with [ e_stop tr r m ⇒ e_stop tr r m | e_step tr s e ⇒ e_step tr s e
762 | e_wrong ⇒ e_wrong | e_interact o k ⇒ e_interact o k ].
763#e; ncases e; //; nqed.
764
765nlemma exec_inf_aux_unfold: ∀ge,s. exec_inf_aux ge s =
766match s with
767[ Wrong ⇒ e_wrong
768| Value v ⇒ match v with [ mk_pair t s' ⇒
769    match is_final_state s' with
770    [ inl r ⇒ e_stop t (sig_eject … r) (mem_of_state s')
771    | inr _ ⇒ e_step t s' (exec_inf_aux ge (exec_step ge s')) ] ]
772| Interact out k' ⇒ e_interact out (λv. exec_inf_aux ge (k' v))
773].
774#ge s; nrewrite > (execution_cases (exec_inf_aux …)); ncases s;
775##[ #o k
776##| #x; ncases x; #tr s'; ncases s';
777  ##[ #fn st k env m
778  ##| #fd args k mem
779  ##| #v k mem; (* for final state check *) ncases k;
780    ##[ ncases v; ##[ ##2,3: #v' ##| ##4: #r ##| ##5: #sp loc off ##]
781    ##| #s' k' ##| ##3,4: #e s' k' ##| ##5,6: #e s' s'' k' ##| #k' ##| #a b c d ##]
782  ##]
783##| ##]
784nwhd in ⊢ (??%%); //;
785nqed.
786
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.